直線與圓錐曲線的位置關系（課時訓練） 【含答案】 高二數(shù)學上學期對點訓練（人教A版2019選擇性必修第一冊）

直線與圓錐曲線的位置關系A組基礎鞏固1．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室一模（文））若雙曲線的左、右焦點分別為，，點P為圓與此雙曲線的一個公共點，則的面積為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】確定線段是圓的直徑，得，然后利用雙曲線的定義、勾股定理得出的關系式，變形求得后可得三角形面積．【詳解】由題意，，，所以線段是圓的直徑，因此，所以，所以，．故選：D．2．（2022·全國·大化瑤族自治縣高級中學模擬預測（文））已知拋物線的焦點為點F，過焦點F的直線t交該拋物線于A?B兩點，O為坐標原點，若的面積為，則直線t的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設過焦點F的直線t為：，聯(lián)立拋物線的方程表示出，由的面積為可得，解方程即可求出直線t的斜率.【詳解】拋物線焦點為，設過焦點F的直線t為：，由可得，的面積為，可得：，，解得.故選：B.3．（2022·福建泉州·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于、兩點，點在上的投影為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，垂足為點，作，垂足為點，分析出點為的中點，利用拋物線的定義可求得結果.【詳解】過點作，垂足為點，作，垂足為點，，所以，四邊形為矩形，所以，，因為，所以，，故，由拋物線的定義可得，，所以，，即.故選：B.4．（2022·上海黃浦·二模）將曲線()與曲線()合成的曲線記作．設為實數(shù)，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結論：①存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；②存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（

）．A．①②均正確 B．①②均錯誤C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確【答案】C【分析】對①，分析當時點的軌跡總落在某個橢圓上即可；對②，設，，，則，利用點差法，化簡可得，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上則為常數(shù)，再化簡分析推出無解即可【詳解】設，，，則.對①，當時，，，易得，故兩式相減有，易得此時，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得點的軌跡總落在橢圓上.故①正確；對②，，.由題意，若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則，，兩式相減有，即，又，故，即，又，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則為常數(shù).即為定值，因為分子分母次數(shù)不同，故若為定值則恒成立，即，無解.即不存在，使得點的軌跡總落在某條直線上故選：C5．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點P為橢圓C的上頂點．直線與橢圓C交于A，B兩點，若的斜率之積為，則橢圓C的長軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出長軸長.【詳解】橢圓的面積，即①.因為點P為橢圓C的上項點，所以.因為直線與橢圓C交于A，B兩點，不妨設，則且，所以.因為的斜率之積為，所以，把代入整理化簡得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長軸長為2a=6.故選：B6．（2023·福建漳州·三模）若直線與拋物線C：相切于點A，l與x軸交于點B、F為C的焦點．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，根據(jù)求出的值，即可求出、的坐標，從而求出，，再根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系求出，即可得解；【詳解】解：依題意聯(lián)立方程，即，則，解得，此時直線，則，所以，解得，即，又，所以，，即，又，所以所以；故選：A7．（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法即可．【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．8．（2022·河北·模擬預測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得線段的方程為，在線段上取一點，由已知可得關于的方程在時有兩個不等的實根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關于、、的不等式組，由此可解得的取值范圍.【詳解】易知點、、、，則線段的方程為，在線段上取一點，滿足，則，，，所以，，整理可得，由題意可知，關于的方程在時有兩個不等的實根，則，可得，可得，所以，.故選：D.9．（2022·浙江紹興·模擬預測）已知F是橢圓的右焦點，P是橢圓C上的點，設曲線C在點P處的切線l與x軸交于點Q，記坐標原點為O，直線的斜率為k，橢圓C的離心率為e，（

