2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編

中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編

2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：相似三角形問(wèn)題禽

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問(wèn)題（一）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問(wèn)題（二）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：等腰三角形問(wèn)題借

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題（一）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題（二）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：直角三角形問(wèn)題I之

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問(wèn)題（一）

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2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：平行四邊形問(wèn)題a

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問(wèn)題（一）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問(wèn)題（二）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：梯形問(wèn)題，%

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問(wèn)題（一）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問(wèn)題（二）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸：面積問(wèn)題'7

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問(wèn)題（一）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問(wèn)題（二）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問(wèn)題（三）

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題:函數(shù)相似三角形問(wèn)題（一）

例1、直線y=+l分別交x軸、y軸于4、8兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)90。后得到△C。。，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn).

（1）寫出點(diǎn)4、B、C、。的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)4、C、。三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)2、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

個(gè)y

1-

o-?

圖1

思路點(diǎn)撥

1.圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

2.用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.第(3)題判斷/4BQ=90°是解題的前提.

4.△ABQ與△COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)8的

位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè).

滿分解答

(1)4(3,0),B(0,1),C(0,3),0(-1,0).

(2)因?yàn)閽佄锞€^=以2+取+。經(jīng)過(guò)43,0)、C(0,3)、￡)(-1.0)三點(diǎn)，所以

9n+3Z?+c=0,a=-\

c=3,解得-b=2,

a-b+c=0.3.

所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=—(x-l)2+4,頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4).

(3)如圖2,直線BG的解析式為y=3x+1,直線CD的解析式為y=3x+3,因此CD//BG.

因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以AB_LCD.因此AB_LBG,

即NABQ=90°.

因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,3x+l),那么BQ=Jx?+(3x>=土而x.

RtACOD的兩條直角邊的比為1:3,如果Rt△力BQ與RtZXCOD相似，存在兩種情況:

①當(dāng)些=3時(shí)，當(dāng)?shù)?3.解得x=±3.所以2(3,10),Q,(-3,-8).

BAV10

②當(dāng)些=!時(shí)，然￡=L解得X=±L所以cd,2），04（-l,o）.

BA371033-1343

圖2圖3

考點(diǎn)伸鐵

第（3）題在解答過(guò)程中運(yùn)用了兩個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明二

是BQ="+（3x）2=土廂x.

我們換個(gè)思路解答第（3）題：

如圖3,作GHJ_y軸，QN_Ly軸，垂足分別為H、N.

通過(guò)證明△40B名△BHG,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可以證明N4BG=90°.

在RtABG/7中，sinZ1-—TL=，cosZ1=—"

V10Vio

①當(dāng)絲=3時(shí)，BQ=3jl6.

BA

在RtZXBQN中，QN=BQ-sinN1=3，BN=BQ-cosNl=9?

當(dāng)Q在8上方時(shí)，0（3,10）;當(dāng)Q在B下方時(shí)，0（-3,-8）.

②當(dāng)理=1時(shí).，同理得到Q（L,2）,Q4（---°）＞

BA3333

k

例2、Rt^ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)曠=一（%。0）在第一

x

象限內(nèi)的圖像與BC邊交于點(diǎn)。（4,m）,與4B邊交于點(diǎn)E（2,n）,△BDE的面積為2.

(1)求機(jī)與〃的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)tan/4="!?時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線A8的表達(dá)式；

2

(3)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線尸。上，在(2)的條件下，如果△AE。

與△EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路點(diǎn)撥

1.探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點(diǎn)8、D、E的坐標(biāo)，是解題的突破口.

2.第(2)題留給第(3)題的隱含條件是如〃x軸.

3.如果△AE。與相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況.

滿分解答

k4-in=k

(1)如圖1,因?yàn)辄c(diǎn)D(4,m)、E(2,n)在反比例函數(shù)y=—的圖像上，所以《‘

x[2n=k.

整理，得n=2m.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作垂足為H.在RtZXBEH中，tanZj?E,H=tanZ4=-,

2

EH=2,所以BH=1.因此0(4,m),E(2,2m),8(4,2m+l).

已知△BDE的面積為2,所以,8D-EH=L(/n+l)x2=2.解得m=l.因此D(4,

22

1),E(2,2),8(4,3).

k

因?yàn)辄c(diǎn)。(4,1)在反比例函數(shù)y=—的圖像上，所以k=4.因此反比例函數(shù)的解析

x

式為y=—.

x

[3=42+。，1

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,代入8（4,3）、E（2,2）,得＜解得A=一,

2=2%+》.2

b=l.

