2021-2022學年北京市門頭溝區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷

2021-2022學年北京市門頭溝區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）復數(shù)=（）A.B.C.D.2.（單選題，4分）集合A={x|x2-x-6＜0}，B={-2，-1，0，1，2，3}，則A∩B=（）A.{-2，-1，0，1，2，3}B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}3.（單選題，4分）在的展開式中，x4的系數(shù)是（）A.20B.10C.-10D.-204.（單選題，4分）“角α，β的終邊關于x軸對稱”是“sinα+sinβ=0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.（單選題，4分）下列函數(shù)中，在（0，+∞）為增函數(shù)的是（）A.y=tanxB.y=e|x-1|C.D.y=（x-1）ex-26.（單選題，4分）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是（）A.B.C.D.7.（單選題，4分）等差數(shù)列{an}的公差d≠0，數(shù)列的前n項和，則（）A.d=log32，k=-1B.d=log23，k=0C.d=log23，k=-1D.d=log32，k=08.（單選題，4分）點P在拋物線y2=4x上，則P到直線x=-1的距離與到直線3x-4y+12=0的距離之和的最小值為（）A.4B.3C.2D.19.（單選題，4分）在函數(shù)f（x）=ax-2的圖像上存在兩個不同點A，B，使得A，B關于直線y=x的對稱點A'，B'在函數(shù)g（x）=ex的圖像上，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞，e）B.C.（0，e）D.（0，e2）10.（單選題，4分）某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的，按照綜合得分的高低進行綜合排序，綜合排序高者中標．

分值權重表如下：總分技術商務報價100%50%10%40%技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質(zhì)、資信等實力來決定的．報價表則相對靈活，報價標的評分方法是：基準價的基準分是68分，若報價每高于基準價1%，則在基準分的基礎上扣0.8分，最低得分48分；若報價每低于基準價1%，則在基準分的基礎上加0.8分，最高得分為80分．若報價低于基準價15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基礎上扣0.8分．

在某次招標中，若基準價為1000（萬元）．甲、乙兩公司綜合得分如下表：公司技術商務報價甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司報價為1100（萬元），乙公司的報價為800（萬元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是（）A.73，75.4B.73，80C.74.6，76D.74.6，75.411.（填空題，5分）雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為___．12.（填空題，5分）已知P為平面上的動點，A（-1，0），B（1，0）為平面上兩個定點，且，則動點P的軌跡方程為___．13.（填空題，5分）函數(shù)f（x）=sin2x的圖像向左平移___個長度單位得到函數(shù)g（x）=sin（2x+）的圖像，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞增，則a的最大值為___．14.（填空題，5分）在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中點，則=___．15.（填空題，5分）已知函數(shù)y=f（x+2）為奇函數(shù)，且f（x+3）=f（3-x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x+log4（x+1）-1，給出下列四個結論：

①f（x）圖像關于（-2，0）對稱；

②f（x）圖像關于直線x=1對稱；

③；

④f（x）在區(qū)間（2021，2022）單調(diào)遞減．

其中所有正確結論的序號是___．16.（問答題，12分）在△ABC中，．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知，使△ABC存在并唯一確定，并求c的值．

條件①：；

條件②：b=1；

條件③：．17.（問答題，13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB=AD=PD=2，DC=4，AB||DC，，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點．

（Ⅰ）判斷直線AE與BF的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）求二面角P-BC-A的余弦值；

（Ⅲ）求點E到平面PBC的距離．18.（問答題，15分）第24屆冬季奧運會將于2022年2月在北京和張家口舉辦．為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學生進行了冬奧知識答題比賽，從高一年級（共六個班）答題優(yōu)秀的學生中隨機抽查了20名，得到這20名優(yōu)秀學生的統(tǒng)計如下：高一班級一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人數(shù)454331（Ⅰ）從這20名學生中隨機抽取兩名學生參加區(qū)里冬奧知識比賽．

（i）恰好這2名學生都來自同一班級的概率是多少？

（ii）設這2名學生中來自高一（2）的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅱ）如果該校高中生的優(yōu)秀率為0.1，從該校中隨機抽取2人，這兩人中優(yōu)秀的人數(shù)為η，求η的期望．19.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=sinx+ln（1+x）．

（Ⅰ）求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）證明：f（x）在區(qū)間（-1，π）存在唯一極大值點；

