軸對稱圖形講義不錯

文檔大全文檔大全文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案4、如圖，由４個全等的形組成L形圖案，（１）請你在圖案中改變1個形的位置，使它變成軸對稱圖案。（２）請你在圖中再添加一個小形，使它變成軸對稱圖案。5、如圖是由三個小形組成的圖形，請你在圖中補畫一個小形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形。軸對稱圖形的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分（2）對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段相等。做軸對稱圖形：例題講解：1、作△ABC關(guān)于直線l的對稱△A’B’C’2.下圖是從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為3.在鏡子中看到時鐘顯示的時間是則實際時間是.ABCDHEFG8題）l實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案4．線段軸是對稱圖形，它有_______條對稱軸，正三角形的對稱軸有條．5.如圖，已知：△ABC中，BC＜AC，AB邊上的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E，AC=9cm，△BCE的周長為15cm，求BC的長．6.如圖，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線分別交AB，BC于點E和D，BE=6，求△BCE的周長．7．如圖，已知在AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC，為什么？8．如圖，已知△ABD與△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC．實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、F分別為AB、AC的中點，?DE?⊥AB，GF⊥AC，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的長度．10．如圖，已知∠AOB和∠AOB一點P，你能在OA和OB邊上各找一點Q和R，?使得由P、Q、R三點組成的三角形周長最小嗎？11、已知：如圖，在∠AOB外有一點P，試作點P關(guān)于直線OA的對稱點P1，再作點P1關(guān)于直線OB的對稱點P2.⑴試探索∠POP2與∠AOB的大小關(guān)系；⑵若點P在∠AOB的部，或在∠AOB的一邊上，上述結(jié)論還成立嗎？課后練習(xí)1．如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，如果∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．2．已知Rt△ABC中，斜邊AB=2BC，以直線AC為對稱軸，點B的對稱點是B′，?如圖所示，則與線段BC相等的線段是______，與線段AB相等的線段是_______和_______．?與∠B相等的角是_______和_______，因此，∠OAB·POAB·P實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案B=________．3．等腰△ABC中，AB的中垂線與AC所在直線相交成的銳角為50°，則底角B的大小為________．4.如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則∠BAC=_______．5．如圖，∠ABC與∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求證：BD+EC=DE．6．如圖，點D在AC上，點E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度數(shù)．7．如圖，BC>AB，BD平分∠ABC且AD=DC．求證：∠A+∠C=180°．8．如圖，∠AOB一點P，分別畫出P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2交OA于M，?交OB于N，若P1P2cm=5，則△PMN的周長為多少？實用標(biāo)準(zhǔn)文案簡單的軸對稱圖形之等腰三角形概念：等腰三角形相等的兩邊叫做腰，另一邊叫底，兩腰的夾角叫頂角，腰和底邊的夾角叫底角。性質(zhì)：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱“三線合一”)直角三角形中，30°所對直角邊等于斜邊的一半。例題講解：題型一：邊長與角度問題：例1、⑴等腰三角形的周長為10,一邊長為4,那么另外兩邊長為_________.⑵等腰三角形的兩邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為______.⑶等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為12cm和21cm兩部分,則其底邊長為_______cm.⑷等腰三角形底邊上的高是底邊的一半,則它的頂角為_______.等腰三角形一個角是30°，求其他兩個角。等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，求頂角例2、如圖，在△ABC中,AB=AC,點D在BC上,且AD=BD,∠ADC=70°，求∠BAC的度數(shù).找出圖中相等的角并說明理由. A BC D例3.如圖，△ABC中，ABAC，BD是∠ABC的平分線，且∠BDC=75o,求∠BAC的度數(shù)。AAD B C題型二：周長問題D例4、一個等腰三角形的周長為15cm，一腰上的中線把周長分為兩部分，這兩部分的差為6cm，求腰長。DBC實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案EDBAC3、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD∠=ACD．求證：△DBC是等腰三角形．4、已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠BCD和∠DBC的度數(shù)。5、如圖，點D、E在ABC的邊BC上，ABAC，ADAE．求證：BDCE6、已知：如圖，AB=AC，BD⊥AC，垂足為點D。求證：∠DBC=∠A。21DCBAABCD實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案FECBADCBA7．