2019-2020學年廣西南寧市第三高一下學期期末考試數學試題（解析版）

2019-2020學年廣西南寧市第三高一下學期期末考試數學試題一、單選題1．設，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先化簡集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.2．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺，下面為圓柱 B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為棱臺，下面為棱柱 D．上面為棱臺，下面為圓柱【答案】A【解析】觀察三視圖判斷上面和下面幾何體的形狀即可.【詳解】結合圖形分析知上面為圓臺，下面為圓柱.故選：A.【點睛】本題考查利用三視圖判斷幾何體的形狀，考查學生的空間想象能力，是基礎題．3．下面說法正確的是（）.A．經過定點的直線都可以用方程表示B．不經過原點的直線都可以用方程表示C．經過定點的直線都可以用方程表示D．經過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示【答案】D【解析】根據點斜式、截距式、斜截式法、兩點式方程特征逐一分析判斷.【詳解】經過定點且斜率存在的直線才可用方程表示，所以A錯；不經過原點且與兩坐標軸都不垂直的直線才可以用方程表示，所以B錯；經過定點且斜率存在的直線才可用方程表示，所以C錯；當時，經過點的直線可以用方程即表示，當時，經過點的直線可以用方程，即表示，因此經過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示，所以D對；故選：D【點睛】本題考查直線幾種方程的辨析，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.4．角的頂點在坐標原點，始邊在x軸正半軸上，且終邊過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意結合任意角的三角函數值的定義運算即可得解.【詳解】由題意可得.故選：B.【點睛】本題考查了任意角三角函數值的定義，考查了運算求解能力，屬于基礎題.5．在數列中，，（，），則（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】通過遞推式求出數列前幾項可得數列為周期數列，利用數列的周期性可得答案.【詳解】解：，，，可得數列是以3為周期的周期數列，.故選：A.【點睛】本題考查數列的周期性，關鍵是通過遞推式求出前幾項觀察出周期，是基礎題.6．，，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，然后化簡得，而，由不等式的性質給兩邊同除以不等號方向不變，可得結果.【詳解】解：因為，，，所以，所以，因為，所以，所以故選：A【點睛】此題考查了不等式的性質，屬于基礎題.7．已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量投影的概念可求得向量在向量方向上的投影.【詳解】由于單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題考查向量投影的計算，考查平面向量投影概念的應用，考查計算能力，屬于基礎題.8．著名物理學家李政道說：“科學和藝術是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數學方法確定的.我國明代的數學家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數學使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A． B．G C． D．A【答案】B【解析】先根據已知條件求得公比，結合題目所求半音與的頻率之比，求得該半音.【詳解】依題意可知.由于滿足，則，所以數列為等比數列，設公比，對應的頻率為，題目所求半音與的頻率之比為，所以所求半音對應的頻率為.即對應的半音為.故選：B【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量計算，屬于基礎題.9．已知，，，且，，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由，化簡，，得到，再用基本不等式求解.【詳解】由知，，，，當且僅當時取等號.故的最小值為4故選：B【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.10．在銳角三角形中，已知，則的范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】根據正弦定理得到，計算，得到答案.【詳解】，又，，銳角三角形，∴，故，故.故選：C.【點睛】本題考查了正弦定理，三角恒等變換，三角函數范圍，意在考查學生的計算能力和應用能力.11．若函數的圖象與直線有公共點，則實數的取值范圍為（）A． B．． C． D．【答案】B【解析】將函數變形為，表示的是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓的下半部分，與直線有公共點，一個臨界是相切，一個臨界是過點（-1，0），列式求值即可.【詳解】函數可化簡為：，表示的是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓的下半部分，與直線有公共點，根據題意畫出圖像：一個臨界是和圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑，正值舍去；另一個臨界是過點（-1，0）代入得到m=1.故答案為B.【點睛】這個題目考查的是直線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數形結合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經常用到垂徑定理．12．