2021高三統(tǒng)考北師大版數學一輪學案：第1章第3講簡單邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三統(tǒng)考北師大版數學一輪學案：第1章第3講簡單邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞含解析第3講簡單邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞基礎知識整合1．全稱量詞和存在量詞（1)全稱量詞有:所有的，任意一個，任給一個，用符號“eq\o（□,\s\up1（01))?”表示；存在量詞有：存在一個,至少有一個,有些，用符號“eq\o(□,\s\up1（02)）?”表示．(2）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為：eq\o（□,\s\up1(03)）?x∈M，p(x)。(3)含有存在量詞的命題,叫做特稱命題．“存在M中元素x0，使p（x0）成立”用符號簡記為：eq\o（□,\s\up1(04)）?x0∈M,p（x0).2．含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)eq\o(□,\s\up1(05))?x0∈M，?p（x0)?x0∈M，p（x0)eq\o(□,\s\up1（06））?x∈M，?p（x)1．命題p∧q,p∨q，?p的真假判定pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．確定p∧q,p∨q，?p真假的記憶口訣如下：p∧q→見假即假，p∨q→見真即真，p與?p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(?p)∧（?q）”;“p∧q”的否定是“(?p)∨(?q）”．4．“且”“或”“非"三個邏輯聯結詞，對應著集合中的“交”“并”“補”，所以含有邏輯聯結詞的問題常常轉化為集合問題處理．5．含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結論"．6．命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p，則q”的否定是“若p，則?q”，否命題是“若?p,則?q”．1．命題p：“?x∈N*，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）x≤eq\f（1，2)"的否定為（)A．?x∈N＊,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)x〉eq\f（1，2) B．?x?N＊，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）x>eq\f(1,2）C．?x?N＊，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)x>eq\f（1,2) D．?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)))x>eq\f(1，2）答案D解析全稱命題的否定為特稱命題，方法是改量詞，否結論,故選D．2．如果命題“p且q"是假命題，“非p”是真命題，那么（）A．命題p一定是真命題B．命題q一定是真命題C．命題q一定是假命題D．命題q可以是真命題也可以是假命題答案D解析∵?p是真命題,∴p是假命題，又p∧q是假命題,∴q可真可假，故選D．3．若命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0）＋（a－1)x0＋1〈0”是真命題，則實數a的取值范圍是（)A．［－1,3］ B．（－1，3)C．（－∞，－1］∪［3，＋∞) D．（－∞，－1)∪（3,＋∞）答案D解析因為命題“?x0∈R,xeq\o\al(2，0）＋(a－1)x0＋1<0”等價于“xeq\o\al(2,0)＋（a－1)x0＋1＝0有兩個不等的實根”，所以Δ＝(a－1）2－4>0，即a2－2a－3〉0，解得a〈－1或a>3。4．命題p:甲的數學成績不低于100分，命題q:乙的數學成績低于100分，則p∨（?q)表示(）A．甲、乙兩人數學成績都低于100分B．甲、乙兩人至少有一人數學成績低于100分C．甲、乙兩人數學成績都不低于100分D．甲、乙兩人至少有一人數學成績不低于100分答案D解析因為命題q:乙的數學成績低于100分，所以命題?q表示乙的數學成績不低于100分，所以命題p∨（?q）表示甲、乙兩人至少有一人的數學成績不低于100分．故選D．5．(2019·廣東七校聯考）下列說法正確的是（)A．命題“若｜x｜＝5,則x＝5"的否命題為“若|x｜＝5，則x≠5”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x0∈R,3xeq\o\al（2,0)＋2x0－1>0”的否定是“?x∈R,3x2＋2x－1〈0”D．