橢圓的概念性質,直線和橢圓的位置關系

橢圓的概念性質,直線和橢圓的位置關系橢圓的概念、性質，直線和橢圓的位置關系【教學目標】1、熟練把握橢圓的定義：到兩定點的距離之和等于定長（大于兩定點間的距離）的點的集合及橢圓的第二定義，并能靈活地運用定義來解決有關問題。x22、熟練把握中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓標準方程a2

y21、b2y2x2

1（a＞b＞0）及它們的頂點坐標、焦點坐標、準線方程和離心率、長軸長、a2 b2短軸長、焦距焦半徑的運算。3系數(shù)的關系來討論弦長、三角形面積、點到直線的距離等問題?！局R講解】例、已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，長、短軸都坐標上，且過點求橢圓的方程。分析：橢圓的長、短軸都在坐標軸上，實質上就表示橢圓的中心在原點、焦點在坐標軸上，那么橢圓的方程一定是標準形式，然而由于不明白橢圓的焦點到底在x軸，依舊在y軸上，因此要分兩種情形來討論。x2 y2解：1°若焦點在x軸上，設橢圓的方程為a2 b2

1，把點A（3，0）代入得90a2 b2

1a2=9，b2=1x292

y

1。a3by22°若焦點在y軸上，設橢圓的方程為a2

x21b2

同理可得a2=81，b2=9，現(xiàn)在橢y2圓的方程為

x

1。81 9x2說明：求出了焦點在x軸上的橢圓為9

y21yy2軸上的橢圓的方程確實是9

x21。因為橢圓過一定點0，則求焦點在y軸上的橢圓仍應先設出方程，再用代入法求得。x例2、已知橢圓 y21，直線y=kx+4交橢圓于AB兩點，Ox4若kOA+kOB=2，求直線斜率k。ykx4解：解方程組x2 消去整理得（1+4k2）x2+32kx+60=04

y21△=(32k)2-4×60(1+4k2)=16(4k2-15)>0 A(x，y)、B(x，y)1 1 2 2yk +k =2等價于1y22 即yx+yx=2xxyOA OB x x1 2

12 21 12即(kx1+4)x2+(kx2+4)x1=2x1x1 整理(k-1)x1x2+2(x1+x2)=032k 60 60 32k∵x1+x2= x1x2= ∴(k-1) +2· =014k2

14k

14k

14k2解之得k=-15 滿足△>0 ∴k=-15x2 y2例3、已知橢圓C的直角坐標方程為

1，若過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C相交于A(x、y

)，B(x

4 3，y)，兩點（其中y>y

，且滿足

2，試求直AFBF線lAFBF

1 1 2 2 1 2C的左焦點F（l的方程為y=k(x-1，則l與C的兩個焦點(x、y)，B(x，y)，y=k(x-1) ① ，①代入②得：1 1 2

x2y

1②4 3AFBF8k2 4k212 2AFBF(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2= ③x·x2= ④，由條件34k2 1 34k2x2x∴1

1，即

=3-2x

⑤∴x

94k2 4k29 5= ，x=

，k=12

1 2

34k

1 34k2 45y y 55± ，易見x<

，因y>y

，故k= 2

10 ∴l(xiāng)方程：y=- (x2 1 2 1 2

x x 22 112cm30口是一個橢圓，求那個橢圓的長、短軸長及離心率。解：設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，由題意可知，b=R=6，又因為截面與底R面所成角等于30°，則a

cos30，∴a

R cos30

R 433233a2a2b23

，∴橢圓的長軸長3為8 ，短軸長為12，c3

2 ，∴離心率e 。a 2x例

y為橢圓x2+22=2上任意一點過點A作一條直線l斜率為 1 ，1 1 2y1d為原點到直線l,r

分別為點A到橢圓兩焦點的距離求證： drrr1 2為定值。分析：依照橢圓的第二定義，即到定點的距離與到定直線的距離之比等于常數(shù)e（0x2 y2＜e＜1）的點的軌跡是橢圓，橢圓

