工程力學之應力應變

應力應變分析本章研究一點處的應力狀態(tài)應力和應變是變形體力學中非常重要的概念。主要內(nèi)容如下：應力應變分析§11.1一點處的應力狀態(tài)§11.2應力張量的表示方法§11.3平面應力狀態(tài)§11.4應力圓§11.5三向應力狀態(tài)§11.6應變狀態(tài)(與平面應力狀態(tài)對應的)§11.7應力應變關系§11.1一點處的應力狀態(tài)內(nèi)力是截面上的分布內(nèi)力的等效力系載荷集度稱為上的平均應力將分解為與法向和切向的力，內(nèi)力與應力的概念則稱為正應力（法向應力）

稱為剪應力（切應力）M點在截面上的正應力M點在截面上的剪應力應力的量綱一點處所有各方位截面上的應力的集合稱為該點的應力狀態(tài)，一點處的應力與其集度以及的法向相關,因此可用兩個并在一起的矢量表示,并且在不同的坐標系中滿足一點的坐標轉(zhuǎn)換關系，這在數(shù)學上成為張量，描述應力的張量稱為應力張量§11.2應力張量的表示方法取一包圍該點的微元體（單元體）其各棱邊相互垂直，各棱邊的長分別為或由于單元體很小其上的應力可看作均勻分布各面上的應力可用3*3的矩陣表示（i,j=1,2,3）應力分量,應力張量。按上述約定假設應力的方向?qū)φ龖?，則是拉應力為正?？紤]單元體力矩對軸的平衡方程有：（不考慮體力偶）同理上述關系稱為剪應力互等定理設表示軸與軸的方向余弦。則可以證明應力張量可用來描述一點的應力狀態(tài)坐標變換矩陣§11.3平平面應力狀態(tài)態(tài)若單元體上不為為零的應力分量量都位于同一平平面內(nèi)稱為平面面應力狀態(tài)。例如當物體的表表面不受力時在在表面取出單元元體例如外力作用在在板平面內(nèi)的薄薄板設不為0的應力力分量都位于xy平面內(nèi)一點的應力狀態(tài)應給出各方位截面上的應力情況，截面

上的應力,其與

軸正向的夾角以逆時針方向為正初始單元體：顯然：由將代入

由同理可得(a)(b)(c)式有兩個解將(c)式代入(b)式有單元體上剪應力力為0的截面稱稱為主平面主平面上的正應力稱為主應力主應力為各方程截面上正應力的極值一個為極大值一個為極小值、以主平面為單元體的各面稱為主單元體同理可求出的極值及例已知初始單元元體上的應力（（Mpa）求主單元體上的的應力并畫出主主單元體解：§11.4應應力圓一點處平面應力力狀態(tài)的圖解法法，直觀各方位位的應力情況一一目了然。由(a)(b)上兩式兩邊平方方后相加則上式在應力坐坐標中為一圓稱稱為應力圓莫爾爾圓圓心坐標：半徑：因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞應力圓的圓心轉(zhuǎn)一周

應力圓的畫法：建應力坐標系，取比例尺,定點或由圓心,半徑——畫圓

應力圓上一點，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應截面上的應力

應力圓畫畫法證明：同理可以證明：

及的方位極值點的方位與主平面方位相差對應的應力

任意兩相互垂直直截面上的正應應力之和由(a)式例確定主平面方程畫出主單元體及其上的應力，并在應力圓上標出圖示截面上的應力單位：

解：主單元體：例2已知應力圓畫出初始單元體及其應力主單元體及應力單位解：初始單元體體半徑

主單元體：§11.5三三向應力狀狀態(tài)將三個主應力按按代數(shù)量的大小小順序排列因此根據(jù)每一點點的應力狀態(tài)可可以找到3個相相互垂直的主應應力三向應力圓空間任意方程截面上的應力，與三向應力圓所夾陰影面中某點的應力坐標表示。

一點處最大的剪應力

三向應力圓單向、雙向、三三向應力狀態(tài)例：求

解：在，平面內(nèi)

三向應力圓如圖圖注意：不是同一一平面的應力不不能用平面應力力狀態(tài)方法求解解。§11.6應應變狀態(tài)（與平面應力狀狀態(tài)對應的）一點的變形有線應變和剪應變，單元體的相應尺寸與應變相乘得單元體的變形

在，坐標下

在，坐標下，方向到方向夾角

令，各個方位應變的情況稱為一點的應變狀態(tài)與平面應力狀態(tài)的分析類似有

應變花：可證明：在應力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應力與主應變的方位是重合的。虎克定律

比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§11.7應應力應變關系系1、單向應力狀狀態(tài)2、純剪應力狀狀態(tài)在線彈性范圍內(nèi)

剪切虎克定律

——剪切彈性模量

可證明

只有作用時3、廣義虎克定定律對主單元體例：已知一構件表面一點的應變

求該點的主應應力和最大剪應應力解：設

則

整理后例2已知，求設

解：取一單元體體積受應力作用變形變形后的體積

4、體積變形單位體積的改變量