數(shù)軸上的基本公式課件人教必修

2.1平面直角坐標系中的基本公式2.1.1數(shù)軸上的基本公式理解教材新知把握熱點考向第二章平面解析幾何初步考點一考點二考點三應用創(chuàng)新演練1．數(shù)軸(或直線坐標系)(1)數(shù)軸(直線坐標系)的定義：一條給出了

、

和

的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了

.(2)實數(shù)集和數(shù)軸上的點之間建立了

關系．(3)數(shù)軸上點P的坐標：如果點P與

對應，則稱點P的坐標為x，記作

．原點度量單位正方向直線坐標系一一對應實數(shù)xP(x)2．數(shù)軸上的向量及有關概念(1)向量的定義：如果數(shù)軸上的任意一點A沿著軸的

移動到另一點B，則說點在軸上作了一次位移，點不動則說點作了

.位移是一個既有

又有

的量，通常叫做位移向量，簡稱為

．正向或負向零位移大小方向向量(2)向量的有關概念：①從點A到點B的向量，記作，點A叫做向量

的

，點B叫做向量的

，線段AB的長叫做向量的長度，記作

.②數(shù)軸上同向且等長的向量叫做

．起點終點相等的向量||③向量的坐標(或數(shù)量)：軸上向量的坐標是一個

，實數(shù)的

為線段AB的長度.如果起點指向終點的方向與軸同方向，則這個實數(shù)取

；反之取

.

的坐標為0.向量的坐標記作

，由向量坐標定義得||＝|AB|.實數(shù)絕對值正數(shù)負數(shù)零向量AB3．數(shù)軸上的基本公式(1)數(shù)軸上位移的和：在數(shù)軸上，如果點A作一次位移到點B，接著由點B再作一次位移到點C，則位移叫做

的和，記作

.位移與位移＝＋(2)數(shù)軸上向量加法的坐標運算法則：對數(shù)軸上任意三點A，B，C，都具有關系

.(3)數(shù)軸上向量的坐標表示及兩點距離公式：已知數(shù)軸上兩點A(x1)，B(x2)，則AB＝

，d(A，B)＝

.AC＝AB＋BCx2－x1|x2－x1|1．畫數(shù)軸時，要先選定原點，并標上字母O，再確定度量單位．2．對于P(x)來說，x的絕對值等于點P到原點的距離，其符號取決于該點與原點的相對位置．3．向量與線段的區(qū)別與聯(lián)系向量

與線段AB既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的起點和終點分別是線段AB的兩個端點，向量的長度等于線段AB的長度，但向量的兩個端點有起點、終點的順序之分，而線段的兩個端點沒有順序；向量既有長度又有方向，而線段沒有方向．[例1]

(1)若點P(x)位于點M(－2)，N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點A(a)，B(b)的位置關系．[思路點撥]兩點的相對位置關系由兩點坐標的大小決定，可在草稿紙上畫出數(shù)軸幫助理解．[精解詳析]

(1)由題意可知，點M(－2)位于點N(3)的左側，且點P(x)位于點M(－2)，N(3)之間，所以－2<x<3.(2)確定兩點的位置關系，需要討論實數(shù)a，b的大小關系：當a>b時，點A(a)位于點B(b)的右側；當a<b時，點A(a)位于點B(b)的左側；當a＝b時，點A(a)與點B(b)重合．[一點通]數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應的關系，所以點的坐標的大小決定彼此的相互位置，顯然右邊的點的坐標要大于左邊的點的坐標．1．下列各組點中，點M位于點N左側的是(

)A．M(－2)，N(－3)

