江蘇高考之最值問題

最值問題考綱解讀：最值問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它分布在各個知識點中，各個知識水平層面上。以最值為載體，可以考查中學數(shù)學的很多知識點，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學思想方法，還可以考查學生的思維、實踐和創(chuàng)新等能力。因此，它在高考中占有重要的地位。熱點展望：函數(shù)的最大、最小值問題（即最值問題）是函數(shù)性質(zhì)中一個極其重要的內(nèi)容。它不僅與其他的數(shù)學知識有著廣泛的聯(lián)系，而且求最值的問題也頗具靈活性和技巧性。因而它也是高考考查的熱點之一。條件最值是根據(jù)題目中所給出的條件來確定所求目標函數(shù)最值的一種題型。它廣泛聯(lián)系著代數(shù)、三角、幾何等多方面的知識，又與生產(chǎn)實際中的問題緊密地聯(lián)系在一起，是培養(yǎng)分析能力和綜合能力的一個好課題。求條件最值一般是根據(jù)題目中所給的條件，靈活采用消元法、換元法、平均值不等式及數(shù)形結(jié)合等方法來解決。使用時要注意他們有效可靠的一面和失效不可靠的一面，既要注意共性，又要抓住個性，正確處理，相輔相成，靈活運用。點的運動時解析幾何的根本，探索在運動變化情況下點的運動時解析幾何研究的核心內(nèi)容之一。解析幾何中的定點、定值與最值問題就是對點的運動特征的研究，但由于這類問題對能力要求較高，所以高考中此類問題考查較少。比較而言，最值問題因涉及函數(shù)思想、不等式內(nèi)容，有一定的綜合性，所以在高考試題中體現(xiàn)得更多，值得重視。不等式恒成立的問題常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，例如：對恒成立的最小值；對恒成立的最小值。實際應用問題中，最優(yōu)化問題所占的比例較大，通過建?？赊D(zhuǎn)化為最值問題，這類問題已成為近幾年高考的熱點，可以肯定，其熱度還會繼續(xù)保持。我們會在第三專題中專門進行研究。配方法記憶方略配方法均值不等式法直接法均值不等式法直接法函數(shù)法單調(diào)性導數(shù)法基本不等式二次函數(shù)間接法一次函數(shù)函數(shù)法單調(diào)性導數(shù)法基本不等式二次函數(shù)間接法一次函數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象幾何法幾何法幾何不等式平面幾何知識幾何不等式平面幾何知識線性規(guī)劃線性規(guī)劃斜率解析幾何斜率解析幾何兩點間距離兩點間距離要點提煉求幾類重要函數(shù)最值的方法。二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖象相結(jié)合；:從均值不等式法和單調(diào)性中加以選擇;多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。實際應用問題中的最值問題一般有下列模型：熱點考向聚焦熱點考向1利用均值不等式求最值例1、（1）已知是正常數(shù)，且，求證：，并指出等號成立的條件；利用（1）的結(jié)論求函數(shù)的最小值，指出取最小值時的最小值。【思路拓展】“基本不等式的運用”是考綱要求的一個重點內(nèi)容，達到了“C”級，也是近幾年來高考中必考的一個知識點，必須注意“一正，二定，三相等”這一特定的條件的滿足?！咀兪接柧殹恳阎蠛瘮?shù)的最大值；已知，求的最小值；已知為常實數(shù)，求函數(shù)的最小值。4、求函數(shù)的最大值。熱點考向2利用導數(shù)求最值例2、已知函數(shù)求函數(shù)的圖像在處得切線方程；求的最大值；設(shè)實數(shù)，求函數(shù)在上的最小值?！舅悸吠卣埂繉τ谧詈笠粏柷胁豢砂旬斪鰧ΨQ軸去討論區(qū)間的兩個端點與其距離，而是要通過比較與的大小最終確定的二級分類標準，也可以分四種情況去討論，但不簡捷?！咀兪接柧殹?、已知函數(shù)在處取得極值2.求函數(shù)的解析式；若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；若為圖像上任意一點，直線與圖像切于點P，求直線的斜率的取值范圍。已知函數(shù)。若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；設(shè)函數(shù)，當存在最小值時，求其最小值的解析式；對（2）中的，證明：當時，。熱點考向3二次函數(shù)的最值問題例3、已知的最大值是2，求實數(shù)的值?！舅悸吠卣埂壳箝]區(qū)間上二次函數(shù)的最大（?。┲?，其一般步驟是：(1)當拋物線的頂點橫坐標在閉區(qū)間內(nèi)時，則頂點處有最?。ù螅┲?，且閉區(qū)間距頂點橫坐標教員的端點（即遠端點）處有最大（?。┲怠＃?）當頂點橫坐標不在閉區(qū)間上時，則近端點有最?。ù螅┲担谶h端點處有最大（?。┲?。【變式訓練】求函數(shù)的最大值與最小值。設(shè)，函數(shù)，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍。已知函數(shù)。（1）討論在上的奇偶性；（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。熱點考向4數(shù)形結(jié)合求最值例4、不等式對所有的都成立，求實數(shù)的最大值?！舅悸吠卣埂勘绢}是將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)方程思想來解決。【變式訓練】如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上的任意一點到A的距離比到B的距離遠2km?，F(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運貨物。經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是萬元/km、2萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是萬元。熱點考向5最值的綜合問題例5、已知為的三個內(nèi)角，且向量的模（其中）。問是否為定值？當最大時，存在動點M，使成等差數(shù)列，試求的最大值?！咀兪接柧殹恳阎瘮?shù)（為實常數(shù)）是偶函數(shù)，且。求實數(shù)的值，并比較與的大??；設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求；當時，求證：。綜合練習函數(shù)，若對任意，都有成立，則的最小值為點P是雙曲線右支上的一點，點M,N分別是圓和圓上的點，則的最大值為設(shè)雙曲線的兩條漸近線與右準線的三角形區(qū)域（包含邊界）為D，為D內(nèi)一個動點，則目標函數(shù)的最小值為已知，，則的最大值為若實數(shù)滿足：，則的最大值為設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且。若函數(shù)對所有的都成立，則當時，的取值范圍是在等差數(shù)列中，，且，則中的最大的是過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，為橢圓的焦點，則四邊形面積的最大值是在等差數(shù)列中，是前項和，它滿足，則數(shù)列中的最大項是已知向量，且A為銳角。求角A的大??；（2）求函數(shù)的值域。已知函數(shù)且。求的最大值