河南省衛(wèi)輝一中2022屆高三二輪備考數(shù)學(xué)立體幾何

專題六立體幾何【重點知識回顧】穩(wěn)定中有所創(chuàng)新,由知識立意轉(zhuǎn)為能力立意（1）考查重點及難點穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定,以及求線面角、二面角等知識都是重點考查的內(nèi)容，其中線線角、線面角、二面角的求解更是重中之重在難度上平穩(wěn)過渡，始終以中等偏難為主。實行新課程的高考，命題者在求穩(wěn)的同時注重創(chuàng)新高考創(chuàng)新，主要體現(xiàn)在命題的立意和思路上注重對學(xué)生能力的考查（2）空間幾何體中的三視圖仍是高考的一個重要知識點解答題的考查形式仍要注重在一個具體立體幾何模型中考查線面的關(guān)系（3）使用，“向量”仍將會成為高考命題的熱點，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念、數(shù)量積及其運算律在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標系，以向量為工具，利用空間向量的坐標和數(shù)量積解決直線、平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題，比用傳統(tǒng)立體幾何的方法簡便快捷，空間向量的數(shù)量積及坐標運算仍是2022年高考命題的重點（4）支持新課改，在重疊部分做文章,在知識交匯點處命題立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線面平行的判定：線面平行的性質(zhì)：三垂線定理（及逆定理）：線面垂直：面面垂直：三類角的定義及求法（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）三類角的求法：①找出或作出有關(guān)的角。②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理）。點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a（1）點C到面AB1C1的距離為___________（2）點B到面ACB1的距離為____________；（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________（5）點B到直線A1C1的距離為_____________你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：它們各包含哪些元素？球有哪些性質(zhì)？（2）球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角?。?）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1?！镜湫屠}】空間幾何體及三視圖例1．用一些棱長為1cm的小正方體碼放成一個幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視圖則這個幾何體的體積最大是7cm圖1（俯視圖）圖2（主視圖）例2.一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，則多面體的體積為▲．例4.右圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，這些相同的小正方體共有▲個．5例5．如果一個幾何體的三視圖如圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是。主視圖主視圖俯視圖左視圖2俯視圖主視圖左視圖212例6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為 例7.一個幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形（如圖），根據(jù)圖中標注的長度，可以計算出該幾何體的表面積是12+4．2.平行與垂直例8.已知：正方體，，E為棱的中點．⑴求證：；⑵求證：平面；⑶求三棱錐的體積 證明：連結(jié)，則ABCDE多面體中，，，，。ABCDE（1）求證：；（2）求證：證明：（1）∵∴（2）令中點為，中點為，連結(jié)、∵是的中位線∴ABCDABCDEMN∴∴∴∵為正∴∴又∵，∴四邊形為平行四邊形∴∴例10．如圖四邊形是菱形，平面，為的中點.求證：⑴∥平面；BACDPQBACDPQO解：證：設(shè),連⑴∵為菱形，∴為中點，又為中點。∴∥又,∴∥⑵∵為菱形，∴,又∵，∴又∴又∴3.距離與角例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：⑴．直線AD與平面BCD所成角的大?。虎疲本€AD與直線BC所成角的大?。虎牵娼茿-BD-C的余弦值．⑴如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AH⊥BC，垂足為H，則AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°⑵∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°⑶過H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補角設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2故二面角A—BD—C的余弦值的大小為【點評】:本題著眼于讓學(xué)生掌握通性通法。幾何法在書寫上體現(xiàn)：“作出來、證出來、指出來、算出來、答出來”五步。斜線和平面所成的角是一個直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設(shè)為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有或（如圖）特別地時，，；時，，或。⑴用兩面垂直的性質(zhì)作垂線，找垂足的位置作出線面角，⑵利用三垂線定理證，⑶利用對稱性定義法作二面角【變式與拓展】如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長等于點P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．