（Ⅲ）證明：當x≥0，f（x）≥0．20.（問答題，15分）已知橢圓C的離心率為，長軸的兩個端點分別為A1（-2，0），A2（2，0）．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）設直線x=my+1與C分別相交于P1，P2兩點，直線A1P1與A2P2相交于點P．試問：當m變化時，點P是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．21.（問答題，15分）若集合A={a1，a2，?，an}（0≤a1＜a2＜a3＜?＜an）滿足：對任意i，j（1≤i≤j≤n），均存在k，t（1≤k≤n，1≤t≤n），使得（aj-ai-ak）（aj+ai-at）=0，則稱A具有性質(zhì)P．

（Ⅰ）判斷集合M={0，3，6，9}，N={1，4，6，8}是否具有性質(zhì)P；（只需寫出結論）

（Ⅱ）已知集合A={a1，a2，?，an}（0≤a1＜a2＜a3＜?＜an）具有性質(zhì)P．

（?。┣骯1；

（ⅱ）證明：．

2021-2022學年北京市門頭溝區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）復數(shù)=（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)求出答案即可．

【解答】：解：=-2+2i，

故選：A．

【點評】：本題考查了復數(shù)的運算，熟練掌握復數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關鍵，是基礎題．2.（單選題，4分）集合A={x|x2-x-6＜0}，B={-2，-1，0，1，2，3}，則A∩B=（）A.{-2，-1，0，1，2，3}B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}【正確答案】：C【解析】：求出集合A，利用交集定義能求出A∩B．

【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，

B={-2，-1，0，1，2，3}，

∴A∩B={-1，0，1，2}．

故選：C．

【點評】：本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3.（單選題，4分）在的展開式中，x4的系數(shù)是（）A.20B.10C.-10D.-20【正確答案】：B【解析】：先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于4，求得r的值，即可求得展開式中的x4的系數(shù)．

【解答】：解：∵展開式的通項公式為Tr+1=?（x2）5-r?（-）r=（-1）r?x10-3r，

令10-3r=4，則r=2，所以展開式中x4的系數(shù)為=10，

故選：B．

【點評】：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．4.（單選題，4分）“角α，β的終邊關于x軸對稱”是“sinα+sinβ=0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：A【解析】：由充分必要條件的定義即可判斷．

【解答】：解：由角α，β的終邊關于x軸對稱，可知β=-α+2kπ（k∈Z），故sinα=-sinβ，所以sinα+sinβ=0，

若sinα+sinβ=0，取α=，β=，則角α，β的終邊不關于x軸對稱，

所以“角α，β的終邊關于x軸對稱”是“sinα+sinβ=0”的充分不必要條件．

故選：A．

【點評】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)角的對稱關系是解決本題的關鍵．5.（單選題，4分）下列函數(shù)中，在（0，+∞）為增函數(shù)的是（）A.y=tanxB.y=e|x-1|C.D.y=（x-1）ex-2【正確答案】：D【解析】：根據(jù)正切函數(shù)，函數(shù)圖象的對折變換，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別判斷四個答案中函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

【解答】：解：函數(shù)y=tanx在區(qū)間（-+kπ，+kπ）k∈Z上為增函數(shù)，故A不滿足要求；

函數(shù)y=e|x-1|的圖象關于直線x=1對稱，故B不滿足要求；

函數(shù)f（x）=ln=-lnx在（0，+∞）遞減，故C不滿足要求；

函數(shù)f（x）=（x-1）ex-2，f′（-x）=ex-2+（x-1）ex-2=xex-2＞0在x∈（0，+∞）恒成立，故D滿足要求

故選：D．

【點評】：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的邏輯思維能力，屬簡單題．6.（單選題，4分）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：由中位線定理和異面直線所成角，以及線面垂直的判定定理，即可得到正確結論．

【解答】：解：對于A，AB為體對角線，MN，MQ，NQ分別為棱的中點，

由中位線定理可得它們平行于面對角線，

連接另一條面對角線，如圖，

由三垂線定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB⊥平面MNQ，故A中直線AB與平面MNQ垂直；

對于B，AB為前面的側(cè)面的對角線，則AB垂直于MN，

與AB相對的側(cè)面的平行于AB的對角線與MQ垂直，∴AB⊥MQ，如圖，

∵MN∩MQ=M，∴AB⊥平面MNQ，故B中直線AB與平面MNQ垂直；

對于C，AB為前面的側(cè)面的對角線，則AB垂直于MN，

與AB相對的側(cè)面的平行于AB的對角線與MQ垂直，∴AB⊥MQ，如圖，

∵MN∩MQ=M，∴AB⊥平面MNQ，故B中直線AB與平面MNQ垂直；

對于D，AB為前面的側(cè)面的對角線，MN上面的平行于對角線的線段，如圖，

作出等邊三角形，得到AB與MN所成角為60°，

∴直線AB與平面MNQ不垂直，故D中直線AB與平面MNQ不垂直．

故選：D．

【點評】：本題考查空間線面垂直的判定定理，考查空間線線的位置關系，以及空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．7.（單選題，4分）等差數(shù)列{an}的公差d≠0，數(shù)列的前n項和，則（）A.d=log32，k=-1B.d=log23，k=0C.d=log23，k=-1D.d=log32，k=0【正確答案】：C【解析】：推導出a1=log2（3+k），a2=log26，a3=log218，再由a1，a2，a3成等差數(shù)列，得到2×log26=log2（3+k）+log218，由此能求出結果．