1）到左焦點

的距離a2 b2

1 1 1|PF

|=a+ex

，到右焦點F

y2 x2的距離|PF|=a-ex；同理橢圓

1上任一點P（x

，y）1 1 2 2 1

a2 b2 1 1a+ey1和a-ey1橢圓中有著廣泛的運用。x

2y

2a2=2，b2=1c=1，∴離心率e1

，由焦半222rr1 2x

(aex1

)(aex1

)a

e2x1

2

x2。又直線l的方程為：2 1x2x24y21 1yy 1 (x

)即xx+2yy-2=由點到直線的距離公式知d ，1 2y1又 點 （ x111211

1 1 1， ） 在2

橢 圓 上2

， ∴ 2y2=2=x2 ， ∴x24y21 1x22(2x24y21 1x22(2x2)1 14x21rr124x22144x2rr124x22144x21

2為定值。2x2 y2例6、已知橢圓

1，能否在此橢圓位于y軸左側的部分上找到一點M，4 3使它到左準線的距離為它到兩焦點F

距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，1 2若不能找到，請說明理由。解：假設存在滿足條件的點，設M（x1

，y）a2=4，b2=3，∴a=2，b

，c=1，311 131∴e

，|MF||MF (aex)(aex)a2e2x24

2，點M到橢圓2 1 2 1 1a2

1 4 1rr1rrdx1xc

4，∴1212

d,4 x4 1

(x1

4)2，∴5x1

32x1

480，∴x1

4或x1

5

∈[-2，0)相矛盾，∴滿足條件的點M不存在。x27、直線l交橢圓a2

y21（a＞b＞2）于B、C兩點，A（0，b）b2是橢圓的一個頂點，而△ABC的重心與橢圓的右焦點F重合，求橢圓的方程。BC的中點

y,0,由定比分點公式可知c

02x

0

b2y0，0 0 12 12∴x 0

3c,y2

b，又點D在直線l上，∴18c560①2x2 y2又設B（x

，y、

，y）則 1111 1 2

a2 b2y22x2 2y22

1 兩式相減得：b2(x x)(x x)a2(

a2 b2y)(y y)0，x x 2

3c1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 012y y 3b2c 612y y1

2y0

b112

xx1 2

，∴2a2-5bc=0a2=b2+c2a2b 5由①、②可得c=2或c 。41當c=2時，代入①得b=4，則a2=20，當c

112 56 時，b 2舍去41 41 x2 y2∴所求橢圓的方程為

1。20 16x2例8、焦點在x軸上的橢圓

y

1繞上頂點逆時針旋轉90°后，一條準37線方程為y=4

5m5 9，求旋轉前后的橢圓方程及它們的焦點坐標。解：a=

5m5，5m5

a2 375m4，旋轉后橢圓的中心(3，3) ∴5m4c 45m55m55m4∴3+

=4 解之得：m=416(5m+5>9)x2∴旋轉前橢圓的方程為

y

1和x

y2

1其焦點坐標分別為(-4，9 90)(4，0)和(-4，0)(4，0)

25 9

225 916旋轉后橢圓方程為

y3225

(x3)29

1和

y22516

(x3)21921 3(3，7)(3，-1)和(3，4)、(34).x2例9、已知橢圓a2

y21（a＞b＞0）上兩點A、B，直線l:yxk上有兩點b2D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線l程。解：圓方程x2+2-2y-8=0即x2+(y-1=9的圓心（0， D半徑r=3。 y設正方形的邊長為p，則2p2r，∴p3 2，又O＇ C O＇A是正方形ABCD的中心到直線y=x+k的距離應等于正方 O xB3 22形邊長p的一半即 ，由點到直線的距離公式可知k=-2或k=43 22設AB：y=x-2 由y=x-2CD：y=x+4 x2y21得（（-，又點B在橢圓 上，=1b=4，橢圓x2的方程為