）A．若直線軸，則 B．若直線軸，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】直線軸，不妨設點P在第一象限，，由此可推得，，該式不會恒等于1，故可判斷A,B;若，設，根據(jù)過橢圓上一點處的切線方程的結論，可得切線方程，由此推出，即可推得，，判斷C,D.【詳解】若直線軸，不妨設點P在第一象限，，則，，令，則，即當時，等于1，當時，不等于1，故選項A，B錯誤；若，設，則切線：，則，因為，所以，，故C錯誤，D正確，故選：D．10．（2022·河北·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，離心率為e，直線分別與C的左?右兩支交于點M，N.若的面積為，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D【分析】作出輔助線，，由面積公式求出，利用雙曲線定義和余弦定理求出，求出，進而求出.【詳解】連接，有對稱性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，由面積公式得：，解得：，由雙曲線定義可知：，在三角形中，由余弦定理得：，解得：，所以，解得：，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：D11．（2022·河南·模擬預測（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則雙曲線方程為，，，可得直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設，由，得，則，所以，因為，，所以，因為的周長為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：C12．（2022·河南省葉縣高級中學模擬預測（文））已知拋物線的焦點為，準線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點，若，則______.【答案】4【分析】拋物線的定義結合題意得到為等邊三角形，設準線與軸交于點，，即可得出答案.【詳解】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，設準線與軸交于點，則，.故答案為：4.13．（2022·上海市光明中學模擬預測）已知點在橢圓上運動，的左、右焦點分別為、．以為圓心，半徑為的圓交線段、于、兩點（其中為正整數(shù)）．設的最大值為，最小值為，則__________．【答案】【分析】設點，則，計算得出、、，利用平面向量數(shù)量積的運算性質可得出關于的表達式，令，利用函數(shù)單調性可求得當時，、的表達式，再利用常用數(shù)列的極限可求得結果.【詳解】在橢圓中，，，，則點、，因為在橢圓上運動，設點，則，，同理可知，由已知可得，，，所以，，，令，，當時，記，則，任取、且，即，所以，，則，，故函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，，，所以，，因此，.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．14．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）點在橢圓上，不在坐標軸上，，，，，直線與交于點，直線與軸交于點，設，，則的值為______．【答案】1【分析】設直線的直線方程為，聯(lián)立橢圓方程求出的坐標，即得解.【詳解】解：設直線的直線方程為，聯(lián)立橢圓方程化簡得，所以或，當時，，所以.當時，，所以，所以，所以直線的方程為當時，所以.所以，因為，，所以，所以.故答案為：115．（2022·浙江·模擬預測）橢圓上三點A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B關于原點對稱，C為橢圓右頂點．過A作x軸的垂線，交直線于D．當A在橢圓上運動時，總有，則該橢圓離心率e的最大值為_________．【答案】【分析】設，，，根據(jù)橢圓的方程得到，即可得到①，②，再由弦長公式得到③，整理可得，即可求出離心率的最大值；【詳解】解：依題意可得，設，，，，所以，則，又，①，②，由得③，將①②代入③式，消去，得，因為，，則要求，即，所以，即e的最大值為．故答案為：16．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）如圖所示，在橢圓中，為其兩焦點，過兩焦點作直線，連接各邊，若圖中陰影部分面積與的面積之比為，則直線的斜率為____________．【答案】【分析】利用弦長公式證明，即四邊形和四邊形為平行四邊形，利用已知條件可知，根據(jù)點在橢圓上可求出點和的坐標，根據(jù)對稱性即可求出直線的斜率.【詳解】由已知條件得，即,,若直線的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知,又∵，∴四邊形為平行四邊形；若直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立得，其中，，，設直線的方程為，，，聯(lián)立得，其中，，，∴,,∴，∴，又∵，,∴,∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形為平行四邊形；由已知得，,即,，∴，∴，即，，，，解得，，則，，即,，故答案為：．17．（2022·山東濰坊·三模）已知是拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線交拋物線于，兩點，直線交拋物線于，兩點，且的最小值是64，則拋物線的方程為______．【答案】【分析】依題意設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角，根據(jù)焦點弦公式得到，，再根據(jù)二倍角公式及正弦函數(shù)的性質求出的最小值，即可求出，從而得解；【詳解】解：設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角，根據(jù)焦點弦長公式可得，，所以，因為，所以當時取得最小值，所以，所以，所以拋物線方程為故答案為：18．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，則k的取值范圍為___________.【答案】【分析】直線與雙曲線有兩個交點即聯(lián)立方程后判別式要大于0，且直線不與漸近線平行.【詳解】聯(lián)立消去y：，，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.