因此直線4B的函數(shù)解析式為y=；x+l.

圖2圖3圖4

（3）如圖3,因?yàn)橹本€丁=3》+1與y軸交于點(diǎn)F（0,1）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,1）,

所以FD〃x軸，NEFP=NEAO.因此△4E0與△￡■/；1「相似存在兩種情況：

pAFF尺、尺

①如圖3,當(dāng)巴=￡￡時(shí)，^=—.解得FP=I.此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1,1）.

AOFP2FP

PAFPFP

②如圖4,當(dāng)￡2=上時(shí)，—=^.解得FP=5.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,1）.

AOEF2J5

考點(diǎn)伸機(jī)

本題的題設(shè)部分有條件“RtZVIBC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒(méi)有這個(gè)

條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：

1?

第（1）題的結(jié)論m與"的數(shù)量關(guān)系不變.第（2）題反比例函數(shù)的解析式為y=-一，

x

直線4B為y=；x-7.第（3）題FC不再與x軸平行，AAEO與AEFP也不可能相似.

圖5

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問(wèn)題(二)

例3、如圖1,已知梯形Q4BC,拋物線分別過(guò)點(diǎn)。(0,0)、4(2,0)、B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形04BC的上下底邊所在的直線。4、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,

分別交拋物線于點(diǎn)。1、4、G、Bi，得到如圖2的梯形O14&C1.設(shè)梯形01481cl的面積

為5,4、&的坐標(biāo)分別為(xi，y。、的，玖).用含S的代數(shù)式表示X2—xi，并求出當(dāng)S=36

時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)在圖1中，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,3),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng).P、

Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為3是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PQ、直線48、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線48、

拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

思陳點(diǎn)撥

1.第(2)題用含S的代數(shù)式表示X2—X1，我們反其道而行之，用X1，X2表示S.再注

意平移過(guò)程中梯形的高保持不變，即九一y1=3.通過(guò)代數(shù)變形就可以了.

2.第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒(méi)有計(jì)算結(jié)果的情況下，無(wú)法畫出準(zhǔn)確的

位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說(shuō)理計(jì)算，后驗(yàn)證.

3.第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線力B與x軸的夾角不變，直線48與拋物

線的對(duì)稱軸的夾角不變.變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與力B的交點(diǎn)G在x軸

的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方.

滿分解答

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,解析式為)=」％2_頂點(diǎn)為“a,_1).

-848

(2)梯形014aCi的面積S=2(--1~^~1吆3=3(七+/)-6,由此得到

玉+%=—^2.由于%_%=3，所以丁2一丁1=一龍;—犬2—x；H—=3.整理，得

38484

-11172

(%)—玉)—(%2—=3.因此得到W-X=.

I+%,=14,\x,=6,

當(dāng)S=36時(shí)，21解得?此時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（6,3）.

-X.=2.x,=8.

(3)設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G,直線48與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,直線PQ與x軸

交于點(diǎn)F,那么要探求相似的△G/F與△GQE,有一個(gè)公共角NG.

在△GEQ中，NGEQ是直線48與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值.

在尸中，NG4F是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且NGEQWNGAF.

因此只存在NGQE=/G4尸的可能，△GQEs^GAF.這時(shí)NG4F=/GQE=NPQD.

由于tanNGAE=3,tan=—=—＞所以』=」一.解得f=衛(wèi).

4QP5-t45-t7

圖3圖4

例4、如圖1,已知點(diǎn)4(-2,4)和點(diǎn)8(1,0)都在拋物線y=〃a2+2〃a+〃上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕，若

四邊形44,B'B為菱形,求平移后拋物線的表達(dá)式；

(3)記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線48'的交點(diǎn)為C,試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D,使

得以點(diǎn)夕、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

圖1

思路點(diǎn)撥

1.點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色.第(1)題用在待定系數(shù)法

中；第(2)題用來(lái)計(jì)算平移的距離；第(3)題用來(lái)求點(diǎn)B'的坐標(biāo)、AC和B'C的長(zhǎng).

2.拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變.

3.探求△4BC與△夕CD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，ZBAC=ZCB'D,因此按照夾角

的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論.

滿分籌簽

(1)因?yàn)辄c(diǎn)4(-2,4)和點(diǎn)B(l,0)都在拋物線y=+2"?x+"上，所以

[4m-4m+n-4,融俎4A

i解得加=——，?=4.

