河南省衛(wèi)輝一中2022屆高三二輪備考數(shù)學(xué)立體幾何

專題六立體幾何【重點(diǎn)知識(shí)回顧】穩(wěn)定中有所創(chuàng)新,由知識(shí)立意轉(zhuǎn)為能力立意（1）考查重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定,以及求線面角、二面角等知識(shí)都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，其中線線角、線面角、二面角的求解更是重中之重在難度上平穩(wěn)過(guò)渡，始終以中等偏難為主。實(shí)行新課程的高考，命題者在求穩(wěn)的同時(shí)注重創(chuàng)新高考創(chuàng)新，主要體現(xiàn)在命題的立意和思路上注重對(duì)學(xué)生能力的考查（2）空間幾何體中的三視圖仍是高考的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)解答題的考查形式仍要注重在一個(gè)具體立體幾何模型中考查線面的關(guān)系（3）使用，“向量”仍將會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問(wèn)題的位置關(guān)系、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題，比用傳統(tǒng)立體幾何的方法簡(jiǎn)便快捷，空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算仍是2022年高考命題的重點(diǎn)（4）支持新課改，在重疊部分做文章,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線面平行的判定：線面平行的性質(zhì)：三垂線定理（及逆定理）：線面垂直：面面垂直：三類角的定義及求法（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）三類角的求法：①找出或作出有關(guān)的角。②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計(jì)算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理）。點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(zhǎng)（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)__________（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)___________；（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)___________（4）面AB1C與面A1DC1的距離為_(kāi)___________（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)____________你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：它們各包含哪些元素？球有哪些性質(zhì)？（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)。為此，要找球心角?。?）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。（5）球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1?！镜湫屠}】空間幾何體及三視圖例1．用一些棱長(zhǎng)為1cm的小正方體碼放成一個(gè)幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視圖則這個(gè)幾何體的體積最大是7cm圖1（俯視圖）圖2（主視圖）例2.一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，則多面體的體積為▲．例4.右圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，這些相同的小正方體共有▲個(gè)．5例5．如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度:cm),則此幾何體的表面積是。主視圖主視圖俯視圖左視圖2俯視圖主視圖左視圖212例6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為 例7.一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)注的長(zhǎng)度，可以計(jì)算出該幾何體的表面積是12+4．2.平行與垂直例8.已知：正方體，，E為棱的中點(diǎn)．⑴求證：；⑵求證：平面；⑶求三棱錐的體積 證明：連結(jié)，則ABCDE多面體中，，，，。ABCDE（1）求證：；（2）求證：證明：（1）∵∴（2）令中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連結(jié)、∵是的中位線∴ABCDABCDEMN∴∴∴∵為正∴∴又∵，∴四邊形為平行四邊形∴∴例10．如圖四邊形是菱形，平面，為的中點(diǎn).求證：⑴∥平面；BACDPQBACDPQO解：證：設(shè),連⑴∵為菱形，∴為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)?！唷斡?∴∥⑵∵為菱形，∴,又∵，∴又∴又∴3.距離與角例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：⑴．直線AD與平面BCD所成角的大??；⑵．直線AD與直線BC所成角的大??；⑶．二面角A-BD-C的余弦值．⑴如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，則AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°⑵∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°⑶過(guò)H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補(bǔ)角設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2故二面角A—BD—C的余弦值的大小為【點(diǎn)評(píng)】:本題著眼于讓學(xué)生掌握通性通法。幾何法在書(shū)寫(xiě)上體現(xiàn)：“作出來(lái)、證出來(lái)、指出來(lái)、算出來(lái)、答出來(lái)”五步。斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過(guò)解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設(shè)為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有或（如圖）特別地時(shí)，，；時(shí)，，或。