如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度數(shù)。8．已知：如圖，在ABC中，90B，ABBC，AD是A的平分線.求證：ABBDAC.提高練習(xí)：9.已知:如圖，△BDE是等邊三角形，A在BE延長線上，C在BD的延長線上，且AD=AC。求證：DE+DC=AE。10、如圖所示是一個正三角形，分別連結(jié)各邊的中點得到圖2，再分別連結(jié)圖2中間小三角形三邊的中點得到圖3，其中s表示圖中等邊三角形的個數(shù)，問（1）當(dāng)n=4時，s為多少？（2）請你按此規(guī)律寫出用n表示s的公式。n=3,s=9n=2,s=5n=1,s=1①③②實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔大全文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔大全11.如圖，已知：△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延長線上，BD=CE,DE交BC于點F,求證：DF=EFACDCDFE12．如圖，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度數(shù)．A12題圖12題圖H13．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE∥AB交BC于E，求證:CT=BE． AMMDT E B14．在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD． A C D B15．如圖,已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延長線于F,連結(jié)AF.求證:CAF=B.AEE B D C F16.如圖1，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點D，過D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,易證:EF=BE+CF.當(dāng)D為∠ABC的平分線和∠ACB的外角平分線的交點（如圖2）時，或當(dāng)D為∠ABC的外角平分線和∠ACB的外角平分線的交點（如圖3）時，其它條件都不變，EF、BE、CF的關(guān)系又如何？請對圖2進(jìn)行證明.AACACDEFABCDEFGBCDEGBH圖1圖2圖3題型五、等腰三角形分割問題例8、在△ABC中,AB=AC,若過其中一個頂點的一條直線,將△ABC分成兩個等腰三角形,求△ABC各角的度數(shù)(只要求出三個不同的解)。例9、（1）如圖1，△ABC中，∠C90，請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形（2）已知角度數(shù)的兩個三角形如圖2、圖3所示．請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù)． C C C24°84°24°84°104°52°AB 圖1 圖2 圖3練習(xí)1：已知一個三角形的一個角為54°，如果過該三角形一個頂點的直線可以將其分為兩個等腰三角形，那么這個三角形的最大角為練習(xí)2：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題(1)．(1)已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；(2)在證明了該命題后，小穎發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所畫等腰三角形兩個底角的度數(shù)；(3)接著，小穎又發(fā)現(xiàn)：直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如：直角三角形斜邊上的中線可把它分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出三角形各角的度數(shù)．說明：要求畫出的兩個三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．Ahh36°123 B C 圖① 圖② 圖③課后練習(xí)1．等邊三角形ABC中，D為AC的中點，延長BC到E，使CE＝CD，若AB＝10，則BE＝DADCDADCAEBB C E O B F C 第2題圖 第6題圖2．如圖，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，則CD＝㎝3．等腰三角形的一個外角為140°，則這個三角形的頂角為°．4．等腰三角形的兩邊長分別為9和4，它的周長為．5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，則BC＝㎝．6．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，則BF＝．7．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，腰長為4cm，則其腰上的高為cm.8.在等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,且AB＋AC＋BC＝50cm,文檔大全文檔大全文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案BDCAFEDCBA而AB＋BD＋AD＝40cm,則AD＝___________cm..9、如圖,∠P＝25°,又PA＝AB＝BC＝CD,則∠DCM＝____10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，∠ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F，求證：BD＝2CE．11、如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度數(shù)。12．中，，BD是∠ABC的平分線，且∠BDC=75o,求∠BAC的度數(shù)。13．如圖，ABC中，ACAB，E在AC上，且AEAD，求證：BCDF.14．如圖，ABAC，30BAD，且ADAE．求EDC的度數(shù)．ABC△ABACABCD實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案15.如圖，ABC中，90ACB，CDBA于D，AE平分BAC，求證：CEF是等腰三角形．16、已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD與CE相交于M點。