y21。

a2 b212 4設A：y=x+，同理可得兩交點的坐標分別為4（-，）代入橢圓方48a2

,b25

16，現(xiàn)在b2＞a2（舍去。x2 y2綜上所述，直線l方程為y=x+4，橢圓方程為

1。12 4例1、曲線2x+2=2a2（＞）與連結-，B）的線段沒有公共點，a的取值范疇。解）若AB在橢圓外部，則方程2x2+2=2a2與直線AB的方程2x-3y+5=0成的方程組無實數(shù)解，由2x3y50 消去y得2x2

y

2a222x2+20x+25-18a2=0無實數(shù)解，令5 22400422(2518a2)0解得0a 。5 2222（2）若A、B兩點都在橢圓內(nèi)部，明顯交點B在橢圓上時是線段AB與橢圓有公共點的最大橢圓現(xiàn)在可解得a22a的取值范疇是0a522

a AB無公共點，故所34342 2343434或a 。3422 2x例12、AB是橢圓a2

y2b2

1（a＞b＞0）AB的中點，O是橢圓的中心，求證：kABkOM為定值。y y y y解：設A（x

，y

，y）∴k

1，k 2 1，1 1 2 y2y2

AB x x2 1

OM x x2 1∴k kAB

2 1 ，又點AB在橢圓上，則：x2x22 1xx22y2b2 2 ),y2b2 1)xx222 a2 1 a2b2(x2x2)∴k

a2 1 2

b2

為定值。AB

x2x2

2 a2說明：若一條動直線與橢圓相交于兩個點A、B，我們常常采納“設點法”設出點A（x，y

x2y2，y）的坐標，然后把點的坐標代入橢圓的方程，1 1y2

1兩1 1 2 2

a2 b2y22x2 2 1y22a2 b22式相減即可得到x1+x2

，y+y

及x-x，y-y

的關系了，往往能夠簡化運算，達到專門理121212想的成效，這種“設而不求”的解題思想在解析幾何中有著廣泛的應用，我們在學習時要充分注意。121212例13、已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交10于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=10x2解：設所求橢圓方程為a2

，求橢圓的方程。2y21PQ的坐標滿足方程組x2y21b2 a2 b21 ①∴(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0 ③，設③的兩個根分別為x、x1 y=x+1 ②P(x，x

+1)、Q(x

，x+1)∵OP⊥OQ，|PQ|=101 110∴xx 1

2 21xx=- ∴

22a2 3 2a2 11 2 4

12 4

a2b2 2

a2b2 2或 或3x+x=-

1x+x=-

a2b2)1 a2b2

11 2 2

1 2 22

a2b2 4

a2b2 4∴a2=2 a2=3x2 y2或 故所求橢圓的方程為

1x2y212b2=3

b2=2，

2 2 2 23 3x2 y2例14、已知橢圓a2 b2

1b＞0PF、1F 為橢圓的兩個焦點，1）PF1

，PF

，求證：離心率2cos

1 2 1 2e 2 （2）若FPF ，求證：F

的面積為b2tg。cos 1 2 1 22

y的兩個頂點為焦點另一點是橢圓上的動點， P1 2因此|PF||PF 2a，|F

|=2c，因此我們應以PFF為 α β1 2 12

1 2

F2 x突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結合橢圓的定義即可證得。|FF

| |PF| |PF |在PF

中，由正弦定理可知

1

1

2 1 2 sin) sin sin2c |PF||PF |

2c 2a1 ) sinsin1

∴sin()sinsin∴e2c

)

