2021-2022學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）直線2x+3y+6=0在y軸的截距是（）A.-2B.2C.3D.-32.（單選題，5分）已知點(diǎn)A（2，1，-2），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（-2，1，2）B.（-2，1，-2）C.（2，-1，-2）D.（2，-1，2）3.（單選題，5分）已知點(diǎn)P（-3，-4），Q是圓O：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長的最小值為（）A.3B.4C.5D.64.（單選題，5分）已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A.B.C.D.5.（單選題，5分）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個(gè)完全相同的面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）A.30B.40C.50D.606.（單選題，5分）已知拋物線C：y2=12x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物淺C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，若，則為（）A.2B.3C.4D.67.（單選題，5分）已知圓O：x2+y2=25，直線l：y=kx+1-k，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A.B.C.8D.98.（單選題，5分）數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個(gè)六邊形數(shù)為（）

A.153B.190C.231D.2769.（多選題，5分）過點(diǎn)P（-2，0）的直線l與直線l1：x+y-2=0平行，則下列說法正確的是（）A.直線l的頓斜角為45°B.直線l的方程為：x+y+2=0C.直線l與直線l1間的距離為D.過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線為：x-y+2=010.（多選題，5分）已知曲線與曲線，則下列說法正確的是（）A.曲線C1的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是3B.當(dāng)9＜k＜16時(shí)，兩曲線的焦距相等C.當(dāng)k＜9時(shí)，曲線C2為橢圓D.當(dāng)k＞16時(shí)，曲線C2為雙曲線11.（多選題，5分）已知數(shù)列{an}，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列{an}為公比大于0，且不等于1的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}為單調(diào)數(shù)列B.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＞0，S11=0，則當(dāng)n=10時(shí)，Sn最大C.若點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)）的圖象上，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列D.若點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=k?ax（k，a為常數(shù)，k≠0，a＞0，且a≠1）的圖象上，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列12.（多選題，5分）如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，使B.線段MN存在最小值，最小值為C.直線MN與平面ABEF所成的角恒為45°D.，都存在過MN且與平面BCE平行的平面13.（填空題，5分）已知圓C：x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線l：2x+ay=0對稱，則a=___．14.（填空題，5分）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)，N是BC的中點(diǎn)，則向量=___．（用表示）15.（填空題，5分）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，Sn=2an+1，則a3=___；數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=___．16.（填空題，5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線E上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過F1作∠F1MF2角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線E的漸近線方程為___．17.（問答題，10分）已知M（5，2），N（-1，-4）兩點(diǎn)．

（1）求以線段MN為直徑的圓C的方程；

（2）在（1）中，求過M點(diǎn)的圓C的切線方程．18.（問答題，12分）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a4=9，S3=15．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19.（問答題，12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（1）求證：PA||平面EDB；

（2）求證：PB⊥平面EFD．20.（問答題，12分）已知數(shù)列{an}滿足．

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．21.（問答題，12分）如圖1是直角梯形ABCD，AB||DC，∠D=90°，AB=2，AD=，CE=2ED=2，以BE為折痕將BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且平面BC1E與平面ABED垂直，如圖2．

（1）求異面直線BC1與AD所成角的余弦值；

（2）在棱DC1上是否存在點(diǎn)P，使平面PEB與平面C1EB的夾角為？若存在，則求三棱錐C1-PBE的體積，若不存在，則說明理由．22.（問答題，12分）已知點(diǎn)A（1，0）及圓B：（x+1）2+y2=8，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l交半徑BP于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線l1，l2，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形CDMN是菱形，求該菱形周長的最大值．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）直線2x+3y+6=0在y軸的截距是（）A.-2B.2C.3D.-3【正確答案】：A【解析】：把直線的方程化為斜截式方程，可得它在y軸的截距．

【解答】：解：直線2x+3y+6=0，即y=-x-2，故它在y軸的截距是-2，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線的斜截式方程，屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題，5分）已知點(diǎn)A（2，1，-2），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（-2，1，2）B.（-2，1，-2）C.（2，-1，-2）D.（2，-1，2）【正確答案】：D【解析】：利用關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即可求解．

【解答】：解：∵點(diǎn)A（2，1，-2），

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1，2）．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查空間點(diǎn)對稱的問題，屬于基礎(chǔ)題．3.（單選題，5分）已知點(diǎn)P（-3，-4），Q是圓O：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長的最小值為（）A.3B.4C.5D.6【正確答案】：A【解析】：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點(diǎn)的距離加上半徑即可得解．

【解答】：解：圓O：x2+y2=4的圓心為（0，0），半徑為r=2，

所以，

圓上點(diǎn)Q在線段OP上時(shí)，|PQ|min=5-2=3，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓中的最值問題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4.（單選題，5分）已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A.B.C.D.【正確答案】：B【解析】：直接利用橢圓方程，求解橢圓的離心率即可．