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題答案D解析A中，命題“若｜x｜＝5,則x＝5”的否命題為“若|x|≠5,則x≠5”，故A不正確；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0"的充分不必要條件，故B不正確；C中，“?x0∈R,3xeq\o\al（2,0)＋2x0－1>0”的否定是“?x∈R，3x2＋2x－1≤0"，故C不正確；D中，命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”為真命題，因此其逆否命題為真命題，D正確，故選D．6．（2019·廣東深圳三校聯考）已知命題p：不等式ax2＋ax＋1〉0的解集為R，則實數a∈(0，4），命題q：“x2－2x－8〉0”是“x>5”的必要不充分條件，則下列命題正確的是()A．p∧q B．p∧(?q）C．(?p）∧（?q) D．(?p)∧q答案D解析命題p：a＝0時，可得1〉0恒成立；a≠0時,可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0,，Δ＝a2－4a<0，))解得0〈a〈4，綜上，可得實數a∈[0，4),因此p是假命題,則?p是真命題；命題q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8〉0”是“x>5”的必要不充分條件，是真命題,故(?p)∧q是真命題．故選D．核心考向突破考向一含有邏輯聯結詞命題真假的判斷例1（1)在一次駕照考試中，甲、乙兩位學員各試駕一次．設命題p是“甲試駕成功”,q是“乙試駕成功”，則命題“至少有一位學員沒有試駕成功"可表示為（)A．(?p)∨（?q) B．p∨（?q)C．（?p)∧(?q） D．p∨q答案A解析命題“至少有一位學員沒有試駕成功”包含以下三種情況:“甲、乙均沒有試駕成功”“甲試駕成功，乙沒有試駕成功"“乙試駕成功，甲沒有試駕成功”．故選A．（2)（2020·安慶模擬)設命題p：?x0∈(0，＋∞）,x0＋eq\f（1，x0)>3，命題q:?x∈（2，＋∞），x2>2x，則下列命題為真的是(）A．p∧(?q） B．(?p）∧qC．p∧q D．（?p)∨q答案A解析命題p：?x0∈(0,＋∞)，x0＋eq\f（1,x0）>3，當x0＝3時,x0＋eq\f（1,x0)＝eq\f（10,3）>3，命題p為真；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2〉2x,當x＝4時，42＝24，命題q為假，所以p∧(?q)為真，故選A．判斷含有邏輯聯結詞的命題真假的一般步驟INCLUDEPICF”(1)定結構：先判斷復合命題的結構形式．INCLUDEPICTF”(2）辨真假:判斷構成這個命題的每一個簡單命題的真假性．INCLUDEPICTF"（3)下結論：依據“有真或為真，有假且為假，p和?p真假相反”,作出判斷．［即時訓練]1.（2019·衡水模擬）已知命題p：?x>e，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))x>lnx；命題q：?a〉1，b>1，logab＋2logba≥2eq\r（2）,則下列命題中為真命題的是（)A．(?p)∧q B．p∧qC．p∧（?q） D．p∨（?q)答案A解析因為?x>e,eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）x<1<lnx,因此命題p是假命題；因為?a>1，b〉1,logab〉0，logba>0，所以logab＋2logba＝logab＋eq\f(2,logab)≥2eq\r(logab·\f（2，logab））＝2eq\r（2),當且僅當logab＝eq\r（2)時取等號．因此q是真命題．則為真命題的是（?p)∧q。故選A．2．設命題p:函數y＝sin2x的最小正周期為eq\f（π，2)；命題q：函數y＝cosx的圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱．則下列判斷正確的是________.①p為真②?q為假③p∧q為假④p∨q為真⑤(?p）∧(?q）為真⑥?（p∨q)為真．答案③⑤⑥解析p，q均為假，故p∧q為假，p∨q為假，(?p)∧（?q）為真，?(p∨q）為真．精準設計考向，多角度探究突破考向二全稱命題、特稱命題角度eq\o(\s\up7（)，\s\do5(1））全稱命題、特稱命題的否定例2（1)(2019·貴州聯考)已知命題p：?x〉0，總有(x＋1）ex>1，則?p為(）A．?x0≤0，使得（x0＋1)ex0≤1B．?x0〉0,使得(x0＋1）ex0≤1C．?x>0,總有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，總有(x＋1）ex≤1答案B解析命題p:?x〉0,總有（x＋1)ex〉1的否定為?x0〉0，使得(x0＋1)ex0≤1，故選B．（2）命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是()A．任意一個有理數，它的平方是有理數B．任意一個無理數,它的平方不是有理數C．存在一個有理數,它的平方是有理數D．存在一個無理數，它的平方不是有理數答案B解析根據特稱命題的否定為全稱命題，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結論，故該命題的否定為“任意一個無理數,它的平方不是有理數”．