求證：△BMC是等腰三角形。17、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度數(shù)。18、如圖：CA=CB，DF=DB，AE=AD，求∠A的度數(shù)。19.在ΔABC中，AB=ACABCD12EMABCDE實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案1（1），如圖1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=__________（2），如圖2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=__________（3），思考：通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請用式子表示：____________________2如圖3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述關(guān)系？如有，請你寫出來，并說明理由（1）（2）（3）20.已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點D與點A關(guān)于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．(1)求證：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．等邊三角形定義：三條邊相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形三條邊相等，三個角相等都是60°，有三條對稱軸。判定：三條邊相等；三個角等都60°；有一個角是60°的等腰三角形知識點一：等邊三角形性質(zhì)及推論1、如圖所示，已知等邊三角形ABC的邊長為1，按圖中所示的規(guī)律，用2008個這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長是（）Ａ．2008Ｂ．2009Ｃ．2010Ｄ．2011FMPEDCBACAB┅┅如圖：等邊三角形ABC的三條角平分線交于BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個B.5個C.6個D.7個ADEADEOCDEDBA3題圖4題圖CBBC 2題圖如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，如果∠ABE=40°那么∠ABD=（）A.80°B.90°C.100°D.105°Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A=30°，BD=2cm，則AB的長度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm在等邊三角形ABC所在的平面找一點P,使△PAB，△PAC和△PBC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P一共有（）A、1個B、4個C、7個D、10個△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，?則CD?長_______㎝．7、如圖等邊三角形ABC的高AH=10，D是邊AB的中點，P是AH上一個動點，則CP＋DP的最小值是㎝.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,則∠EDA=度.如圖，等腰三角形ABC中AB=AC,∠BAC=20°.分別以AB、AC為邊向外作正△ABD,正△ACE,連接BDABDAEADFEPDAB H C C B C 7題圖 8題圖 9題圖10、.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于點D，求證：BC=3AD.A B D C實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案11、如圖，已知△ABC和△BED都是等邊三角形，且A、E、D在一條直線上，求證：。12、如圖，點E是等邊△ABC一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數(shù)．13、如圖在等腰直角三角形ABC外以直角邊AC為邊作正△ACD,AE⊥CD于E,BD、AE交于F,連接CF,求證：△CDF為等腰直角三角形。FEDCBAEDCAB實用標(biāo)準(zhǔn)文案如圖2，△ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQAD于Q．求證：BP2PQ．AQQEP B DC圖2已知等邊△ABC，BM=CN。探索BN、AM的關(guān)系；當(dāng)點M運動到BC延長線上時，其余條件不變，則（1）的結(jié)論是否成立？ A NKNMKAKNMKA知識點三：等邊三角形的綜合應(yīng)用如圖，在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，請說明DB=DE的理由。 ADDBEC實用標(biāo)準(zhǔn)文案已知：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點在一直線上。請你說明DA-DB=DC。AEEBCD3.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于點D，?求證：?BC=3AD.A4.如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE?都是等BDC邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH?的形狀并說明理由．（18分）AEEHF B C D線段的垂直平分線[知識要點總結(jié)]定義：垂直平分一條線段的直線叫線段的垂直平分線。性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。②三角形三邊的垂直平分線相交于一點，且到三個頂點的距離相等。判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。題型一：定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。例1.在△ABC中，AB的中垂線DE交AC于F，垂足為D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周長。