【解答】：解：橢圓方程為：，

則其離心率為：==，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．5.（單選題，5分）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個(gè)完全相同的面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）A.30B.40C.50D.60【正確答案】：C【解析】：可設(shè)這5個(gè)人所分到的面包分別為a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，則，從而可求出a與d的值，進(jìn)一步確定最大的那份面包數(shù)為a+2d．

【解答】：解：根據(jù)題意，設(shè)這5個(gè)人所分到的面包分別為a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，

則，即，

所以最大的那份面包數(shù)為a+2d=50．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際問題建立等差數(shù)列模型進(jìn)行解答，屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題，5分）已知拋物線C：y2=12x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物淺C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，若，則為（）A.2B.3C.4D.6【正確答案】：C【解析】：設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)，B在準(zhǔn)線上的射影分別為M，C，N，根據(jù)拋物線的定義可得|BN|=|BF|，∠NPB=30°，利用=，即可求得AM，從而求解．

【解答】：解：設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)，B在準(zhǔn)線上的射影分別為M，C，N，

根據(jù)拋物線的定義可得|BN|=|BF|，

因?yàn)?，則|PB|=2|BN|，所以∠NPB=30°，|AP|=2|AM|，

設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|AM|=n，|PF|=3m，

∴2n=n+3m，∴n=3m，

∴|AF|=|PF|=3m，

∴=，又|CF|=p=6，

∴|AM|=12=3m，∴|BF|=m=4，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7.（單選題，5分）已知圓O：x2+y2=25，直線l：y=kx+1-k，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A.B.C.8D.9【正確答案】：B【解析】：首先確定直線恒過定點(diǎn)，然后結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解弦長的最小值即可．

【解答】：解：直線方程即y=k（x-1）+1，直線恒過定點(diǎn)（1，1），

圓心與定點(diǎn)直線的距離為，

由圓的幾何性質(zhì)可知，最短弦長為．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線恒過定點(diǎn)，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．8.（單選題，5分）數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個(gè)六邊形數(shù)為（）

A.153B.190C.231D.276【正確答案】：C【解析】：根據(jù)已知數(shù)，求出其規(guī)律即可求解結(jié)論．

【解答】：解：因?yàn)椋?，

6=1+5，

15=1+5+9，

28=1+5+9+13，

45=1+5+9+13+19；

即這些六邊形數(shù)是由首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列的和組成的；

所以：cn=1?n+×4=2n2-n；

∴第11個(gè)六邊形數(shù)為：2×112-11=231．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．9.（多選題，5分）過點(diǎn)P（-2，0）的直線l與直線l1：x+y-2=0平行，則下列說法正確的是（）A.直線l的頓斜角為45°B.直線l的方程為：x+y+2=0C.直線l與直線l1間的距離為D.過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線為：x-y+2=0【正確答案】：BCD【解析】：由題意可設(shè)直線l的方程為x+y+m=0，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，即可求解m的值，從而可得直線l的方程，再逐項(xiàng)判斷即可求解．

【解答】：解：由題意可設(shè)直線l的方程為x+y+m=0，

將點(diǎn)P（-2，0）代入，-2+0+m=0，可得m=2，

所以直線l的方程為x+y+2=0，故B正確；

斜率k=-1，故傾斜角為135°，故A錯(cuò)誤；

直線l與直線l1間的距離為=2，故C正確；

過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線為y=x+2，即x-y+2=0，故D正確．

故選：BCD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線方程的求法，考查直線的平行與垂直關(guān)系，兩平行直線間的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10.（多選題，5分）已知曲線與曲線，則下列說法正確的是（）A.曲線C1的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是3B.當(dāng)9＜k＜16時(shí)，兩曲線的焦距相等C.當(dāng)k＜9時(shí)，曲線C2為橢圓D.當(dāng)k＞16時(shí)，曲線C2為雙曲線【正確答案】：AC【解析】：由題意方程可得曲線的形狀，再求出焦距，分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．

【解答】：解：曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)坐標(biāo)（±5，0），漸近線方程3x±4y=0，

焦點(diǎn)到漸近線的距離為：d==3，所以A正確；

當(dāng)9＜k＜16時(shí)，曲線的焦距為10，曲線的焦距為：2=2，兩曲線的焦距不相等，所以B不正確；

曲線（k＜9）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以C正確；

曲線，當(dāng)k＞16時(shí)，曲線C2不是雙曲線，所以D不正確．

故選：AC．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線以及橢圓的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．11.（多選題，5分）已知數(shù)列{an}，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列{an}為公比大于0，且不等于1的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}為單調(diào)數(shù)列B.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＞0，S11=0，則當(dāng)n=10時(shí)，Sn最大C.若點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)）的圖象上，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列D.若點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=k?ax（k，a為常數(shù)，k≠0，a＞0，且a≠1）的圖象上，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列【正確答案】：ACD【解析】：由等比數(shù)列{an}可知an+1-an=an（q-1），分析首項(xiàng)及q可判斷A，根據(jù)所給條件可知數(shù)列a6=0，即可判斷B，根據(jù)等差數(shù)列的定義式判斷C，由等比數(shù)列的定義式判斷D．