【解答】：解：等差數(shù)列{an}的公差d≠0，數(shù)列的前n項和，

則，

S2==3+k+=9+k，∴=6，

S3==9+k+2=27+k，∴=18，

∴a1=log2（3+k），a2=log26，a3=log218，

∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴2×log26=log2（3+k）+log218，

解得k=-1，d=log218-log26=log23．

故選：C．

【點評】：本題考查等差數(shù)列的公差、首項的求法，考查數(shù)列的前n項和公式和第n項的關系式、對數(shù)運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8.（單選題，4分）點P在拋物線y2=4x上，則P到直線x=-1的距離與到直線3x-4y+12=0的距離之和的最小值為（）A.4B.3C.2D.1【正確答案】：B【解析】：首先確定拋物線的準線方程，然后結合拋物線的定義等價轉(zhuǎn)化即可求得最值．

【解答】：解：∵x=-1是拋物線y2=4x的準線，

∴P到x=-1的距離等于|PF|，

∵拋物線y2=4x的焦點F（1，0），

∴過P作l1：3x-4y+12=0的垂線和拋物線的交點就是P，

∴點P到直線3x-4y+12=0的距離和到直線x=-1的距離之和的最小值就是F（1，0）到直線3x-4y+12=0的距離，

∴點P到直線l1：x=-1的距離與到直線l2：3x-4y+12=0的距離之和的最小值為．

故選：B．

【點評】：本題主要考查拋物線的定義及其應用，拋物線中的最值問題等知識，屬于中等題．9.（單選題，4分）在函數(shù)f（x）=ax-2的圖像上存在兩個不同點A，B，使得A，B關于直線y=x的對稱點A'，B'在函數(shù)g（x）=ex的圖像上，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞，e）B.C.（0，e）D.（0，e2）【正確答案】：C【解析】：題目轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）=ax-2與函數(shù)g（x）=lnx有兩個交點即可．

【解答】：解：在函數(shù)f（x）=ax-2的圖像上存在兩個不同點A，B，使得A，B關于直線y=x的對稱點A'，B'在函數(shù)g（x）=ex的圖像上，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=ax-2與函數(shù)g（x）=lnx有兩個交點，

函數(shù)f（x）=ax-2恒過（0，-2），直線y=ax-2與y=lnx的切點為（m，lnm），

可得y′=，所以切線的斜率為：=，解得m=，切線的斜率為：e，

所以a∈（0，e）．

故選：C．

【點評】：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)與方程的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．10.（單選題，4分）某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的，按照綜合得分的高低進行綜合排序，綜合排序高者中標．

分值權重表如下：總分技術商務報價100%50%10%40%技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質(zhì)、資信等實力來決定的．報價表則相對靈活，報價標的評分方法是：基準價的基準分是68分，若報價每高于基準價1%，則在基準分的基礎上扣0.8分，最低得分48分；若報價每低于基準價1%，則在基準分的基礎上加0.8分，最高得分為80分．若報價低于基準價15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基礎上扣0.8分．

在某次招標中，若基準價為1000（萬元）．甲、乙兩公司綜合得分如下表：公司技術商務報價甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司報價為1100（萬元），乙公司的報價為800（萬元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是（）A.73，75.4B.73，80C.74.6，76D.74.6，75.4【正確答案】：A【解析】：根據(jù)定義計算甲，乙兩公司的報價得分，再計算綜合得分．

【解答】：解：甲公司的報價分數(shù)A甲=68-=60，

乙公司的報價分數(shù)A乙=80-=76，

∴甲公司的綜合得分為80×50%+90×10%+60×40%=73分，

乙公司的綜合得分為70×50%+100×10%+76×40%=75.4分．

故選：A．

【點評】：本題考查了函數(shù)值的計算，屬于中檔題．11.（填空題，5分）雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為___．【正確答案】：[1]4【解析】：由已知求得b，再由漸近線方程求得a，利用隱含條件求得c，則答案可求．

