有關(guān)排列組合常用解題技巧

有關(guān)排列組合的常用解題技巧1．相鄰問(wèn)題并組法題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)作元與列．【例、E五排站成一排，如果A、B須相鄰且B在A的右那么不同的排法種數(shù)[]A．60種B．48種種D分析、B視人，且定在A的右，本相于4

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種選．2．相離問(wèn)題插空法元素相不題先位置要求的幾個(gè)元素全排列規(guī)相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．【例2排站成一行乙必須不相鄰?fù)ǖ姆N數(shù)[]A．1440BCD．48005個(gè)

個(gè)種，不5P2＝種故B．3．定序問(wèn)題縮倍法在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法．【例3】A、E人并排站成一排，如果B必站的邊A可相鄰么不同的排法種數(shù)[]A．24種B．60C．90種．120種分析B在右與B在左排數(shù)同所題的法是5個(gè)元素?cái)?shù)的即

5＝60種，54．標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法把元素排到指定號(hào)碼的位置上先某元按定入二再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．【例4將數(shù)字，3入標(biāo)號(hào)為1，2，3四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法[]A．6種B種C種D種分析把填方格，符合條件的有種，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有×3×1＝9填法，故選B5．有序分配問(wèn)題逐分法1/4

有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法．【例】甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需人承，丙需1人，從10人選4擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)[A．1260種種C種．5040種分析從10人中出個(gè)擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)從8中選1承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)三步從另外7選個(gè)兩項(xiàng)任務(wù)

有C1＝2520種，選．1076．多元問(wèn)題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)．【例】數(shù)字，1組沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A．210個(gè)．300個(gè)C．464個(gè)D．600個(gè)分析題意，個(gè)位數(shù)字只可能是，1，2，4共5況，P51P31P31P1P個(gè)1P3個(gè)，合并總計(jì)543333323333B．【例】，2，3…100這個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7除，這兩個(gè)數(shù)的取法計(jì)多少種？分析取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7除時(shí)的乘積就能被整除100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集Ⅰ，能被整除數(shù)集記A，則＝｝有14個(gè)元素，不能被7的數(shù)的集A，8個(gè)元素．由此可知，任取兩數(shù)的取法，共

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種；A中取一個(gè)數(shù)又任取一個(gè)數(shù)的取法，共1種，兩種情形共得符合要求的取法1486

2C11141486

1295【例】從，2…100這100個(gè)，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4除的取計(jì)順序少？分析Ⅰ＝，｝分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A，8，100除余1的集B除數(shù)集為98除余3數(shù)集為D＝，7…99這個(gè)合一個(gè)都含25個(gè)素；從任取兩個(gè)數(shù)符合要求；從B各取一個(gè)數(shù)的取法也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)的取法同樣符合要求；此外其它取法都

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C

125

125

C

225

種7．交叉問(wèn)題集合法某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A∪B)－n(A∩B)2/4

8【例】從6名運(yùn)員出4個(gè)4×100m接，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？8分析全集Ⅰ＝人中4人的排列＝｛第棒排｛乙跑第四棒的排列求元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：－n(A＝P

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5

5

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＝252(種8．定位問(wèn)題優(yōu)先法某個(gè)幾素在指定位置，可先排這素再排其他元素．【例】1名師和4名同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法________．分老師P4種，P1P種．

4名同9．多排問(wèn)題單排法把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理．【例個(gè)同的元素排成前后兩排排3個(gè)元素么的排法種數(shù)[]A．36B．120C．1440．分析后兩排可看成一排的兩段，因此本題可視為6同元素共P6＝720選．6【例12個(gè)的元素排成前后兩排，每排元素，其中某2個(gè)素要排在前排，某1個(gè)要排在后排，有多少種排法中數(shù)甲種本第三冊(cè)，23．分析看一排，某個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)有P4種；某個(gè)元素在后半段四個(gè)位置中選一個(gè)，有P

14

種；其余5元素任排在剩余的5個(gè)位置上有P

55

種，故共有P

14

P

24

P

55

種法．10”問(wèn)題間接法關(guān)于“至少”類型組合問(wèn)題，用間接法較方便．【例13從4臺(tái)甲和5臺(tái)電視機(jī)中任取出3臺(tái)，至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共]A．140種．80種C．70種．35種分析向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取

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＝70．11．選排問(wèn)題先取后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14四個(gè)不同的球放入編號(hào)為，2，3，4四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法3/4

共有________分先四2

C3

種．【例】9乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名女4名現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？分先取

C

P

種排

C

P

12．部分合條件問(wèn)題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求．【例16以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共[]A．70個(gè)B．64