【解答】：解：對于A，an+1-an=an（q-1），當(dāng)首項(xiàng)為負(fù)數(shù)，q＞1時(shí)，an+1＜an數(shù)列{an}遞減，0＜q＜1時(shí)，an+1＞an數(shù)列{an}遞增，

同理可分析首項(xiàng)為正數(shù)，q＞1時(shí)，數(shù)列{an}遞增，0＜q＜1數(shù)列{an}遞減，故數(shù)列{an}為單調(diào)數(shù)列，故A正確；

對于B，S11=11a6=0，即a6=0，又a1＞0，所以S5=S6最大，故B錯(cuò)誤；

對于C，點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=kx+b，即an=kn+b，所以an+1-ak=k，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故C正確；

對于D，點(diǎn)（n，an）在函數(shù)y=k?ax，即，所以，

所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，故D正確．

故選：ACD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了與等差數(shù)列等比數(shù)列有關(guān)的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題．12.（多選題，5分）如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，使B.線段MN存在最小值，最小值為C.直線MN與平面ABEF所成的角恒為45°D.，都存在過MN且與平面BCE平行的平面【正確答案】：AD【解析】：A用向量的坐標(biāo)表示判斷；B用向量模的定義求最小值判斷；C用向量數(shù)量積求直線與平面成的余弦值，再用極限法判斷；D根據(jù)MN||平面BCE判斷．

【解答】：解：因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，所以BA、BE、BC兩兩垂直，

建系如圖，B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），E（0，1，0），M（，0，），N（，，0），

對于A，因?yàn)?（0，，），=（0，1，-1），所以當(dāng)a=時(shí)，=，所以A對；

對于B，因?yàn)閨|2=（）2+）2=a2-+1=（a-）2+，即||≥，當(dāng)a=時(shí)，等號(hào)成立，所以B錯(cuò)；

對于C，因?yàn)槠矫鍭BEF的法向量是=（0，0，1），設(shè)直線MN與平面ABEF所成角的余弦值為θ，θ∈（0，]，

cosθ==，當(dāng)a→0時(shí)，cosθ→1，θ→，所以C錯(cuò)；

對于D，因?yàn)槠矫鍮CE的法向量是=（1，0，0），?=0，所以MN||平面BCE，所以D對．

故選：AD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題以命題真假判斷為載體，考查了直線與平面成角問題，屬于中檔題．13.（填空題，5分）已知圓C：x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線l：2x+ay=0對稱，則a=___．【正確答案】：[1]1【解析】：將原問題轉(zhuǎn)化為直線過圓C的圓心，即可求解．

【解答】：解：∵圓C：x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5，

又∵圓C：x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線l：2x+ay=0對稱，

∴直線l經(jīng)過圓心C（1，-2），即2×1-2a=0，解得a=1．

故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線與圓的對稱問題，屬于基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)，N是BC的中點(diǎn)，則向量=___．（用表示）【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解．

【解答】：解：∵六面體六面體ABCD-A1B1C1D1為平行六面體，

∴，

∵，N是BC的中點(diǎn)，

∴，

=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15.（填空題，5分）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，Sn=2an+1，則a3=___；數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=___．【正確答案】：[1];[2]【解析】：根據(jù)遞推關(guān)系式求得數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求解結(jié)論．

【解答】：解：∵Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，Sn=2an+1，①

∴a1=S1=2a2?a2=，

且Sn-1=2an，（n≥2）②

①-②得：an=2an+1-2an，

即an+1=an，（n≥2）

即數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴a3=×=，

an=，

故答案為：，．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．16.（填空題，5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線E上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過F1作∠F1MF2角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線E的漸近線方程為___．【正確答案】：[1]y=±2x【解析】：延長F1N交MF2的延長線于Q，因?yàn)镸N是∠F1MF2角平分線，F(xiàn)1N⊥MN，可得△F1MQ為等腰三角形，再由題意可得|F1F2|=3|F2Q|，結(jié)合雙曲線的定義可得a，c的關(guān)系，得到a，b的關(guān)系，求出雙曲線的漸近線的方程．