[m+2m+"=0.3

(2)如圖2,由點(diǎn)4(-2,4)和點(diǎn)B(l,0),可得4B=5.因?yàn)樗倪呅蜝'B為菱

形，所以2〃=B'B=AB=5.因?yàn)椋?一&，-9》+4=-々*+1『+3,所以原拋

333V73

物線的對(duì)稱軸x=-l向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x=4.

因此平移后的拋物線的解析式為y=-g(x-4)2+g.

圖2

(3)由點(diǎn)4(-2,4)和點(diǎn)B'(6,0),可得4B'=40.

如圖2,由AM〃CM可得力￡=勺￡,即2=竺￡.解得81=有.所以

B'MB'A846

AC=345.根據(jù)菱形的性質(zhì)，在△ABC與CD中，NBAC=NCB'D.

①如圖3,當(dāng)空=老&時(shí),5=6

解得8'。=3.此時(shí)。。=3,點(diǎn)。的坐

ACB'D運(yùn)一加'

標(biāo)為(3,0).

ADB'DB'D513

②如圖4,當(dāng)絲?時(shí),一二解得8'。=—.此時(shí)OD=—,點(diǎn)。的

ACB,C3V533

13

坐標(biāo)為(一，0).

3

圖3圖4

考點(diǎn)伸展

在本題情境下，我們還可以探求aB'CD與AABB'相似，其實(shí)這是有公共底角的兩個(gè)

等腰三角形，容易想象，存在兩種情況.

我們也可以討論aB'CD與4CBB'相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角NB,根據(jù)對(duì)應(yīng)

邊成比例，分兩種情況計(jì)算.

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問(wèn)題(三)

例5、如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMLx軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以

4、P、”為頂點(diǎn)的三角形與△04C相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在直線4c上方的拋物線是有一點(diǎn)。，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

思路點(diǎn)撥

1.已知拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.

2.數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng).

3.按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.

4.把△DC4可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于。4

滿分斛答

(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于4(4,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x—1)(*-4),代入點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,-2),解得。=一：.所以拋物線的解析式為

y=-^(x-l)(x-4)=-^x2+|x-2.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-工(x—1)(8-4)).

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，l<x<4,PM=--(x-l)(x-4),AM=4-尤.

2

AI\4An--(x-l)(x-4)

如果——=—=2,那么'------------=2.解得x=5不合題意.

PMCO4-x

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4的右側(cè)時(shí)，x>4,PM=-(x-l)(x-4),AM=x-4.

2

—(x—l)(x—4)

解方程2-----------=2,得尤=5.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,-2).

x-4

Ifr-iyr-d)

解方程2-----------=-,得x=2不合題意.

x-42

③如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x<l,PM=-(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

:(x-1)(九-4)

解方程2-----------=2,得x=—3.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—3,—14).

4-x

-(x-l)(x-4).

解方程2-----------=—，得x=0.此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，不合題意.

4—x2

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

圖2圖3圖4

(3)如圖5,過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線交4C于￡.直線AC的解析式為y=；x—2.

15

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m(l<m<4),那么點(diǎn)。的坐標(biāo)為(加,——加0~+—加一2),點(diǎn)E的

22

坐標(biāo)為(717,-777-2).所以DE=(-—m2+—m-2)-(―m-2)=--m2+2m.

22222

因此Sg4c=g(-g〃"+2機(jī))x4=-m2+4m=~(m-2)2+4.

當(dāng)加=2時(shí)，△DC4的面積最大，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,1).

圖5圖6

考點(diǎn)伸展

第(3)題也可以這樣解：

如圖6,過(guò)。點(diǎn)構(gòu)造矩形04MN,那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△

CDN和△4DM的面積.

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為(m，n)(1<m<4),那么

S=—(2〃+2)x4-—m(Az+2)-—〃(4-m)=-m+2〃+4.

222

1,5,

由于〃=—m~+—m—2,所以S=—〃暝+4機(jī).

22

3

例6、如圖1,△力BC中，715=5,AC=3,cosA=—.。為射線加上的點(diǎn)(點(diǎn)D

10

不與點(diǎn)B重合)，作DE//8C交射線。于點(diǎn)E..

(1)若CE=x,BD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)分別以線段BD,CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；

(3］當(dāng)點(diǎn)。在AB邊上時(shí),BC邊上是否存在點(diǎn)尸，使△4BC與相似？若存在，請(qǐng)

求出線段8F的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

AAA

c」「

B

圖1備用圖備用圖

思路點(diǎn)撥

1.先解讀背景圖，△力BC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的也是等

腰三角形.

