2021數(shù)學(xué)（理）統(tǒng)考版二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：板塊1 命題區(qū)間精講 精講14 直線與圓、拋物線含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高考數(shù)學(xué)（理）統(tǒng)考版二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：板塊1命題區(qū)間精講精講14直線與圓、拋物線含解析直線與圓、拋物線命題點(diǎn)1直線的方程及應(yīng)用抓住直線方程的特征及相關(guān)公式求解(1)兩條直線平行與垂直的判定①若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1,k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．②若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0，則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0，l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2（2）求直線方程要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．（3)兩個(gè)距離公式①兩平行直線l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(｜C1－C2｜,\r(A2＋B2)）（A2＋B2≠0）．②點(diǎn)(x0,y0）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(｜Ax0＋By0＋C|,\r（A2＋B2）)（A2＋B2≠0）．[高考題型全通關(guān)]1．(2020·廣東六校第三次聯(lián)考）已知直線l1:x＋（m＋1）y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，則“l(fā)1∥l2”A．m＝－2 B．m＝1C．m＝－2或m＝1 D．m＝2或m＝1C［∵直線l1：x＋(m＋1)y＋m＝0,l2：mx＋2y＋1＝0，若l1∥l2，則m(m＋1)－2＝0,解得m＝－2或m＝1；當(dāng)m＝1時(shí)，l1與l2重合，故“l(fā)1∥l2"?“m＝－2"故“l(fā)1∥l2"的必要不充分條件是“m＝－2或m＝1"2．（2020·全國卷Ⅲ)點(diǎn)（0，－1)到直線y＝k（x＋1)距離的最大值為()A．1B．eq\r（2)C．eq\r(3）D．2B［法一:由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0，－1）到直線y＝k(x＋1)的距離d＝eq\f（｜k·0＋－1·－1＋k｜，\r(k2＋1)）＝eq\f(｜k＋1｜,\r(k2＋1)）＝eq\r（\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r（1＋\f（2k,k2＋1）).當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1；當(dāng)k≠0時(shí)，d＝eq\r（1＋\f（2k,k2＋1）)＝eq\r(1＋\f(2，k＋\f(1,k)）),要使d最大,需k＞0且k＋eq\f(1，k）最小，∴當(dāng)k＝1時(shí)，dmax＝eq\r(2)，故選B．法二：記點(diǎn)A（0,－1），直線y＝k（x＋1)恒過點(diǎn)B(－1,0），當(dāng)AB垂直于直線y＝k(x＋1)時(shí)，點(diǎn)A（0，－1）到直線y＝k（x＋1)的距離最大,且最大值為|AB｜＝eq\r(2)，故選B．］3.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖）．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（)A．2 B．1C．eq\f（8，3） D．eq\f(4,3）D[以A為原點(diǎn),AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則A(0,0），B（4，0),C（0,4)．設(shè)△ABC的重心為D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為eq\f(4,3）,eq\f（4,3)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0），則P點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P1為（－m，0)，因?yàn)橹本€BC方程為x＋y－4＝0，所以P點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P2為（4,4－m),根據(jù)光線反射原理，P1，P2均在QR所在直線上，∴kP1D＝kP2D，即eq\f（\f(4，3），\f(4,3)＋m)＝eq\f(\f(4,3)－4＋m，\f(4,3)－4），解得m＝eq\f（4,3）或m＝0.當(dāng)m＝0時(shí),P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，故舍去．∴m＝eq\f(4，3）.故選D．]4．已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2,3），則過兩點(diǎn)Q1（a1,b1）和Q2(a2，b2）的直線方程為________．2x＋3y＋1＝0[由題意可知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＋1＝0，，2a2＋3b2＋1＝0.））∴（a1，b1)和(a2，b2)是方程2x＋3y＋1＝0的兩個(gè)解，從而過點(diǎn)Q1、Q2的直線方程為2x＋3y＋1＝0.]命題點(diǎn)2圓的方程及應(yīng)用1．圓的方程(1）標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a）2＋（y－b）2＝r2。(2）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；（方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓?A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF(3)直徑式方程：（x－x1)（x－x2)＋(y－y1)（y－y2)＝0。2．點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系(1)研究點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化,利用數(shù)形結(jié)合思想解題．(2)與弦長l有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d,及半弦長eq\f(l，2)構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系r2＝d2＋eq\f(l，2）2來處理．