【解答】：解：由雙曲線方程可得b2=3，∴b=，

雙曲線C的一條漸近線，

∴，得a=1，

∴c2=a2+b2=4，

得2c=4，即雙曲線C的焦距為4．

故答案為：4．

【點評】：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，是基礎題．12.（填空題，5分）已知P為平面上的動點，A（-1，0），B（1，0）為平面上兩個定點，且，則動點P的軌跡方程為___．【正確答案】：[1]x2+y2=1【解析】：設P（x，y），根據(jù)條件列出關于x，y的方程，整理可得結果．

【解答】：解：設P（x，y），

因為A（-1，0），B（1，0），

所以，

所以，

整理得x2+y2=1，

故答案為：x2+y2=1．

【點評】：本題考查了軌跡方程的求解，屬于基礎題．13.（填空題，5分）函數(shù)f（x）=sin2x的圖像向左平移___個長度單位得到函數(shù)g（x）=sin（2x+）的圖像，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞增，則a的最大值為___．【正確答案】：[1];[2]【解析】：直接利用函數(shù)的關系式的平移變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果．

【解答】：解：函數(shù)f（x）=sin2x的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)g（x）=sin（2x+）的圖像，

令（k∈Z），

整理得（k∈Z），

由于函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞增，

故；

故a的最大值為；

故答案為：．

【點評】：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關系式的平移變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．14.（填空題，5分）在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中點，則=___．【正確答案】：[1]14【解析】：把所求向量轉(zhuǎn)化，再結合數(shù)量積的運算即可求解結論．

【解答】：解：∵在梯形ABCD中，AB||DC，AD=BC=2，AB=4，，P是BC的中點，

∴=?（）=+?=-?=42-×4×2×=14，

故答案為：14．

【點評】：本題考查了平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算問題，是基礎題目．15.（填空題，5分）已知函數(shù)y=f（x+2）為奇函數(shù)，且f（x+3）=f（3-x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x+log4（x+1）-1，給出下列四個結論：

①f（x）圖像關于（-2，0）對稱；

②f（x）圖像關于直線x=1對稱；

③；

④f（x）在區(qū)間（2021，2022）單調(diào)遞減．

其中所有正確結論的序號是___．【正確答案】：[1]①②④【解析】：根據(jù)題意，分析函數(shù)的對稱性，由此可得f（x）的周期性，據(jù)此依次分析4個結論，綜合可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，因為y=f（x+2）為奇函數(shù)，

所以y=f（x）的圖像關于（2，0）對稱，即f（2+x）=-f（2-x），

因為f（3+x）=f（3-x），

所以函數(shù)的圖像關于x=3對稱，f（x+4）=f（-x+2），

f（2+x）=-f（x），即f（4+x）=f（x），

故函數(shù)f（x）是周期T=4的周期函數(shù)，

依次分析4個結論：

對于①，y=f（x）的圖像關于（2，0）對稱，且f（x）的周期為4，則y=f（x）的圖像關于（-2，0）對稱，正確；

對于②，y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x）且f（2+x）=-f（x），變形可得f（1+x）=f（1-x），則f（x）圖像關于直線x=1對稱，正確；

對于③，f（x）是周期T=4的周期函數(shù)，則f（2021）=f（1）=2+-1=，錯誤；

對于④，當x∈[0，1]時，f（x）=2x+log4（x+1）-1，易得f（x）在[0，1]為增函數(shù)，

而f（x）圖像關于直線x=1對稱，在f（x）在區(qū)間（1，2）上為減函數(shù)，

又由f（x）是周期T=4的周期函數(shù)，且2021=505×4+1，2022=505×4=2，則f（x）在區(qū)間（2021，2022）單調(diào)遞減，正確；

故答案為：①②④

【點評】：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應用，涉及函數(shù)的對稱性分析，屬于中檔題．16.（問答題，12分）在△ABC中，．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知，使△ABC存在并唯一確定，并求c的值．

條件①：；

條件②：b=1；

條件③：．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理將條件進行轉(zhuǎn)化可得A；

（Ⅱ）分別選擇三個條件結合正弦定理進行求解．

【解答】：解：（Ⅰ）由正弦定理得，

（sinBcosC+sinCcosB）=2sinAcosA，

即sin（B+C）=2sinAcosA，

即sinA=2sinAcosA，

因為A∈（0，π），故sinA≠0，

所以；

（Ⅱ）選條件①，b=2，又a=2，A=，

由正弦定理，可得=，解得sinB=，

因為B∈（0，π），

所以B=或，

此時三角形不唯一，故選擇條件①不符合題意；

選條件②，

由正弦定理得：，

由，

，

所以由，

選條件③，

，

，

由正弦定理．

【點評】：本題考查了解三角形的相關知識，屬于基礎題．17.（問答題，13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB=AD=PD=2，DC=4，AB||DC，，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點．

