橢圓中的最值問題與定點、定值問題

2020橢中最問與點定問解決與橢有關的最值題的常用方（）用定義化為幾何問題處理；（）用數形合，挖掘數學表達式的幾何特征進而求解；（）用函數值得探求方法其化為區(qū)間上的二次函的最值來處理時應注意橢圓中、的值范圍；（）用三角代（換元法）轉化為角函數的最值問題處理。一、圓一點焦的離最問橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑圓一動點與長軸的兩端點重合時點焦點取得最大值a+c（遠日點小值a-c近日點推導：設點

P(,)0

為橢圓

y2(上任意一點，左焦點為a2

F(

，|PF

()

y

，由

y0得y0)a22a

，將其代入|PF()

y

并化簡得

|PF|a

。所以，當點

P(,)0

為長軸的右端點(a

重合時，

|PF

a

；當點

y00

為長軸的左端點

(

重合時。

1min

ca

。當焦點為右焦點

F(c

時，可類似推出。（浙江卷）如圖，已知橢圓

2

上兩個不同的點A、關于直線

y

12

對稱。（）實數m的值范圍；（）面的最大值（為標原點解）由題意

，可設直線的方程為

y

1

x

。1

MMM)x2MMM)x2xy2聯(lián)立，

去，得

1b()x2m2m

。因為直線

y

1x2x與橢圓2

有兩個不同的交點，所以

4m

。-------①設

(),(x,y)112

，線段AB的中點

Mx)MM

，則

x1

4mbm

，所以

2mb1mm2xm

。將線段AB的中點

M(

2mmm2

2b

)

代入直線y

12

，解得

b

m22

。②由①②得

6或m

。(2)令

t

16,0)(0,)m2

，則

|AB

11)

2

t

2

ttt2

，且到直線的離為

d

t

12t2

。設AOB的面積為St)

，所以

S()

1|AB2(t2)22

，2

22222211222252122122222222112222521221221221212m＝52552當且僅當

t2

12

時，等號成立。故

AOB

2面積的最大值為。2已橢圓x＋＝1及線y＝x＋當直線和橢圓有公共點時，求實數m的值范圍；求被橢圓截得的最長弦所在的直線方1解(1)由x＋m

得

5＋2mx＋m＝

，因為直線與橢圓有公共點，所以

554－20(－1)≥0，解得－≤≤.設直線與橢圓交于

(x，)，B(x，)兩點，由1)知：

5＋mx＋m－1＝0，所以

21x＋＝－，x＝(－1)，122所以|＝

－x

＋－y＝

2

2[x4xx]＝

108

.所以當＝0時AB最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為

y＝x.反思與感悟解幾何中的綜合性問題很多且可與很多知識聯(lián)系在一起出題如不等式、三角函數、平面向量以及函數的最值問題.解這類問題需要正確地應用轉化思想、3

22ab2222a2221222ab2222a22212函數與方程思想和數形結合思.中應用比較多的是利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條.跟蹤訓練如，A橢圓：＋＝1(a的軸位于軸方的端點，過點→→且斜率為的直線交橢圓于點，P在y軸，且BPx軸AB＝9.若點P的坐標為(，求橢圓C的準方程；若點P的坐標為(0，)，求的值范解

∵直線的斜率為，∴∠＝，→→eq\o\ac(△,即)是等腰直角三角形，＝2|AP|.→→∵AB＝9，→→→∴AB|||cos＝|cos45°＝9，→∴AP＝3.→→(1)∵P，∴|＝1，|＝2，即＝2，且B(3,1).91∵在橢圓上，∴＋＝，得a＝12，x∴橢圓的標準方程為＋＝4

2a22222222a2222222(2)由點的坐標為(，t及點A位于軸下方，得點的坐標為(，－，∴t－＝－，即＝3t.顯然點的坐標是(，t)，將它代入橢圓方程得：9t＋

＝1，解得

2

3＝3－2t∵a>b，∴

33－2t

－t)>0.3t∴>1，即－＝，3－2t－2－t3∴所求t的取值范圍是0<<二橢中定和值題解決時應用數形結合、分類討論、幾何法等方法。解決此類問題的方法有兩種：（）行一般算、推理求出結果；（）過檢查殊位置，探索出“定點后進行一般性證明或計算。已橢圓的心在坐標原點，焦點x軸，橢圓C上點到焦點距離的最大值為，最小值為1。（）橢圓C標準方程；（）直線

l:kx

與橢圓

C

相交于A、兩AB不左右頂以AB為徑的圓過橢圓

C

的右頂點。求證：直線

l

過定點，并求出該定點的坐標。解）根據題可設橢圓方程

y(a0)a25

，

2212122121由已知得，解得cy所以橢圓的標準方程為4

。

b2

，(2)設

(,),(x,y)112

kx，聯(lián)立得4

(3k)x

2

2

，則由題意得

2km

，即

k

，且

mkxmx

，又

)(kx)11

=

kxmk(x)21

=

3(2k32

2

)

，設橢圓的右頂點為D

以AB為徑的圓過橢圓的右頂點

D(2,0)k

AD

BD

y即121

，x)1122

，

3(m2k)m1633k2

，化簡整理得

7m2mk