[高考題型全通關(guān)］1．圓C是以直線l：（2m＋1)x＋(m＋1）y＋2m＝0上的定點(diǎn)為圓心，半徑r＝4，圓A．(x＋2)2＋（y－2）2＝16B．(x－2）2＋（y－2）2＝16C．(x－2)2＋(y＋2）2＝16D．(x＋2)2＋（y＋2）2＝16A[由（2m＋1）x＋（m＋1）y＋2m＝0，可得（2x＋y＋2)m＋（x＋y)＝0，所以直線過eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0,，x＋y＝0）)的交點(diǎn)，解得：x＝－2，y＝2，即直線過定點(diǎn)（－2，2)，則所求圓的方程為(x＋2）2＋(y－2)2＝16。故選A．]2．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋（y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3），則直線的傾斜角為（）A．eq\f（π,6)或eq\f(5π，6） B．－eq\f(π,3)或eq\f(π，3)C．－eq\f（π，6）或eq\f(π，6） D．eq\f（π,6)A[由題意可知，圓心P(2，3），半徑r＝2，∴圓心P到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f（｜2k｜,\r（1＋k2）)，由d2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2\r（3),2））)eq\s\up12(2)＝r2，可得eq\f（4k2,1＋k2）＋3＝4,解得k＝±eq\f（\r(3),3)。設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα＝±eq\f（\r（3）,3)，又α∈［0，π），∴α＝eq\f（π,6）或eq\f(5π,6).］3．［高考改編]已知圓C:eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋1))2＋y2＝r2(r>0)，直線l：3x＋4y－2＝0.若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則r的值為(）A．2B．3C．4D．6A[圓C的圓心為(－1,0）,則圓心C到直線l的距離d＝eq\f（|3×－1－2｜，\r（32＋42））＝1,又圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，所以圓心為(－1，0)到直線l的距離為d＝eq\f（r,2），即d＝eq\f(r,2)＝1，所以r＝2,故選A．］4．［一題兩空]已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2)y2＋4x＋8y＋5a(－2，－4)5［由題意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2。當(dāng)a＝－1時(shí)，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋(y＋4）2＝25,故圓心為(－2，－4)，半徑為5。當(dāng)a＝2時(shí)，方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5,2)＝0,不表示圓．］5．［教材改編]過點(diǎn)A(－1,4)作圓C：(x－2）2＋（y－3）2＝1的切線l，則切線l的方程為__________。y＝4或3x＋4y－13＝0［由題意可知，切線l的斜率存在．設(shè)方程為y－4＝k（x＋1),即kx－y＋k＋4＝0,∴d＝eq\f(|2k－3＋k＋4|,\r(k2＋1)）＝1，∴4k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)。故切線l的方程為y＝4或3x＋4y－13＝0。]6．［高考改編］已知A,B分別是雙曲線C：eq\f（x2，m）－eq\f(y2，2)＝1的左、右頂點(diǎn)，P(3，4)為C上一點(diǎn)，則△PAB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．x2＋（y－3)2＝10[∵P(3,4)為C上一點(diǎn),eq\f(9,m）－eq\f（16，2）＝1，解得m＝1，則B(1，0)，∴kPB＝eq\f（4,2）＝2，PB的中垂線方程為y＝－eq\f(1，2）(x－2)＋2,令x＝0，則y＝3。設(shè)外接圓圓心為M(0，t),則M(0，3），r＝|MB｜＝eq\r(1＋32）＝eq\r(10），∴△PAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋（y－3)2＝10。］[教師備選]1．已知圓C:x2＋y2＝1,點(diǎn)P為直線x＋2y－4＝0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線分別為PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()A．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f（1，4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4），\f（1,2)))C．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3），4),0）) D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（\r(3),4）））B[設(shè)P(4－2m，m∵PA，PB是圓C的切線，A，B為切點(diǎn)，∴CA⊥PA，CB⊥PB，∴AB是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦．易知以PC為直徑的圓的方程為[x－(2－m)］2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（y－\f(m，2）））eq\s\up12(2）＝（2－m）2＋eq\f（m2，4）,①圓C的方程為x2＋y2＝1，②①－②得直線AB的方程為2×（2－m)x＋my＝1,即4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,4)))＋m（y－2x)＝0，∴直線AB恒過定點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4)，\f(1,2）)）。]2．已知圓C關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為1∶2，則圓C的方程為________．x2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（y±\f（\r（3），3)))eq\s\up12（2）＝eq\f（4，3）［因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對稱,所以圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2。依題意,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋－b2＝r2，，｜b｜＝\f（1,2)r，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝\f（4,3)，,b＝±\f(\r(3)，3)。）)