橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題

2020橢中最問(wèn)與點(diǎn)定問(wèn)解決與橢有關(guān)的最值題的常用方（）用定義化為幾何問(wèn)題處理；（）用數(shù)形合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解；（）用函數(shù)值得探求方法其化為區(qū)間上的二次函的最值來(lái)處理時(shí)應(yīng)注意橢圓中、的值范圍；（）用三角代（換元法）轉(zhuǎn)化為角函數(shù)的最值問(wèn)題處理。一、圓一點(diǎn)焦的離最問(wèn)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為焦半徑圓一動(dòng)點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)點(diǎn)焦點(diǎn)取得最大值a+c（遠(yuǎn)日點(diǎn)小值a-c近日點(diǎn)推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn)

P(,)0

為橢圓

y2(上任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為a2

F(

，|PF

()

y

，由

y0得y0)a22a

，將其代入|PF()

y

并化簡(jiǎn)得

|PF|a

。所以，當(dāng)點(diǎn)

P(,)0

為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)(a

重合時(shí)，

|PF

a

；當(dāng)點(diǎn)

y00

為長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)

(

重合時(shí)。

1min

ca

。當(dāng)焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)

F(c

時(shí)，可類(lèi)似推出。（浙江卷）如圖，已知橢圓

2

上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、關(guān)于直線(xiàn)

y

12

對(duì)稱(chēng)。（）實(shí)數(shù)m的值范圍；（）面的最大值（為標(biāo)原點(diǎn)解）由題意

，可設(shè)直線(xiàn)的方程為

y

1

x

。1

MMM)x2MMM)x2xy2聯(lián)立，

去，得

1b()x2m2m

。因?yàn)橹本€(xiàn)

y

1x2x與橢圓2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

4m

。-------①設(shè)

(),(x,y)112

，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)

Mx)MM

，則

x1

4mbm

，所以

2mb1mm2xm

。將線(xiàn)段AB的中點(diǎn)

M(

2mmm2

2b

)

代入直線(xiàn)y

12

，解得

b

m22

。②由①②得

6或m

。(2)令

t

16,0)(0,)m2

，則

|AB

11)

2

t

2

ttt2

，且到直線(xiàn)的離為

d

t

12t2

。設(shè)AOB的面積為St)

，所以

S()

1|AB2(t2)22

，2

22222211222252122122222222112222521221221221212m＝52552當(dāng)且僅當(dāng)

t2

12

時(shí)，等號(hào)成立。故

AOB

2面積的最大值為。2已橢圓x＋＝1及線(xiàn)y＝x＋當(dāng)直線(xiàn)和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值范圍；求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線(xiàn)方1解(1)由x＋m

得

5＋2mx＋m＝

，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，所以

554－20(－1)≥0，解得－≤≤.設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于

(x，)，B(x，)兩點(diǎn)，由1)知：

5＋mx＋m－1＝0，所以

21x＋＝－，x＝(－1)，122所以|＝

－x

＋－y＝

2

2[x4xx]＝

108

.所以當(dāng)＝0時(shí)AB最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線(xiàn)方程為

y＝x.反思與感悟解幾何中的綜合性問(wèn)題很多且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題.解這類(lèi)問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、3

22ab2222a2221222ab2222a22212函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思.中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條.跟蹤訓(xùn)練如，A橢圓：＋＝1(a的軸位于軸方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)→→且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，P在y軸，且BPx軸AB＝9.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，求橢圓C的準(zhǔn)方程；若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)，求的值范解

∵直線(xiàn)的斜率為，∴∠＝，→→eq\o\ac(△,即)是等腰直角三角形，＝2|AP|.→→∵AB＝9，→→→∴AB|||cos＝|cos45°＝9，→∴AP＝3.→→(1)∵P，∴|＝1，|＝2，即＝2，且B(3,1).91∵在橢圓上，∴＋＝，得a＝12，x∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝4

2a22222222a2222222(2)由點(diǎn)的坐標(biāo)為(，t及點(diǎn)A位于軸下方，得點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－，∴t－＝－，即＝3t.顯然點(diǎn)的坐標(biāo)是(，t)，將它代入橢圓方程得：9t＋

＝1，解得

2

3＝3－2t∵a>b，∴

33－2t

－t)>0.3t∴>1，即－＝，3－2t－2－t3∴所求t的取值范圍是0<<二橢中定和值題解決時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、幾何法等方法。解決此類(lèi)問(wèn)題的方法有兩種：（）行一般算、推理求出結(jié)果；（）過(guò)檢查殊位置，探索出“定點(diǎn)后進(jìn)行一般性證明或計(jì)算。已橢圓的心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)x軸，橢圓C上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為1。（）橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；（）直線(xiàn)

l:kx

與橢圓

C

相交于A、兩AB不左右頂以AB為徑的圓過(guò)橢圓

C

的右頂點(diǎn)。求證：直線(xiàn)

l

過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解）根據(jù)題可設(shè)橢圓方程

y(a0)a25

，

2212122121由已知得，解得cy所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4

。

b2

，(2)設(shè)

(,),(x,y)112

kx，聯(lián)立得4

(3k)x

2

2

，則由題意得

2km

，即

k

，且

mkxmx

，又

)(kx)11

=

kxmk(x)21

=

3(2k32

2

)

，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為D

以AB為徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)

D(2,0)k

AD

BD

y即121

，x)1122

，

3(m2k)m1633k2

，化簡(jiǎn)整理得

7m2mk