一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或把存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論．如果所給命題中省去了量詞，則要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行否定．[即時訓練]3.命題“?x∈R，?n∈N＊,使得n≥x2”A．?x∈R，?n∈N＊，使得n〈x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x0∈R，?n∈N*,使得n〈xeq\o\al(2,0)D．?x0∈R，?n∈N*，使得n〈xeq\o\al（2，0)答案D解析先將條件中的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,存在量詞變?yōu)槿Q量詞，再否定結論．故選D．4．命題“奇數的立方是奇數”的否定是____________________。答案存在一個奇數，它的立方不是奇數解析此命題隱含了全稱量詞“所有”,故否定是特稱命題，即“存在一個奇數，它的立方不是奇數"．角度eq\o（\s\up7（)，\s\do5(2））全稱命題、特稱命題真假的判斷例3以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．銳角三角形有一個內角是鈍角B．至少有一個實數x，使x2≤0C．兩個無理數的和必是無理數D．存在一個負數x，使eq\f(1，x）〉2答案B解析選項A中，銳角三角形的所有內角都是銳角，所以A是假命題；選項B中，當x＝0時，x2＝0，所以B既是特稱命題又是真命題;選項C中,因為eq\r(2）＋（－eq\r(2)）＝0不是無理數，所以C是假命題;選項D中，對于任意一個負數x，都有eq\f（1，x）〈0,不滿足eq\f(1，x)>2，所以D是假命題．故選B．全稱命題與特稱命題真假性的兩種判斷方法INCLUDEPICF”不管是全稱命題，還是特稱命題，若其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假。

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假所有對象使命題假否定為真[即時訓練］5.(2020·江西師大附中月考)已知定義域為R的函數f（x)不是偶函數，則下列命題一定為真命題的是()A．?x∈R，f(－x）≠f（x) B．?x∈R，f（－x）≠－f(x)C．?x0∈R,f(－x0)≠f(x0) D．?x0∈R，f（－x0)≠－f（x0)答案C解析設命題p:?x∈R，f(x)＝f(－x）,∵f（x）不是偶函數，∴p是假命題，則?p是真命題，又?p:?x0∈R，f（－x0)≠f（x0)，故選C．考向三利用復合命題的真假求參數范圍例4(1）(2019·山西大同質檢）已知命題p：“?x∈［0,1］，a≥ex"；命題q：“?x0∈R,使得xeq\o\al（2，0)＋4x0＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍為()A．[1,4］ B．[1，e］C．[e，4] D．[4，＋∞）答案C解析若命題“p∧q"是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0,1］,a≥ex,得a≥e；由?x0∈R，使xeq\o\al（2，0)＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，則a≤4，因此e≤a≤4.則實數a的取值范圍為［e,4]．故選C．（2)(2019·金華聯考）已知p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的負實數根；q:不等式4x2＋4(m－2）x＋1〉0的解集為R。若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則實數m的取值范圍是________。答案(1，2］∪［3，＋∞）解析p為真命題，有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝m2－4>0，，－m<0，）)解得m>2.q為真命題，有Δ＝[4（m－2）]2－4×4×1〈0，解得1<m〈3.由“p∨q”為真命題，“p∧q"為假命題，知p與q一真一假．當p真q假時,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m〉2，，m≤1或m≥3，）)得m≥3；當p假q真時，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m≤2，,1<m〈3，)）得1<m≤2.綜上，實數m的取值范圍是（1，2］∪[3，＋∞)．根據命題真假求參數的方法步驟INCLUDEPICF”(1）先根據題目條件,推出每一個命題的真假（有時不一定只有一種情況;本例(2）中有兩種情況）．INCLUDEPICTF”（2)然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍．INCLUD