所以圓C的方程為x2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(y±\f（\r（3）,3))）eq\s\up7（2)＝eq\f(4,3）。]3．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x－2)2＋（y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝eq\f(2\r（5)，5)，則直線l的方程為________．y＝2x＋1或y＝eq\f（1，2）x＋1［直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2，3）到直線l的距離d＝eq\f（|2k－3＋1｜,\r（k2＋1））＝eq\f（｜2k－2｜,\r(k2＋1）)，由R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（|MN｜,2）))eq\s\up7（2)，得1＝eq\f(2k－22，k2＋1）＋eq\f(1，5)，解得k＝2或eq\f(1,2）,故所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝eq\f（1，2)x＋1.]命題點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的三種最值求法(1）圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；(2）圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;(3）圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題．[高考題型全通關(guān)］1．已知P，Q分別為直線3x＋4y＋7＝0和曲線x2＋y2－2x＝0上的動點(diǎn),則｜PQ|的最小值為（）A．3B．2C．1D．eq\f（2，5)C[x2＋y2－2x＝0，整理得(x－1)2＋y2＝1，即曲線是圓心(1，0)、半徑為1的圓,所以圓心（1,0)到直線的距離d＝eq\f(｜3＋7｜,\r(32＋42))＝2，所以|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑,即d－r＝1，故選C．]2．已知點(diǎn)A為曲線y＝x＋eq\f(4，x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>0）)上的動點(diǎn),B為圓（x－2)2＋y2＝1上的動點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))的最小值是（)A．3B．4C．3eq\r（2)D．4eq\r（2）A[作出對勾函數(shù)y＝x＋eq\f（4，x）（x＞0）的圖象如圖:由圖象知函數(shù)的最低點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,4）,圓心坐標(biāo)C（2,0）,半徑R＝1，則由圖象知當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，｜AB|最小,此時(shí)最小值為4－1＝3，即｜AB｜的最小值是3，故選A．]3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以（－2，0）為圓心且與直線（3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈A．(x＋2）2＋y2＝16 B．（x＋2)2＋y2＝20C．(x＋2）2＋y2＝25 D．（x＋2）2＋y2＝36C[將直線(3m＋1)x＋（1－2m)y－5＝0變形為（3x－2y）m＋(x＋由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝0,，x＋y－5＝0,））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝3.）)即直線恒過定點(diǎn)M（2，3）．設(shè)圓心為P，即P（－2，0），由題意可知，當(dāng)圓的半徑r＝｜MP|時(shí)，圓的面積最大，此時(shí)｜MP｜2＝r2＝25。即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋2）2＋y2＝25.］4．已知圓C1:（x－2）2＋（y－3)2＝1,圓C2：(x－3)2＋(y－4）2＝9,M，N分別是圓C1,C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn),則|PM|＋｜PN｜的最小值為________．5eq\r（2)－4[兩圓的圓心均在第一象限,先求｜PC1|＋|PC2｜的最小值，由點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C1′(2，－3）,得（|PC1｜＋|PC2｜）min＝｜C1′C2|＝5eq\r（2），所以（|PM｜＋｜PN|）min＝5eq\r（2）－(1＋3）＝5eq\r（2）－4。］5．（2020·宜昌調(diào)研）已知兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1,0)），Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，0））以及圓C：(x－3）2＋(y－4)2＝r2(r〉0）,若圓C上存在點(diǎn)P，滿足eq\o(AP,\s\up7(→)）·eq\o（PB，\s\up7(→））＝0，則r的取值范圍是________．[4，6]［∵eq\o（AP,\s\up7(→））·eq\o(PB，\s\up7（→))＝0，∴點(diǎn)P在以A(－1，0），B（1,0)兩點(diǎn)為直徑的圓上，該圓方程為：x2＋y2＝1，又點(diǎn)P在圓C上，∴兩圓有公共點(diǎn),兩圓的圓心距d＝eq\r(32＋42）＝5，∴|r－1｜≤5≤r＋1，解得：4≤r≤6。]6．設(shè)P為直線3x－4y＋11＝0上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B，則四邊形PACB的面積的最小值為________．eq\r(3）［圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－1）2＋(y－1）2＝1,圓心為C(1,1），半徑為r＝1，根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×eq\f(1，2)|PA｜r＝|PA|＝eq\r(|PC｜2－r2）,要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC｜最小，最小值為圓心到直線l:3x－4y＋11＝0的距離d＝eq\f（|3－4＋11｜,\r（32＋－42））＝eq\f（10,5）＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為eq\r（｜PC｜\o\al（2，min)－r2）＝eq\r（4－1)＝eq\r(3)。］［教師備選]1．