B組能力提升19．（2022·全國·模擬預測）（多選題）過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-1【答案】AC【分析】A由橢圓對稱性及定義有周長為，根據(jù)橢圓性質即可判斷；B根據(jù)圓的性質，結合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設，利用斜率兩點式可得，進而判斷C正誤，應用向量數(shù)量積的坐標表示列關于的表達式，結合橢圓有界性求最值.【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；B：若四邊形為矩形，則點P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點，錯誤；C：設，則，因為直線PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；D：設，則．因為，所以當時，最小值為，錯誤.故選：AC．20．（2022·全國·模擬預測）（多選題）法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點的距離的最小值為D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ABD【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達式求其范圍，由此判斷C，結合點差法判斷D.【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；由直線經(jīng)過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．【點睛】橢圓的蒙日圓及其幾何性質過橢圓上任意不同兩點，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動點的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日圓．橢圓的蒙日圓有如下性質：性質1：．性質2：平分切點弦．性質3：的最大值為，的最小值為．21．（2022·全國·模擬預測）（多選題）已知拋物線，焦點為F，直線l與拋物線交于A，B兩點，則下列選項正確的是（

）A．當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與y軸相切B．若線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為1C．若，則弦長AB最小值為8D．當直線l過焦點F且斜率為2時，，，成等差數(shù)列【答案】ABC【分析】設，根據(jù)拋物線定義，可得，即可得AF為直徑的圓的半徑和圓心坐標，又圓心到y(tǒng)軸距離為，即可判斷A的正誤；由題意，求得直線l的方程，即可判斷B的正誤；根據(jù)題意，結合韋達定理及弦長公式，可得長表達式，根據(jù)m的范圍，即可判斷C的正誤；由題意得，根據(jù)焦半徑公式結合韋達定理，可求得k值，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】設直線l的方程為，，．聯(lián)立，消去x得，由韋達定理得，．對于A：，以AF為直徑的圓半徑為，圓心為，圓心到y(tǒng)軸距離為，故以AF為直徑的圓與y軸相切，故選項A正確；對于B：∵，∴，即，∴直線l的方程為，∴直線AB的斜率為1，故選項B正確；對于C：若，則，∴，∴，則．又，∴當時，AB取最小為8，故選項C正確；對于D：根據(jù)題意可得直線l的斜率存在．∵拋物線的焦點，∴直線l的方程可設為，與拋物線方程聯(lián)立，消去y整理得．設，，∴，．若，，成等差數(shù)列，則有，即，化簡得．又，解得或（舍去）．∵，∴，解得，所以，與已知矛盾，故選項D錯誤，故選：ABC．【點睛】解題的關鍵是熟練掌握拋物線的定義、焦半徑公式、弦長公式等基礎知識，并靈活應用韋達定理進行求解，綜合性較強，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.22．（2022·海南·模擬預測）（多選題）黃金比例被公認為是最具美感的比例，其值為．已知橢圓的離心率，設坐標原點為，橢圓的右焦點為，左頂點為A，下頂點為，過點且垂直于軸的直線交橢圓于點和，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)，采用平方可得到，判斷A;推出，結合，判斷B;計算，可判斷C;求得，結合得到，判斷D.【詳解】由于，即，故，則，故A錯誤；由于，故，由得，故，故B正確；由于，則，即，故，C錯誤；將代入，得，故，而故，D正確，故選：BD23．（2022·四川省南充高級中學模擬預測（理））在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析，．【分析】（1）寫出的坐標，求出向量坐標，根據(jù)向量的關系即可列出方程組，求得和橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，求出，根據(jù)即可求得和的關系，即可證明直線過定點并求出該定點．（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．24．（2022·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點到直線的距離為．(1)求的方程；(2)若點在上，，是的兩條切線，，是切點，直線與交于點，證明：存在定點，使得．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)利用點到直線的距離公式，即可求解.(2)設，，根據(jù)導數(shù)求切線斜率，再由點斜式得到直線PA,PB方程，聯(lián)立求出P點坐標，再根據(jù)直線AB方程求出點坐標，設，則由，即可建立關于定點的方程，即可解出.（1）由題可知的焦點為，依距離公式可得，解得．所以的方程為；（2）設，．由，可知直線的方程為，即．同理直線的方程為．聯(lián)立解得．若記，則有所以可寫出直線的方程為，即，即．由與相交可知．聯(lián)立可得．設，則由可知上式關于恒成立當且僅當解得或因此，存在定點或，使得．【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系，根據(jù)題意，將條件翻譯成代數(shù)式，即可求解，對學生的綜合分析能力，以及計算能力有較高的要求.25．（2022·湖南永州·一模）點在雙曲線上，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點（異于點），分別表示直線的斜率，滿足，求證：直線恒過一個定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求得a,b，可得答案;（2）分類討論直線AB的斜率是否存在的情況，斜率存在，設出直線方程并