⑴用兩面垂直的性質(zhì)作垂線，找垂足的位置作出線面角，⑵利用三垂線定理證，⑶利用對(duì)稱性定義法作二面角【變式與拓展】如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．⑴.求PB與平面BCD所成角；⑵.求BP與平面PCD所成的角.【解法】⑴.PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC，由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP=∴∠DBP=45°,即PB與平面BCD所成角為45°．⑵.過(guò)B作BE⊥CD于E，連結(jié)PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=a,∴∠BPE=30°即BP與平面PCD所成角為30°例12.在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小BBDPCABDPCA解析一ＥＦBDBDPCA解析一ＥＦBDPCA解析三EFGBDPCA解析二ＭＮＱ【解法一】過(guò)D作DE⊥PC于E，過(guò)E作EF⊥PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知是所求二面角B-PC-D的平面角在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=同理在Rt△PBC中，，在Rt△EFC中,FC=,在Rt△DFC中,DF=,在△DEF中由余弦定理cos=所求二面角B-PC-D的余弦值為解析2.垂面法易證面PAB⊥面PBC，過(guò)A作AM⊥BP于M，顯然AM⊥面PBC，從而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC⊥面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解【解法二】略解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。易證面PEDA⊥PDC，過(guò)E作EF⊥PD于F，顯然PF⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過(guò)E作EG⊥PC于G，連接GF，由三垂線得GF⊥PC即為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可BBDPCA解析四ＥＦ解析4.在面PDC內(nèi)，分別過(guò)D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，連接EF即可。利用平面知識(shí)求BF、EF、DE的長(zhǎng)度，再利用空間余弦定理求出即可【點(diǎn)評(píng)】.用幾何法求二面角的方法比較多，常見(jiàn)的有：（1）定義法,在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析１（2）三垂線求解,在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析２（3）垂面法,在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析３用幾何法將二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：①直接利用定義，圖(1).②利用三垂線定理及其逆定理，圖(2).最常用。③作棱的垂面，圖(3).AAOBMNAOPABOP(1)(2)(3)【模擬演練】一、選擇1．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)為（）A．B．C．D．2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，已知側(cè)視圖是一個(gè)等腰三角形,根據(jù)圖中尺寸(單位:),可知這個(gè)幾何體的體積是（）A.B.C.D.4．已知、是不重合的直線，、、是兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若則；②若，則;③若，；④若其中真命題的序號(hào)為 （） A①② B①③ C①④ D②④5.在正三棱錐中，分別為、的中點(diǎn)，若與所成的角為，則與所成的角為（）A.B.C.D.7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．要依P點(diǎn)的位置而定11.如圖所示，設(shè)地球半徑為，點(diǎn)在赤道上，為地心，點(diǎn)在北緯30°的緯線（為其圓心）上，且點(diǎn)，，共面，點(diǎn)、、共線若，則異面直線與所成角的正弦值為 （） A. B. C. D.二、填空13.已知一個(gè)正四棱柱內(nèi)接于球，該正四棱柱高為3，體積為24，則這個(gè)球的表面積是。14．若直線l與平面所成角為，直線a在平面內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是。 三解答題17．（本題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)。（1）求證：平面平面；（2）求證：。18.（本小題滿分12分）如圖所示，矩形中，G是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，，，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且，連接FG.⑴求證：；⑵求證：19．如圖,四棱錐的底面為直角梯形，ABCD,。(Ⅰ)求證:(Ⅱ)求二面角的大小專題訓(xùn)練答案1．B解析：由正方體對(duì)角線得到直徑可知，，所以棱長(zhǎng)為。解析：由三視圖可知該幾何體的底面是底邊為6，高是4的等腰三角形，該幾何體的高為5，所以。4．D解析：①只有、相交才正確，所以①錯(cuò)誤；②正確；③l還需與、的交線垂直，錯(cuò)誤；④由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知正確，選D.5．C解析：由正三棱錐的對(duì)應(yīng)棱互相垂直，得。取的中點(diǎn)，連，則，所以△是直角三角形，與所成的角為，就是∠＝，從而∠＝，即與所成的角為，故選C。7．B解析：由題設(shè)知B1M∥AN且B1M=AN，四邊形ANB故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則平面B1NC∥AMC1，平面AMC1，∴∥平面B1NC解析：分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，，D（0，0，R），所以，故選C。13.解析：正四棱柱高為3，體積為24，底面積為8，正方形邊長(zhǎng)為2，正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為5，∴球的半徑為，球的表面積是。14．；解析：因?yàn)橹本€l是平面的斜線，斜線與平面所成的