（2020·贛州模擬）已知動直線y＝kx－1＋k(k∈R）與圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0（圓心為C)交于點(diǎn)A、B，則弦AB最短時(shí)，△ABC的面積為（)A．3B．6C．eq\r(5）D．2eq\r(5）D[根據(jù)題意，圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可化為(x－1）2＋（y＋2）2＝9,其圓心為（1，－2），半徑r＝3.動直線y＝kx－1＋k,即y＋1＝k(x＋1），恒過定點(diǎn)P(－1，－1)，又由(－1－1）2＋（－1＋2）2＜9，可知點(diǎn)P(－1，－1)在圓C的內(nèi)部，動直線y＝kx－1＋k(k∈R）與圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0（圓心為C）交于點(diǎn)A、B，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)即CP與AB垂直時(shí)，弦AB最短,此時(shí)|CP|＝eq\r（5),弦AB的長度為2×eq\r(r2－｜CP｜2）＝4,此時(shí)，△ABC的面積S＝eq\f（1，2）×｜CP｜×|AB|＝eq\f(1，2)×4×eq\r(5）＝2eq\r（5).故選D．]2．過點(diǎn)(eq\r（2)，0）引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)相交于A，B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A．eq\f（\r(3），3）B．－eq\f(\r(3),3）C．±eq\f（\r（3），3)D．－eq\r(3）B[曲線y＝eq\r（1－x2）的圖象如圖所示：若直線l與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線l的斜率k＜0,設(shè)l：y＝k（x－eq\r(2))，則點(diǎn)O到l的距離d＝eq\f(－\r（2）k,\r（k2＋1)）.又S△AOB＝eq\f(1,2)｜AB|·d＝eq\f（1，2）×2eq\r（1－d2)·d＝eq\r（1－d2·d2)≤eq\f（1－d2＋d2，2）＝eq\f(1，2)，當(dāng)且僅當(dāng)1－d2＝d2，即d2＝eq\f（1,2）時(shí),S△AOB取得最大值，所以eq\f（2k2,k2＋1）＝eq\f(1,2），∴k2＝eq\f（1,3），∴k＝－eq\f（\r（3)，3）.故選B．］命題點(diǎn)4拋物線解決拋物線問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）利用拋物線的定義解題：主要把握兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離．(2)用活焦點(diǎn)弦：已知拋物線y2＝2px（p>0),過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（如圖所示），設(shè)A(x1，y1），B（x2，y2）．則有以下結(jié)論：①|(zhì)AB|＝x1＋x2＋p或|AB｜＝eq\f(2p,sin2α)(α為AB所在直線的傾斜角)；②x1x2＝eq\f（p2，4）；y1y2＝－p2.③eq\f(1,|FA|）＋eq\f（1,|FB｜)＝eq\f（2,p).④以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．［高考題型全通關(guān)］1．（2020·貴陽一模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．(4，0）B．(2，0)C．（1，0)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2），0))C[因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p＝2,所以拋物線的方程為y2＝4x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0），選C．］2．（2020·德陽模擬)已知l為拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)M到l的距離為d，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，1）,則|MP|＋d的最小值是（)A．eq\r（17)B．4C．2D．1＋eq\r(17)B［由拋物線的方程可得P在拋物線的外部,由拋物線的性質(zhì)可得：拋物線的點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以｜MP|＋d≥PF＝4，當(dāng)且僅當(dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號,故選B．]3。如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若｜BC｜＝2|BF｜，且|AF｜＝3，則此拋物線方程為（)A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r（3)xC[法一:如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D．設(shè)eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（BF))＝a，則由已知得eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))＝2a,由拋物線定義，得eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(BD)）＝a，故∠BCD＝30°,在Rt△ACE中,∵eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（AE）)＝|AF|＝3，eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（AC））＝3＋3a，∴2eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（AE）)＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（AC）)，即3＋3a＝6,從而得a＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FC）)＝3a＝3.∴p＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（FG））＝eq\f（1，2）eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（FC)）＝eq\f（3,2），因此拋物線方程為y2＝3x,故選C．法二：由法一可知∠CBD＝60°,則由|AF|＝eq\f（p,1－cos60°）＝3可知p＝3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2）））＝eq\f（3，2）,∴2p＝3，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x。]4．