已知A、B是單位圓O上的兩點（O為圓心），∠AOB=120°，點C是線段AB上不與A、B重合的動點.MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（）A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]【答案】A【解析】【詳解】建立如圖所示的坐標系，到直線的距離，則，的取值范圍是，故選A.二、填空題13．已知為等差數列的前項和，且，，則______.【答案】120【解析】根據等差數列通項公式及前項和公式，可得關于首項與公差的方程組，解方程組求得首項與公差，再代入前項和公式即可求得的值.【詳解】設等差數列的公差為，根據題意得解得，，所以.故答案為：120.【點睛】本題考查了等差數列通項公式與前項和公式的簡單應用，屬于基礎題.14．設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為_______.【答案】【解析】作出可行域，平移目標函數，其截距最大時，有最大值.【詳解】解：作出可行域如圖：由解得，由得，平移直線，結合圖像知，直線過點A時，，故答案為：4.【點睛】考查線性規(guī)劃中求目標函數的最大值，其關鍵是平移目標函數，結合圖像即可求解；基礎題.15．已知，則的值為_______.【答案】【解析】首先分子和分母上下同時除以，求得，再利用二倍角公式求解.【詳解】時，等式不成立，當時，分子和分母上下同時除以，得，解得：.故答案為：【點睛】本題考查二倍角的正切公式，已知的齊次方程求，重點考查公式和計算，屬于基礎題型.16．在平面直角坐標系中，圓，若圓上存在以為中點的弦，且，則實數的取值范圍為_________．【答案】(或)【解析】由于圓存在以為中點的弦，且，所以,如圖，過點作圓的兩條切線，切點分別為，圓上要存在滿足題意的點，只需，即，連接，，由于，，，解得.【點睛】已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓存在以為中點的弦，且，說明，就是說圓上存在兩點，使得.過點作圓的兩條切線，切點分別為，圓上要存在滿足題意的點，只需，即，則只需，列出不等式解出的范圍.三、解答題17．已知某曲線的方程C：x2(1)若此曲線是圓，求a的取值范圍，并指出圓心和半徑；(2)若a=1，且與直線l：x-y+1=0相交于M，N兩點，求弦長|MN|．【答案】（1）a<5，C?1,2,r=5?a【解析】（1）把曲線方程配方變形，由曲線為圓可得5﹣a＞0，得a＜5，從而得到圓的圓心坐標與半徑；（2）把a=1代入曲線方程，可得圓心坐標與半徑，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理得答案．【詳解】解：(1)C：x2+y若曲線是圓，則5-a>0，得a<5．圓心坐標為C(-1,2)，半徑(2)a=1時，圓C為(x+1)圓心C(-1,2)，半徑圓心到直線的距離d=|-1-2+1|∴弦長|MN|=2r【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題．18．在數列中，.（1）證明：數列是等比數列，并求的通項公式；（2）令，求數列的前n項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）把原數列遞推式變形，可證得是等比數列，求出的通項公式后可求數列{an}的通項公式；（2）把數列{an}的通項公式代入，整理后運用分組求和法求．【詳解】（1）證明：，或者又，是首項為4，公比為2的等比數列，，；（2），所以.【點睛】本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了分組成等比數列或等差數列求數列的和，屬中檔題．19．如圖所示，在中，點在線段上，，，，.（1）求的值；（2）判斷是否為等腰三角形.【答案】（1）；（2）為等腰三角形.【解析】（1）首先由的值得出的值，然后在中運用正弦定理即可；（2）結合（1）中的結論求出，運用余弦定理求出，進而可得結果.【詳解】（1）因為，所以在中，由正弦定理得：，即：解得.（2）在中因為，所以所以，得，所以為等腰三角形.【點睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.20．在中，角，，所對的邊分別是，若，.（1）求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）先利用二倍角公式化簡，再用誘導公式化簡，然后利用正弦定理把角統(tǒng)一成邊，再結合可求出的值；（2）由余弦定理得，從而可得，再利用三角形面積公式，結合基本不等式可求出面積的最大值.【詳解】（1）因為，所以，，由正弦定理可得，因為，所以，（2）由余弦定理可得，即，所以，所以，因為，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以面積的最大值為.【點睛】此題考查三角函數的二倍角公式、誘導公式，考查了正余弦定理，利用了基本不等式求三角形面積的最大值，考查了計算能力，屬于中檔題.21．設不過坐標原點的直線與二次函數相交于兩點，若以為直徑的圓過坐標原點.（1）求的值；（2）當以為直徑的圓的面積最小時，求直線的方程.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）由以為直徑的圓過坐標原點，可得，若設，則，直線方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，消元后，再利用根與系數的關系，結合直線方程，解方程可求出的值，（2）的中點坐標為，則圓的半徑，所以當時取得最小值2，由此可得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立消去得.設，由韋達定理得，因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，得，由于兩點在直線上，所以所以或當時，直線過坐標原點，不符合條件，故；（2）由（1）知，，則的中點坐標為，所以圓的半徑，當且僅當時，取得最小值2，此時，直線的方程為.【點睛】此題考查了直線與拋物線的位置關系，圓的有關知識，考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題.22．對定義域的函數，，規(guī)定：函數（1）若函數，，寫出函數的解析式；（2）求問題（1）中函數的值域；（3）若