2.用含有x的式子表示3D、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點(diǎn)E的位置

不同，DE、MN表示的形式分兩種情況.

3.求兩圓相切的問(wèn)題時(shí)，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗(yàn)方程的解的位置是否符

合題意.

4.第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運(yùn)用典型題目的結(jié)論可以幫助我

們輕松解題.

滿分斛答

AH3

(1)如圖2,作力C,垂足為點(diǎn)H.在中，AB=5,cosA=——=—

AB10

31

所以4H=-=-4C.所以垂直平分AC,/\ABC為等腰三角形，AB=CB^5.

22

ADArs

因?yàn)镃E〃BC,所以——=—；,即2于是得到丁=—x,(x>0).

DBECyx3

網(wǎng)，即匹=歸!

(2)如圖3,圖4,因?yàn)镈E//BC,所以---=----,----

BCACBCAC53

*7因此小=卡,圓心距皿二~.

圖2圖3圖4

在。M中，=—BD=—y=—x,在ON中，=—CE=—x.

M226N22

①當(dāng)兩圓外切時(shí)，2》+!》=空二?.解得X=型或者X=—1O.

62613

如圖5,符合題意的解為％=^,止匕時(shí)?！?理二工="

13313

②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，

626

當(dāng)x<6時(shí)，解得x=」，如圖6,此時(shí)E在G4的延長(zhǎng)線上，￡>￡=5(X-3)=15.

737

當(dāng)x>6時(shí)，解得x=10,如圖7,此時(shí)E在。1的延長(zhǎng)線上，0匹=5('-3)=更

33

圖5圖6圖7

(3)因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，因此當(dāng)△ABC與△DEF相似時(shí)，△DEF也是等腰三角

形.

如圖8,當(dāng)以E、尸為△ABC的三邊的中點(diǎn)時(shí)，OE為等腰三角形OEF的腰，符合題意,

此時(shí)BF=2.5.根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時(shí)，也符合題意，此時(shí)BF=4.1.

125

如圖9,當(dāng)DE為等腰三角形。EF的底邊時(shí)，四邊形DECF是平行四邊形，此時(shí)BF=——.

34

圖8圖9圖10圖11

考點(diǎn)伸展:第(3)題的情景是一道典型題，如圖10,如圖11,4H是△ABC的高，。、E、F

為△ABC的三邊的中點(diǎn)，那么四邊形DEHF是等腰梯形.

例7如圖1,在直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)點(diǎn)A(0,t),點(diǎn)Q(t,b).平移二次函數(shù)

y=-的圖象，得到的拋物線尸滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)為Q：②與x軸相交于8、C兩點(diǎn)

(IOBI<IOC|),連結(jié)4B.

(1)是否存在這樣的拋物線F,使得=|0卦|。。］?請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由；

3

(2)如果4Q〃BC,且tan/4BO=5，求拋物線產(chǎn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.

思路點(diǎn)撥

1.數(shù)形結(jié)合思想，把=|。?。?。。|轉(zhuǎn)化為

2.如果AQ〃BC,那么以。4、4Q為鄰邊的矩形是正方形，數(shù)形結(jié)合得到t=b.

3.分類討論tan/ABO=3,按照4B、C的位置關(guān)系分為四種情況.4在y軸正半

軸時(shí)，分為B、C在y軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況；4在y軸負(fù)半軸時(shí)，分為B、C在y軸同側(cè)和

兩側(cè)兩種情況.

滿分解答

(1)因?yàn)槠揭?gt;=—a2的圖象得到的拋物線尸的頂點(diǎn)為Q(t,b),所以拋物線產(chǎn)對(duì)

應(yīng)的解析式為y=-t(x-/)2+b.

因?yàn)閽佄锞€與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此仍>0.

令y=0,得OB=V,OC=t+b

所以|OB|-|OC|=|(-*)(/+*)b|=|〃一2b|=r2=QA2.即/一2=±『.所

以當(dāng)人=2/時(shí)，存在拋物線F使得|OA『=|OB|?|0C|.

(2)因?yàn)?Q〃BC,所以t=b,于是拋物線F為y=T(x-f)2+f.解得

X]=t—1,x2=f+1.

①當(dāng)/>0時(shí)，由|O8|<|OC|,得8?-1,0).

如圖2,當(dāng)?—1>0時(shí)，由tanNA30=2=2n=」一,解得，=3.此時(shí)二次函數(shù)

2\OB\t-\

的解析式為y=-3/+18x-24.

