2020年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 隱形圓系列之最大張角 學(xué)案設(shè)計(jì)

隱形圓列最大張問(wèn)背景：1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢隽艘粋€(gè)十分有趣的問(wèn)題：在地球表面的什么位置，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？因此最大視角問(wèn)題又稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”。米問(wèn)題：(最大角題目件和題)已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在何處時(shí)，∠ACB最大？米定理大）：已A是MN邊O上一動(dòng)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC外接圓與邊O切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB大此時(shí)有OC2=OBA（△OBC△O）解決它理論依據(jù):同弧所對(duì)的圓周角相等；圓外角＜圓周角＜圓內(nèi)角（同弧所對(duì)）接下來(lái)們給予證明證明：設(shè)C'是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連接設(shè)BC'交圓于點(diǎn)H，則∠ACB=∠AHB,∠AHB＞∠AC'B∴∠ACB＞∠AC'B典1:如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1，0)，(5，點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：這是一道張角最大問(wèn)(米勒視角問(wèn)題）由上面的米勒定理可知使∠APB大需△的外接圓與y軸相切時(shí)最大。當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)∠APB最大．那么如何確定eq\o\ac(○,E)eq\o\ac(○,)呢？我們知道確定圓的條件是：圓心和半徑；只要確定了圓的圓心和半徑，圓即確定；∵圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則圓心，必在線段AB的中垂線上；又知圓與y軸相切，圓心距y軸的半徑=OH長(zhǎng)點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)A距圓心的距離=OH以點(diǎn)A為圓心，OH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB中垂線于點(diǎn)，則點(diǎn)E即為所求的圓心。半徑即為EA理由：連接EA，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，易得：∠APB＝∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大．∵A(1，0)，B(5，，則AB=4，AH=2，sin∠AEH=AH/EA=2/EP當(dāng)EA最小即EP最小時(shí)，sin∠AEH最大，∠AEH大，∴當(dāng)○E與y軸相切時(shí)，∠APB最大。①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P∴PEOP，∵EH⊥，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90，∴四邊形OPEH是矩形，∴OP＝EH，PE＝OH＝3，∴EA＝3，∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，EH=√5=OP,∴點(diǎn)P（0，√5）②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)P2（0，-√5）綜上，點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)∠APB最大，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，√5），（0，-√5）方法二：（弦切角定理---切割線定理）∵○E與y軸相切于點(diǎn)P，可得PK⊥OP，則∠KPA+∠APO=90°，又PK為○O的直徑∴∠PAK=90°，得∠APK+∠K=90°，∠APO=∠K=∠PBO∠POA=∠BOP=90°，△AOP∽△POB可得OP2=OA×OB可得OP=±√5（學(xué)生在運(yùn)用這兩個(gè)定理時(shí)注意要進(jìn)行證明）歸納方：第一步圖兩定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形外接圓與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡相切度最大。注意：確定圓（外接圓）的條件：圓心和半徑；第二步所求圓周角轉(zhuǎn)化圓心角進(jìn)行證明；第三步算：構(gòu)造切割模型證明相似?？傻?