（Ⅰ）判斷直線AE與BF的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）求二面角P-BC-A的余弦值；

（Ⅲ）求點E到平面PBC的距離．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）只要證明四邊形ABFE是平行四邊形即可；（Ⅱ）用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值；（Ⅲ）用向量數(shù)量積計算點到平面距離．

【解答】：解：（Ⅰ）AE||BF，理由如下：

連結EF，因為E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，所以EF||CD，EF=，

又因為AB||CD，AB=，所以AB||EF，AB=EF，

所以四邊形ABFE為平行四邊形，故AE||BF．

（Ⅱ）由已知DP，DC，DA兩兩垂直，建立如圖所示坐標系，

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），

設平面PBC法向量為=（x，y，z），，

平面ABC的法向量為=（0，0，1），

，

二面角P-BC-A的余弦值為．

（Ⅲ）E（0，0，1），，

設點E到平面PBC的距離為d，則．

【點評】：本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，考查了點到平面的距離問題，屬于中檔題．18.（問答題，15分）第24屆冬季奧運會將于2022年2月在北京和張家口舉辦．為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學生進行了冬奧知識答題比賽，從高一年級（共六個班）答題優(yōu)秀的學生中隨機抽查了20名，得到這20名優(yōu)秀學生的統(tǒng)計如下：高一班級一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人數(shù)454331（Ⅰ）從這20名學生中隨機抽取兩名學生參加區(qū)里冬奧知識比賽．

（i）恰好這2名學生都來自同一班級的概率是多少？

（ii）設這2名學生中來自高一（2）的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅱ）如果該校高中生的優(yōu)秀率為0.1，從該校中隨機抽取2人，這兩人中優(yōu)秀的人數(shù)為η，求η的期望．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）（i）利用古典概型概率公式求解即可．（ii）ξ可取0，1，2，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．

（Ⅱ）η可取0，1，2，滿足η～B（2，0.1），然后求解期望即可．

【解答】：解：（Ⅰ）（i）20名學生中隨機抽取兩名學生共有，…..……..…（2分）

設恰好2名學生都來自同一班級共有，………....…（1分）

，……………..…（1分）

（ii）ξ可取0，1，2，……………（1分）

，，………...（3分）

ξ的分布列為：ξ12P…………...…（1分）

ξ的期望………．……..…（1分）

（Ⅱ）η可取0，1，2，…………………（1分）

η～B（2，0.1），所以Eη=0.1×2=0.2……………........…………（2分）

【點評】：本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，古典概型概率的求法，是中檔題．19.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=sinx+ln（1+x）．

（Ⅰ）求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）證明：f（x）在區(qū)間（-1，π）存在唯一極大值點；

（Ⅲ）證明：當x≥0，f（x）≥0．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）求出導函數(shù)，求解切點坐標，切線的斜率，然后求解切線方程．

（Ⅱ）求解導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合零點判斷定理證明即可．

（Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)的最值推出結果即可．

【解答】：（Ⅰ）解：，………．……………．………（2分）

f'（0）=2，f（0）=0，得切線方程為2x-y=0．………………（2分）

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，x∈（-1，0）時，f'（x）＞0…..（1分）

x∈[0，π）時，f'（x）單調(diào)遞減，f'（0）=2，，…………（2分）

由零點存在定理可得，f'（x）在x∈（-1，π）存在唯一一個零點x0，…………（1分）

且當x∈（-1，x0），f'（x0）＞0，x∈（x0，π），f'（x0）＜0，

所以，f（x）在區(qū)間（-1，π）存在唯一極大值點．………………（2分）

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，π）單調(diào)遞減，……．（1分）

f（0）=0，f（π）=ln（1+π）＞0，所以，當x∈[0，π）時，f（x）≥0，…………．…（2分）

當x∈（π，+∞）時，f（x）=sinx+ln（1+x）＞ln（1+π）-1＞0．…………...………（2分）

【點評】：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，是中檔題．20.（問答題，15分）已知橢圓C的離心率為，長軸的兩個端點分別為A1（-2，0），A2（2，0）．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）設直線x=my+1與C分別相交于P1，P2兩點，直線A1P1與A2P2相交于點P．試問：當m變化時，點P是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用已知條件推出a，b，即可得到橢圓方程．

（Ⅱ）求解直線A1P1：，直線，然后求解P的坐標，聯(lián)立直線與橢圓方程，設交點為P1（x1，y1），P2（x2，y2），結合韋達定理，