如圖3,當(dāng)1一1<0時(shí)，由tanNABO=3=3=」一，解得t=3.此時(shí)二次

2\OB\-/+15

圖2圖3

3

②如圖4,如圖5,當(dāng)1<0時(shí)，由|03|<|0C|,將一/代工可得z=-g,/=—3.此

時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=|/一s或y=3/+18X+24.

圖4圖5

考點(diǎn)伸展

第（2）題還可以這樣分類討論：

（JA3

因?yàn)锳Q//BC1所以t=b,于是拋物線產(chǎn)為y=—f（x—，）-+「.由tanNA80=-----=一,

2

得08=一。4.

3

2,

①把0）代入y=+r,得,=±3（如圖2,圖5）.

23

②把3（—10）代入y=T（無(wú)一f）~+?,得，=±q（如圖3,圖4）.

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題（一）

例1、如圖1,已知正方形。力BC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)2、C分別在x、y軸的正半軸上，

M是BC的中點(diǎn).P（0,m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)△4P。是等腰三角形時(shí)，求m的值；

（3）設(shè)過(guò)P、M、8三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)0作直線ME的垂線，

垂足為"（如圖2）.當(dāng)點(diǎn)P從。向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)

的路長(zhǎng)（不必寫解答過(guò)程）.

思路點(diǎn)撥

1.用含m的代數(shù)式表示表示的三邊長(zhǎng)，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備.

2.探求△APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解.

3.猜想點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難題.不變的是直角，會(huì)不會(huì)找到不變的線段長(zhǎng)呢？Rt

△OHM的斜邊長(zhǎng)?！笔嵌ㄖ?，以O(shè)M為直徑的圓過(guò)點(diǎn)H、C.

滿分解答

（1）因?yàn)镻C〃DB,所以上■=也=些=1.因此PM=DM,CP=BD=2—m.所以

BDDMMB

AD=4—m.于是得到點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,4-/71）.

（2）在△APD中，AD2=（4-m）2,AP2=m2+4,PD~=（2PA/）2=4+4（2-//i）2.

①當(dāng)4P=4。時(shí)，（4一加）2="2+4.解得m=3（如圖3）.

2

②當(dāng)R4=PD時(shí)，/+4=4+4（2-朋）2.解得團(tuán)=_!（如圖4）或加=4（不合題意，

3

舍去）.

③當(dāng)D4=DP時(shí)，（4-?t）2=4+4（2-，"）2.解得m=2（如圖5）或根=2（不合題意，

3

舍去）.

綜上所述，當(dāng)△力PD為等腰三角形時(shí)，m的值為3,2或2.

233

（3）點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為91乃.

4

考點(diǎn)伸展

第（2）題解等腰三角形的問(wèn)題，其中①、②用幾何說(shuō)理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單:

①如圖3,當(dāng)4P=40時(shí),4"垂直平分PD,那么△PCMs^MBA.所以1=絲=1.因

CMBA2

此PC=—>m=—■

22

②如圖4,當(dāng)R4=P。時(shí)，P在4。的垂直平分線上.所以。4=2P0.因此4-m=2m.解

得心=土

3

第（2）題的思路是這樣的：

如圖6,在Rt^OHM中，斜邊0M為定值，因此以0M為直徑的。G經(jīng)過(guò)點(diǎn)H,也就是

說(shuō)點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過(guò)的圓心角怎么確定呢？如圖7,P與。重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)

的起點(diǎn)，NCOH=45°，NCGH=90°.

圖6圖7

例2如圖1,已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)),=gx的圖象交于點(diǎn)4,且

與x軸交于點(diǎn)B.

(1)求點(diǎn)力和點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)/作24cLz軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作直線〃/y軸.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿。一C—A工;=_,+7八='

的路線向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線/從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度\/3-

向左平移，在平移過(guò)程中，直線/交x軸于點(diǎn)R,交線段B4\/

或線段A。于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)4時(shí)，點(diǎn)P和直線/都

停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒./

①當(dāng)t為何值時(shí)，以4、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積力2、

為8?

②是否存在以力、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥

1.把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問(wèn)題.

2.求"PR的面積等于8,按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論.事實(shí)上，P在上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，高是定值4,最大面積為6,因此不存在面積為8的可能.

3.討論等腰三角形APQ,按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)尸的每一種位置又要討

論三種情況.

滿分解答

y=一工+7,

(1)解方程組.4得"‘所以點(diǎn)4的坐標(biāo)是(3,4).

y=/[y=4.