B．M(2)，N(－3)C．M(0)，N(6) D．M(0)，N(－6)解析：A中，－2>－3，點M(－2)位于點N(－3)右側；B中，2>－3，點M(2)位于點N(－3)的右側；C中，0<6，點M(0)位于點N(6)的左側；D中，0>－6，點M(0)位于點N(－6)的右側．答案：C2．不在數(shù)軸上畫點，判斷下列各組點的位置關系(主要說明哪一個點位于另一個點的右側)．（1）A(－1.5)，B(－3)；（2）A(a)，B(a2＋1)；（3）A(|x|)，B(x)；（4）A(x)，B(x－h(huán))．（3）當x≥0時，|x|＝x，則點A(|x|)和點B(x)為同一個點；當x＜0時，|x|＞x，則點A(|x|)位于點B(x)的右側．（4）∵x－(x－h(huán))＝h，∴當h>0時，x>x－h(huán)，點A(x)位于點B(x－h(huán))的右側；當h＝0時，x＝x－h(huán)，點A(x)和點B(x－h(huán))為同一個點；當h<0時，x－h(huán)>x，點B(x－h(huán))位于點A(x)的右側.[例2]已知數(shù)軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3.(1)求向量，的坐標；(2)求所有滿足條件的點B到原點O的距離之和．[思路點撥]

(1)向量，的坐標都等于終點坐標減去起點坐標；(2)由兩點的坐標易求距離，相加即可．[精解詳析]

(1)∵點A與原點O的距離為3，∴點A的坐標為3或－3.當點A的坐標為3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為2或4.此時的坐標為3，的坐標為－1或1.當點A的坐標為－3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為－4或－2.此時的坐標為－3，的坐標為－1或1.(2)所有滿足條件的點B到原點O的距離之和為2＋4＋4＋2＝12.[一點通]對于此類題，首先需明確題中各點的坐標及各符號的意思，然后利用相關公式計算向量的坐標及兩點的距離.位移的和的公式AC＝AB＋BC中需注意B的位置，B與A，C的先后順序不能隨意更改，比如寫成AC＝AB＋CB，AC＝BA＋BC等都是錯誤的．3．求數(shù)軸上兩點A(m)，B(－m)所對應的向量的數(shù)量及長度．4．已知數(shù)軸上的三點A(－1)，B(5)，C(x)．(1)當|AB|＋d(B，C)＝8時，求x；(2)當AB＋CB＝0時，求x；(3)當＝時，求x；(4)當AC＝1時，驗證：AB＋BC＝AC.解：(1)由題意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|.當|AB|＋d(B，C)＝8時，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由＝

可知，AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.(4)當AC＝1時，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.[例3]

(12分)已知數(shù)軸上點A，B，P的坐標分別為－1，3，x.(1)當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x；(2)若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關系？(3)在線段AB上是否存在點P(x)，使得點P到點A和點B的距離都是3？若存在，求出點P的坐標x；若不存在，請說明理由．[思路點撥]利用數(shù)軸上兩點間的距離公式將問題轉化為解方程或判斷方程是否有解的問題．[精解詳析]

(1)由題意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，則3(x＋1)＝x－3，或3(x＋1)＝－(x－3). (2分)解①得x＝－3；解②得x＝0.所以點P的坐標為－3或0. (4分)(3)不存在這樣的點P(x)． (9分)

d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使點P在線段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，則d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，這是不可能的． (12分)[一點通]已知點A(a)，B(b)，則兩點對應向量的數(shù)量以及距離公式分別為AB＝b－a，BA＝a－b，|AB|＝|b－a|，|BA|＝|a－b|.5．在數(shù)軸上求一點P，使它到點A(－9)的距離是它到點B(－3)的距離的2倍．解：設所求點P的坐標為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5)．6．已知A，B，C是數(shù)軸上任意三點．(1)若AB＝5，CB＝3，求AC；(2)證明：AC＋CB＝AB；(3)若|AB|＝5，|CB|＝3，求|AC|.解：(1)AC＝AB＋BC＝AB－CB＝5－3＝2.(2)設數(shù)軸上A，B，C三點的坐標分別為xA，xB，xC，則AC＋CB＝(xC－xA)＋(xB－xC)＝xB－xA＝AB，故AC＋CB＝AB.