實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案∴點P在AC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。∴AB，BC，AC的垂直平分線相交于點P。題型三：軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用——最短路線問題例1、如圖，在直線CD上有一動點P，P在CD上從右往左運動的過程中，找出（1）點P到A、B距離之和最小時的位置；（2）點P到A、B距離相等時的位置；（3）點P到A、B的距離之差最大時P的位置。例2.在銳角∠AOB有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使△PCD的周長最短．例3.如圖，EFGH是一個長方形的彈子球臺面，有黑白兩球分別位于A、B兩點的位置．（1）試問：怎樣撞擊黑球A，使黑球A先碰撞臺邊EF反彈后再撞擊白球B？（2）怎樣撞擊黑球A，使黑球先碰撞臺邊GH反彈后再擊臺邊EF，最后擊白球B？如圖，EFGH是一個長方形的彈子球臺面，有黑白兩球分別位于A、B兩點的位置．（1）試問：怎樣撞擊黑球A，使黑球A先碰撞臺邊EF反彈后再撞擊白球B？（2）怎樣撞擊黑球A，使黑球先碰撞臺邊GH反彈后再擊臺邊EF，最后擊白球B？實用標(biāo)準(zhǔn)文案練習(xí)：1.在一條大的河流中有一形如三角形的小島（如圖3），岸與小島有一橋相連．現(xiàn)準(zhǔn)備在小島的三邊上各設(shè)立一個水質(zhì)取樣點．水利部門在岸邊設(shè)立了一個觀測站，每天有專人從觀測站步行去三個取樣點取樣，然后帶回去化驗．請問，三個取樣點應(yīng)分別設(shè)在什么位置，才能使得每天取樣所用時間最短(假設(shè)速度一定)?小小島觀測點 【課外練習(xí)】填空題：1.如圖1-21，△ABC中，∠A=52°,點O是AC、AB的垂直平分線的交O 點，則∠OCB=°； AO2.在△ABC中，AB=AC=20cm,AB的垂直平分線交AC于點D，若△BCD的周長為32cm，則BC=.選擇題： B 圖1-21C1.若某三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則該三角形是（）；A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定AD2.如圖1-22，△ABC中，AB=AC，∠C=72°,AB的垂直平分線交AC于D，則下列結(jié)論：①∠A=36°；②BD平分∠ABC；③AD=DB=BC；④DB2=AB·DC.其中正確的結(jié)論共有（）.D A.1個B.2個C.3個D.4個 BC圖1-22實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案三、解答題：如圖1-24，已知：在△ABC中，∠ACB=90°,延長BC到D，BD的垂直平分線交AB于E，DE交AC于F，求證：點E在AF的垂直平分線上.如圖,△ABC中,∠BAC=110°,AB的垂直平分線交BC于點D,AC的垂直平分線交BC于點E,BC=10cm.(1)求△ADE的周長;(2)求∠DAE的度數(shù).14.如圖，求作一點P，使，并且使點P到的兩邊的距離相等，并說明你的理由．垂直平分線強化訓(xùn)練1、AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，求證：①AB=AC=CE②DE=AB+BD2、如圖，已知：線段CD垂直平分AB，AB平分DAC.求證：BCAD//.FGEDCBAF圖1-24EDCBA實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案3、如圖，已知：90C，DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交BC于E，ACAB2.求證：DECE.4、如圖所示：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，求△ABC的周長。5、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N.求證：CM=2BM.6、如圖在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分線交BC邊于點N.實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).(3)求證：△AEN是等腰三角形7、如圖，在ABC中，ACAB，65ABC，DE是AB的垂直平分線，求∠CBE的度數(shù)8、如圖，在ABC中，AC的垂直平分線交AC于E，交BC于D，ABD的周長為cm12，cmAC5，則ABC的周長。9、在△ABC中，AD是∠BAC平分線,AD的垂直平分線分別交AB、BC延長線于F、E.求證：（1）∠EAD=∠EDA;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠BABCDEMN實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案10、如圖AB=AC，MB=MC．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線11.如圖，已知：E是AOB的平分線上的一點，OAEC，OBED，垂足分別是C、D.求證：OE垂直平分CD.12、如圖，已知：在ABC中，BAC的平分線交BC于D，且ABDE，ACDF，垂足分別是E、F.求證：AD是EF的垂直平分線.軸對稱之角平分線一知識要點：1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）思考：這一畫法的根據(jù)是什么？2.角平分線的性質(zhì)及判定（1）角平分線的性質(zhì)：文字表達(dá)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．實用標(biāo)準(zhǔn)文案實用標(biāo)準(zhǔn)文案例1.如圖所示，已知△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，那么AP能否平分∠BAC？請說明理由．由此題你能得到一個什么結(jié)論？例2.如圖，BP是△ABC的外角平分線，點P在∠BAC的角平分線上．求證：CP是△ABC的外角平分線．例3、如圖，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一點，AE平分∠DAB．E是DC的中點，求證：BE平分∠ABC．例4、如圖，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分線交AB于E，在AC上取一點D，使∠CBD=200，連結(jié)DE．求∠CED的