2sincos cos 2 2 22a sinsin 2sin

cos

cos（2）在PF

2 2 2中由余弦定理可知1 2(2c)2|PF1

|2|PF2

|22|PF1

||PF2

|cos2(|PF1

||PF2

|)22|PF1

||PF |22|PF1

||PF2

|cos(2a)22|PF1

||PF2

|(1cos2)∴|PF

||

|14a24c2

2b21 2 2 1cos1cos1 sin2∴S21PFF1

|PF2

||PF2

|sinb21cosb2tg。例15、過點P( 3,0)作直線l與橢圓3x2+4y2=12相交于yAB兩點為坐標原點求△OAB面積的最大值及現(xiàn)在直線 A傾斜角的正切值。 P分析：若直截了當用點斜式設l 的方程為 O xBy0kx 3)l的斜率一定要存在，但在那個地點l的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了3幸免討論，我們能夠設直線l的方程為xmy 3，如此就包含了斜率不存在時的形了，從而簡化了運算。3解：設A（x

，y

，y，l：xmy1 1 2 23把xmy3

3(m2y

2 4y

120，即(3m

4)y

6 3my30，y y1 2

6 36

，yy 4 1 2

33m24|y y1

108m212(3m24)2 3m2413m24108m212(3m24)2 3m2413m24144x248

4 3 3m213m24

4 (3m234 32 3 4 24 32 33m213m3m213m2133m213m21∴S

2323

，現(xiàn)在 3

m63666令直線的傾角為，則tg 3 662即△OAB面積的最大值為【一周一練】一、選擇題

，現(xiàn)在直線傾斜角的正切值為 。362361、假如橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則離心率e為[ ]3 13 7 35

20

10

42、假如方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范疇[ ]A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）x2 y2 x2、曲線 1與曲線

y2

9)之間具有的等量關系]25 9

25k 9kA.有相等的長、短軸 B.有相等的焦距C.有相等的離心率 D.有相同的準線x2 y24、P是橢圓

1上的一點，F(xiàn)和F是焦點，若∠FPF=30°，則△FPF5 4的面積等[ ]

1 2 1 2 1 216 3A. 316 3

B. 4(2 3) C.16(2 3) D.1635、設一動點P到直線x=5的距離與它到點的距離之比的軌跡方程[ ]3

，則動點PA. x2

y21

x2

y214 5 4 5(x1)2 y2C.

1

x2

y2112 8 5 43,6、設θ∈(4 )，則關于x，y的方程x2cscθ-y2secθ=1所表示的曲線[ ]A.實軸在y軸上的雙曲線 B.實軸在x軸上的雙曲線C.長軸在y軸上的橢圓 D.長軸在x軸上的橢圓7、橢圓25x2-150x+9y2+18y+9=0的兩個焦點坐標[ A.(-3，5)(-3，3) B.(3，3)(3，-5)C.(1，1)(-7，1) D.(7，-1)(-1，-1)8、曲線y= 2x2(0x是（ ）

2)與直線y=k(x-1)+3有交點時，實數(shù)k的取值范疇22A.(-∞，-7]∪(3- ，+∞) B.[-7，3- ]22C.(-∞，-7]∪[1，+∞) D.[-7，1]二、填空題、過橢圓x2+2y2=2的焦點引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于AB兩點，圓的中心為O，則△AOB的面積為 。(x3)210、橢圓C與橢圓

(y2)2

1，關于直線x+y=0對稱，則橢圓C的方9 4程是 。、到兩定點的距離和等于10的點的軌跡方程是 。x212、已知橢圓

y2

1的離心率e

1，則a的值等于 。a8 9 2三、解答題13、△ABC中三邊長度|AB|、|BC|、|CA|成等差數(shù)列，若B、C兩點的坐標分別為B（3，C（-，0，求頂點A的軌跡。14、已知橢圓的焦點F（-，）和F（，0，直線x=4是橢圓的一條準線（1）1 22）設點P|P1|-|P2|=，求co∠1P2的值。x2 y215、已知橢圓

1，直線l：x

y1，P是lOP交橢圓24 16 12 8于點R，又點Q在OPP在l上移動時，求點Q程，并說明軌跡是什么曲線。16、