令y=-x+7=0,得x=7.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7,0).

(2)①如圖2,當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0Wt<4.由S=S梯形。朋―S△心—SAMR=8,

得一(3+7T)X4——x4x(4-f)——xf(7-f)=8.整理，得產(chǎn)-8f+12=0.解得t=2或t=6

222

(舍去).如圖3,當(dāng)P在。1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大面積為6.

因此，當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8.

圖2圖3圖4

②我們先討論P(yáng)在0C上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0Wt<4.

如圖1,在△AOB中，ZF=45°,ZAOB>45°,0B=7,4B=4五,所以0B>

AB.因此N04B>/40B>/B.

如圖4,點(diǎn)P由。向。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，OP=BR=RQ,所以PQ〃x軸.

因此N4QP=45°保持不變，NP4Q越來(lái)越大，所以只存在NAPQ=NAQP的情況.

此時(shí)點(diǎn)4在PQ的垂直平分線上，OR=2G4=6.所以BR=1,t=l.

我們?cè)賮?lái)討論P(yáng)在C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4Wt<7.

在△4PQ中，cosNA=g為定值，AP=1-t,AQ=OA-OQ=OA--OR=-t~—?

如圖5,當(dāng)AP=4?時(shí)，解方程7T=3—型，得￡=色.

338

如圖6,當(dāng)QP=Q4時(shí)，點(diǎn)Q在P4的垂直平分線上，4P=2(0R-0P).解方程

7-f=2[(7-r)-(f-4)l-得f=5.

如7,當(dāng)P2=PQ時(shí)，那么cosNA=------因此AQ=2APcosNA.解方程

AP

520%、3z226

—t-----=2(7-z)x—,得St-?

33543

綜上所述，C=1或B或5或些時(shí)，△APQ是等腰三角形.

843

圖5圖6圖7

考點(diǎn)伸展

當(dāng)P在。1上，QP=Q4時(shí)，也可以用AP=2AQcosNA來(lái)求解.

2016中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題(二)

例3如圖1,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)4(6,0),8(0,8),C(—4,0),點(diǎn)M、N分別為線

段4c和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向4方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

N以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自人向B方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P.

(1)求證：MN：NP為定值：

(2)若ABNP與AMNA相似，求CM的長(zhǎng)；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的長(zhǎng).

圖1

思路點(diǎn)撥

1.第(1)題求證MN：NP的值要根據(jù)點(diǎn)N的位置分兩種情況.這個(gè)結(jié)論為后面的計(jì)

算提供了方便.

2.第(2)題探求相似的兩個(gè)三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過(guò)說(shuō)理知道這兩個(gè)三角形是直

角三角形時(shí)才可能相似.

3.第(3)題探求等腰三角形，要兩級(jí)(兩層)分類，先按照點(diǎn)N的位置分類，再按

照頂角的頂點(diǎn)分類.注意當(dāng)N在力B的延長(zhǎng)線上時(shí)，鈍角等腰三角形只有一種情況.

4.探求等腰三角形BNP,N在AB上時(shí)，NB是確定的，把夾NB的兩邊的長(zhǎng)先表示出

來(lái)，再分類計(jì)算.

滿分解答

(1)如圖2,圖3,作NQLx軸，垂足為Q.設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

在RtZVINQ中，AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.

在圖2中，QO=6-3t,MQ=10-5t,所以MN：NP=MQ：Q0=5：3.

在圖3中，QO=3t-6,MQ=5t-10,所以MN：NP=MQ：Q0=5：3.

(2)因?yàn)椤鰾NP與△MM4有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個(gè)三角形要么是一個(gè)銳角三角形和一

個(gè)鈍角三角形，要么是兩個(gè)直角三角形.只有當(dāng)這兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)才可能相似.

如圖4,△BNPs/\MNA,在Rt/VIMN中，4上=3,所以5f=3.解得

AM510-2r5

-CMo|Q-

圖2圖3圖4

網(wǎng),OPMPOP2上“八”8

(3)如圖5,圖6,圖7中，一，即nn—.所以O(shè)P—t.

QNMNAt55

Q

①當(dāng)N在AB上時(shí)在ABNP中,NB是確定的，BP=8一一t,BN=10-5t.

5

oi()2()

(I)如圖5,當(dāng)BP=BN時(shí)，解方程8—2/=10-5/,得/=、.止匕時(shí)CM=，.

51717

解方程48_。j45

(II)如圖6,當(dāng)NB=NP時(shí)，BE==《(10—5",得/=1.此