【解答】：解：延長F1N交MF2的延長線于Q，因?yàn)镸N是∠F1MF2角平分線，F(xiàn)1N⊥MN，如圖所示：

所以△F1MQ為等腰三角形，|F1M|=|MQ|，

N為F1Q的中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，

所以O(shè)N是△F1F2Q的中位線，所以|ON|=|F2Q|，

若，則|F1F2|=3|F2Q|=3（|MQ|-|MF2|）=3（|MF1|-|MF2|）=6a，

即c=3a，可得b2=c2-a2=9a2-a2=8a2，所以=2，

所以雙曲線的漸近線的方程為y=±x=±2x．

故答案為：y=±2x．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．17.（問答題，10分）已知M（5，2），N（-1，-4）兩點(diǎn)．

（1）求以線段MN為直徑的圓C的方程；

（2）在（1）中，求過M點(diǎn)的圓C的切線方程．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)題意，由MN的坐標(biāo)，求出圓心和半徑，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，求出直線CM的斜率，即可得切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程計(jì)算答案．

【解答】：解：（1）根據(jù)題意，M（5，2），N（-1，-4），則MN的中點(diǎn)為（2，-1），|MN|==6，

線段MN是圓C的直徑，則圓C的圓心為（2，-1），半徑r=3，

則圓C方程為（x-2）2+（y+1）2=18，

（2）根據(jù)題意，圓C的方程為（x-2）2+（y+1）2=18，M為圓上一點(diǎn)，

則kCM==1，故切線的斜率k=-1，

切點(diǎn)為M（5，2），則切線的方程為y-2=-（x-5），變形可得x+y-7=0；

故切線的方程為：x+y-7=0．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．18.（問答題，12分）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a4=9，S3=15．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【正確答案】：

【解析】：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由可得，解得a1與d的值后即可得到{an}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可知bn===（-），從而利用裂項(xiàng)相消求和法即可求出Tn．

【解答】：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由，得，解得，

所以an=3+2（n-1）=2n+1；

（2）由（1）可知bn===（-），

所以Tn=（1-+-+???+-）=（1-）=．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求和法，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．19.（問答題，12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（1）求證：PA||平面EDB；

（2）求證：PB⊥平面EFD．【正確答案】：

【解析】：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則OE||PA，由此能證明PA||平面EDB．

（2）推導(dǎo)出PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，從而BC⊥平面PDC，BC⊥DE，DE⊥平面PBC，DE⊥PB，EF⊥PB，由此能證明PB⊥平面EFD．

【解答】：證明：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，

∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE||PA，

∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA||平面EDB．

（2）∵底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，

∴PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，

∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，

∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，

∵BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，

∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.（問答題，12分）已知數(shù)列{an}滿足．

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【正確答案】：

【解析】：（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的變換進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）利用分類討論思想的應(yīng)用和分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．

【解答】：證明：（1）數(shù)列{an}滿足，

整理得（常數(shù)），

所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

故，

整理得；

（2）由（1）得：；

故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，==，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

故．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通過項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，分組法的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．21.（問答題，12分）如圖1是直角梯形ABCD，AB||DC，∠D=90°，AB=2，AD=，CE=2ED=2，以BE為折痕將BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且平面BC1E與平面ABED垂直，如圖2．

（1）求異面直線BC1與AD所成角的余弦值；

（2）在棱DC1上是否存在點(diǎn)P，使平面PEB與平面C1EB的夾角為？若存在，則求三棱錐C1-PBE的體積，若不存在，則說明理由．【正確答案】：

【解析】：（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得A，B，C、D，C1的坐標(biāo)，=（-，-，），=（，0，0），用向量求線線角；

（2）假設(shè)棱DC1上存在點(diǎn)P，設(shè)=λ，求得點(diǎn)p坐標(biāo)，再求得平面PBE的一個(gè)法向量，平面C1BE的一個(gè)法向量為，用向量求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)P到平面C1BE的距離即可求得體積．

【解答】：解：（1）連接AE，

由題意可得，AE=2，

因?yàn)镃E||BA，CE=BA=AE，

則四邊形ABCE為菱形，

連接AC交BE于點(diǎn)F，

則CF⊥BE，

在Rt△ACD中，AC==2，

所以AF=CF=，

因?yàn)槠矫鍮C1E與平面ABED垂直，

又C1F⊥BE，

故C1F⊥平面ABED，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

D（0，0，0），A（，0，0），B（，2，0），E（0，1，0），F(xiàn)（，，0），C1（，，），

=（-，-，），=（，0，0），|cos＜，＞|==，

故異面直線BC1與AD所成角的余弦值為；

（2）假設(shè)在棱DC1上存在點(diǎn)P，使得二面角P-EB-C1的平面角為，

則=（，，），=λ=（λ，λ，λ），則P（λ，λ，λ），

所以=（-，-1，0），=（-λ，1-λ，-λ），

因?yàn)锳F⊥平面C1BE，

所以平面C1BE的一個(gè)法向量為==（-1，，0），

設(shè)平面PBE的法向量為=（a，b，c），

則，即，

可取=（λ，-3λ，λ-），

所以