，OP2=OA×OB典2:【問(wèn)題探究】（1）如圖1，AB是○O的弦，直線l與○O相交于點(diǎn)、N兩點(diǎn)，M1，M2是直線l上異于點(diǎn)M，N的兩個(gè)點(diǎn)，則∠AMB,∠AM1B，∠AM2B大小關(guān)系是____（用＞號(hào)連接）（2）如圖2，AB是○O的弦，直線L與○O相切于點(diǎn)，點(diǎn)M1是直線l上異于點(diǎn)M的任意一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形，試判斷∠AMB，∠AM1B大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。（3）如圖3，在平面直角坐系中，已知點(diǎn)A（2,0）（8,0），點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘鉀Q問(wèn)題】（4）某游樂(lè)園的平面圖如圖4所示，場(chǎng)所保衛(wèi)人員想在線段上的點(diǎn)M處安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)控OC邊上的AB段，為了讓監(jiān)控效果達(dá)到最佳，必須要求∠AMB大。已知：∠DOC=60°，OA=400米，AB=200√3米，問(wèn)在線OD上是否存在一點(diǎn)M，使得∠AMB最大若存在請(qǐng)求出此時(shí)OM的長(zhǎng)和∠AMB度數(shù)如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。解析（1）：同弧所對(duì)的“圓內(nèi)角＞圓周角＞圓外角”易得，∠AM1B＞∠AMB＞∠AM2B解析（2）：如圖所示，∠AM1B即為所求，理由：連接BR,則∠AMB=∠ARB∠ARB＞∠AM1B∠AMB=∠ARB＞∠AM1B解析（3）：（學(xué)生訓(xùn)練，方法同上）解析（4）：這一問(wèn)又是視角最大問(wèn)題。按照上面歸納的方法進(jìn)行第一步圖，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的○E與OD相切于點(diǎn)M時(shí)，∠AMB最大。問(wèn)題是如何確定圓呢？我們知道，確定圓的條件是：圓心和半徑；只要圓心和半徑確定，則圓即確定∵點(diǎn)A、B在圓上，∴圓心必在線段AB的中垂線上，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥OD于T，過(guò)點(diǎn)A作AT的垂線交AB垂線于點(diǎn)E∵圓與OD相切，所以EM⊥OD，易得四邊形AEMT矩形；同時(shí)點(diǎn)A在圓上,AE=ME，∴點(diǎn)E即為圓的圓心，半徑即為易得四邊形AEMT為正方形第二步要說(shuō)明理由，連接EA，EB過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H∵AB=200√3，則AH=BH=100√3易得∠AMB=∠AEH在RT△AEH中，sin∠AEH=AH/AE=100√3/AE當(dāng)AE最小，即ME最小時(shí)，∠AEH最大，∴○E與OD相切，∠AMB最大第三步算；方法一RT△AOT中，OA=400，∠AOT=60°∴OT=200，AT=200√3=AE，OM=OT+TM=200+200√3在RT△AEH中，sin∠AEH=AH/AE=100√3/200√3=1/2∴∠AEH=30°，即∠AMB=30°方法二先利用熟悉的切割線模型證明△AOM∽△MOB∵OD切○E于點(diǎn)M，則MK⊥OD∠AMO+∠AMK=90°，MK為○E的直徑，∴∠MAK=90°∴∠K+∠AMK=90°，∴∠K=∠AMO=∠MBA∠O=∠O，∴△AOM∽△MOB易得OM2=OA×OB，OM=200√3+200過(guò)點(diǎn)A作AT⊥OD，則易得OT=200∴TM=AE=200√3在RT△AEH中，sin∠AMB=sin∠AEH=1/2∴∠AMB=30°變式訓(xùn)練題變式訓(xùn)練1：（2020工大二模第14題）1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在AD上，連接，則sin∠BPC的最大值為_(kāi)________變式訓(xùn)練2：如圖，矩形中,AB=3，BC=4，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠EPC最大時(shí)，請(qǐng)求出△APD的面積變式訓(xùn)練3：【問(wèn)題探究】如圖1，AB是○O的弦，點(diǎn)C是○O上的一點(diǎn)，在直線上方找一點(diǎn)，使得∠ADB=∠ACB，畫(huà)出∠ADB，并說(shuō)明理由；如圖2，AB是○O的弦，點(diǎn)C是○O上的一點(diǎn)，在過(guò)點(diǎn)的直線l上找一點(diǎn)P，使得∠APB＜∠ACB，畫(huà)出∠APB，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】如圖3，已知足球球門(mén)AB約為5√2米，一球員從距B點(diǎn)5√2米的C點(diǎn)(點(diǎn)A、C均在球場(chǎng)底線上)，沿著與AC成45°角的CD向帶球．試問(wèn)，該球員能否在射線CD上找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為最佳射門(mén)點(diǎn)(即∠APB大)？若能找到，求出此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離；若找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.4.（25陜西）如圖，在每一個(gè)四邊形A