設(shè)F為拋物線C:y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A．eq\f（3\r（3),4)B．eq\f(9\r（3),8)C．eq\f(63,32)D．eq\f（9,4）D［易知直線AB的方程為y＝eq\f(\r（3)，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（3,4）））,與y2＝3x聯(lián)立并消去x，得4y2－12eq\r（3)y－9＝0。設(shè)A(x1，y1），B（x2,y2)，則y1＋y2＝3eq\r（3），y1y2＝－eq\f（9,4）。S△OAB＝eq\f(1，2）|OF|·｜y1－y2｜＝eq\f（1，2）×eq\f（3，4）eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(3,8）eq\r（27＋9)＝eq\f（9,4）。故選D．］5．過拋物線C：y2＝2px(p＞0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，若|MN｜＝｜AB|，則直線l的傾斜角為（)A．15°B．30°C．45°D．60°B[分別過A，B，N作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，N′（圖略)，由拋物線的定義知｜AF｜＝｜AA′|，|BF|＝｜BB′｜，｜NN′｜＝eq\f（1，2）（｜AA′｜＋｜BB′｜）＝eq\f（1，2)|AB|，因?yàn)椋麺N｜＝｜AB｜，所以｜NN′|＝eq\f(1，2）｜MN｜，所以∠MNN′＝60°,即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°,故選B．]6．已知拋物線C：y＝eq\f（1，4）x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn),直線PF與拋物線交于A，B兩點(diǎn),若eq\o(PA，\s\up7(→））＝2eq\o（AF，\s\up7(→)),則|AB|為（)A．eq\f（40,9）B．40C．16D．eq\f(16，3）D[拋物線C的方程為x2＝4y,焦點(diǎn)F(0，1），準(zhǔn)線方程為y＝－1。設(shè)A（x1，y1),B（x2，y2），則由拋物線的定義可知：|AB｜＝｜AF｜＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2，∵eq\o（PA,\s\up7（→)）＝2eq\o(AF,\s\up7(→）），∴直線AB的斜率為±eq\f（\r(3)，3），∴直線AB的方程為：y＝±eq\f（\r（3),3)x＋1。聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝±\f（\r(3)，3)x＋1，,x2＝4y,）)消去x得3y2－10y＋3＝0,∴y1＋y2＝eq\f(10,3),∴|AB|＝|AF|＋｜BF｜＝y(tǒng)1＋y2＋2＝eq\f（16，3），故選D．］7．(2020·松江區(qū)模擬)已知點(diǎn)P（1,2）在拋物線C：y2＝2px（p>0）上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),則直線PA與PB的斜率之積為()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．－2C[由點(diǎn)P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上，得2p＝4，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x，由已知得Q（－1，－2)，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）,B(x2，y2)，由題意知直線AB斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y＝k（x＋1)－2（k≠0），聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1－2，，y2＝4x，））消去x得ky2－4y＋4k－8＝0，∴y1＋y2＝eq\f(4，k),y1y2＝4－eq\f（8，k）,因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上，所以yeq\o\al（2，1)＝4x1，yeq\o\al（2，2)＝4x2,∴kPA＝eq\f（y1－2,x1－1)＝eq\f(y1－2，\f(y\o\al（2，1）,4)－1)＝eq\f（4,y1＋2),kPB＝eq\f（y2－2,x2－1)＝eq\f(4,y2＋2)，∴kPA·kPB＝eq\f（4,y1＋2)·eq\f(4,y2＋2）＝eq\f（16，y1y2＋2y1＋y2＋4）＝eq\f（16,4－\f(8，k)＋2×\f（4,k）＋4）＝2，故選C．］8．（2020·寶雞二模)已知直線y＝k(x＋1)(k>0）與拋物線C:y2＝4x相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若｜FA|＝2|FB｜，則|FA|＝(）A．1B．2C．3D．4C[法一:由題意得拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為l：x＝－1,直線y＝k(x＋1)恒過定點(diǎn)P（－1，0），過A，B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，連接OB，由｜FA｜＝2|FB|,知｜AM|＝2|BN｜,所以點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)O是PF的中點(diǎn)，則|OB｜＝eq\f（1，2)｜AF｜，所以｜OB|＝|BF|，又｜OF|＝1,所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為eq\f（1,2)，所以|FB|＝1＋eq\f（1，2）＝eq\f(3，2)，所以|FA｜＝2|FB｜＝3.法二：拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為l：x＝－1，直線y＝k（x＋1)．由題意設(shè)A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為xA，xB(xA,xB＞0），則由拋物線定義得｜FA｜＝xA＋1，|FB|＝xB＋1。又|FA｜＝2|FB|，∴xA＋1＝2（xB＋1）?xA＝2xB＋1，①eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝4x,，y＝kx＋1））?k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0?xA·xB＝1，②由①②得xeq\o\al(2,A）－xA－2＝0,∴xA＝2，|FA|＝xA＋1＝3，故選C．］9。如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(2,4），圓C2：x2＋y2－4x＋3＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓C2分別交于點(diǎn)P，Q和M，N，則|PN｜＋4｜QM|的最小值為（