⑴.求PB與平面BCD所成角；⑵.求BP與平面PCD所成的角.【解法】⑴.PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC，由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP=∴∠DBP=45°,即PB與平面BCD所成角為45°．⑵.過B作BE⊥CD于E，連結(jié)PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=a,∴∠BPE=30°即BP與平面PCD所成角為30°例12.在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小BBDPCABDPCA解析一ＥＦBDBDPCA解析一ＥＦBDPCA解析三EFGBDPCA解析二ＭＮＱ【解法一】過D作DE⊥PC于E，過E作EF⊥PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知是所求二面角B-PC-D的平面角在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=同理在Rt△PBC中，，在Rt△EFC中,FC=,在Rt△DFC中,DF=,在△DEF中由余弦定理cos=所求二面角B-PC-D的余弦值為解析2.垂面法易證面PAB⊥面PBC，過A作AM⊥BP于M，顯然AM⊥面PBC，從而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC⊥面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解【解法二】略解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。易證面PEDA⊥PDC，過E作EF⊥PD于F，顯然PF⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過E作EG⊥PC于G，連接GF，由三垂線得GF⊥PC即為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可BBDPCA解析四ＥＦ解析4.在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，連接EF即可。利用平面知識求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出即可【點評】.用幾何法求二面角的方法比較多，常見的有：（1）定義法,在棱上的點分別作棱的垂線，如解析１（2）三垂線求解,在棱上的點分別作棱的垂線，如解析２（3）垂面法,在棱上的點分別作棱的垂線，如解析３用幾何法將二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：①直接利用定義，圖(1).②利用三垂線定理及其逆定理，圖(2).最常用。③作棱的垂面，圖(3).AAOBMNAOPABOP(1)(2)(3)【模擬演練】一、選擇1．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長為（）A．B．C．D．2．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知側(cè)視圖是一個等腰三角形,根據(jù)圖中尺寸(單位:),可知這個幾何體的體積是（）A.B.C.D.4．已知、是不重合的直線，、、是兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若則；②若，則;③若，；④若其中真命題的序號為 （） A①② B①③ C①④ D②④5.在正三棱錐中，分別為、的中點，若與所成的角為，則與所成的角為（）A.B.C.D.7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點，P點在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．要依P點的位置而定11.如圖所示，設(shè)地球半徑為，點在赤道上，為地心，點在北緯30°的緯線（為其圓心）上，且點，，共面，點、、共線若，則異面直線與所成角的正弦值為 （） A. B. C. D.二、填空13.已知一個正四棱柱內(nèi)接于球，該正四棱柱高為3，體積為24，則這個球的表面積是。14．若直線l與平面所成角為，直線a在平面內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是。 三解答題17．（本題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，點是的中點。（1）求證：平面平面；（2）求證：。18.（本小題滿分12分）如圖所示，矩形中，G是對角線AC，BD的交點，，，F(xiàn)為CE上的點，且，連接FG.⑴求證：；⑵求證：19．如圖,四棱錐的底面為直角梯形，ABCD,。(Ⅰ)求證:(Ⅱ)求二面角的大小專題訓(xùn)練答案1．B解析：由正方體對角線得到直徑可知，，所以棱長為。解析：由三視圖可知該幾何體的底面是底邊為6，高是4的等腰三角形，該幾何體的高為5，所以。4．D解析：①只有、相交才正確，所以①錯誤；②正確；③l還需與、的交線垂直，錯誤；④由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知正確，選D.5．C解析：由正三棱錐的對應(yīng)棱互相垂直，得。取的中點，連，則，所以△是直角三角形，與所成的角為，就是∠＝，從而∠＝，即與所成的角為，故選C。7．B解析：由題設(shè)知B1M∥AN且B1M=AN，四邊形ANB故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則平面B1NC∥AMC1，平面AMC1，∴∥平面B1NC解析：分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，，D（0，0，R），所以，故選C。13.解析：正四棱柱高為3，體積為24，底面積為8，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為5，∴球的半徑為，球的表面積是。14．；解析：因為直線l是平面的斜線，斜線與平面所成的