名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊11.3.1平行直線與異面直線

11.3.1平行直線與異面直線本課時是人教B版《立體幾何初步》一章第三大節(jié)的第一小節(jié)，前一節(jié)學(xué)習(xí)了平面的基本事實和推論，初中學(xué)習(xí)過平面直線的相關(guān)內(nèi)容，已經(jīng)掌握了平面中的直線的平行關(guān)系。該課時主要學(xué)習(xí)平行公理，等角定理，異面直線和空間四邊形的定義以及簡單的應(yīng)用。平行直線與異面直線這一節(jié)課是研究空間向量和空間圖形的基礎(chǔ)，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生領(lǐng)會平行公理和平行公理的應(yīng)用——等角定理，并會利用等角定理解決空間幾何的一些簡單問題。進一步引出異面直線、空間四邊形，通過上述活動，加深對空間角的認(rèn)識，空間平行直線既是對直線平行的延續(xù)和拓展，有所后續(xù)研究空間幾何的基礎(chǔ)，他對研究從平面幾何到空間幾何起到承上啟下的作用，從方法論的角度分析，本節(jié)課教學(xué)過程中還滲透了探索發(fā)展，歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.考點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)平行公理和等角定理理解并掌握平行線的傳遞性和等角定理，并能解決有關(guān)問題直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理異面直線了解異面直線的畫法和判斷，并會判斷異面直線直觀想象，數(shù)學(xué)抽象空間四邊形了解空間四邊形的定義和有關(guān)概念直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，【教學(xué)重點】空間平行直線的公理、等角定理、異面直線、空間四邊形【教學(xué)難點】平行公理、等角定理問題1：平行直線知識點1平行直線1．定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線稱為平行直線．2．空間平行線的傳遞性(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?b∥c.(3)圖形表述：注：（1）由空間平行線的傳遞性可以得到幾何體中的一些線線平行關(guān)系，例如，如圖11-32-2所示的棱柱中，因為側(cè)面都是平行四邊形，所以有：（2）由空間平行線的傳遞性可以得到空間中的等角定理證明：如圖所示，在上取一點，在上取一點，使得；在上取一點，在上取一點，使得；因為，所以是一個平行四邊形，從而，同理；由空間平行線的傳遞性可知，因此是一個平行四邊形，所以；于是，從而知識點2：等角定理(1)文字表述：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角相等.(2)符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC∥A′C′,AB∥A′B′,AC與A′C′方向相同,AB與A′B′方向相同))eq\a\vs4\al(?∠BAC,＝∠B′A′C′.)(3)圖形表述：【對點快練】1．直線a，b，c，d滿足a∥b，b∥c，c∥d，則a與d的位置關(guān)系是________.答案：平行∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由平行線的傳遞性可知a∥d.2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝()A．30° B．150°C．30°或150° D．大小無法確定答案：C當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開口方向相同時，∠B′A′C′＝30°；當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開口方向相反時，∠B′A′C′＝150°.問題2：異面直線我們知道，異面直線指的是空間中既不平行也不相交的直線，而且前面也從幾何體中直觀認(rèn)識了異面直線。事實上，異面直線在實際生活中也是廣泛存在的，如果所示.兩條直線異面，實際上也就是這榔頭直線不能同時在任何一個平面內(nèi)。因此，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或者兩個平面襯托，如圖所示：如圖（1）中，，此時，直線l與直線AB是異面的，這是因為同時通過直線l與點B的平面只能是，如果l與直線AB是共面的，則，這與矛盾。由此可總結(jié)出異面直線的一種判定方法：與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面．知識點：異面直線(1)定義：兩條直線異面，實際上也就是這兩條直線不能同時在任何一個平面內(nèi).(2)異面直線的畫法：為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示．(3)判定方法：與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面．【對點快練】1．沒有公共點的兩條直線一定是異面直線？答案：沒有公共點的兩條直線也可能是平行直線．2．直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，則直線a，b是異面直線嗎？答案：不一定．異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的直線．問題3：空間四邊形知識點：空間四邊形1．定義：順次連接不共面的4點所構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形，其中4個點都是空間四邊形的頂點，連接相鄰頂點間的線段稱為空間四邊形的邊，連接不相鄰頂點間的線段稱為空間四邊形的對角線．2．表示：用表示頂點的4個字母表示，如圖所示為空間四邊形ABCD，這個空間四邊形的邊為AB，BC，CD，DA，對角線為AC，BD.【對點快練】1．平行四邊形、梯形等平面四邊形是空間四邊形？答案：空間四邊形的4個點不共面，平面四邊形不是空間四邊形．2．空間四邊形是四面體嗎？答案：不是．空間四邊形可以看成由四面體的4條棱構(gòu)成的圖形．例1.如圖所示的空間四邊形ABCD中，分別是邊的中點，求證：四邊形是平行四邊形。證明：在中，因為分別是的中點，所以由三角形的中位線定理可知且，同理，且因此，所以四邊形是平行四邊形。例2.已知E，E1分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.證明如圖，連接EE1.∵E1，E分別為A1D1，AD的中點，∴A1E1AE.∴A1E1EA為平行四邊形．∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B．∴四邊形E1EBB1是平行四邊形．∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC．又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB．【變式練習(xí)】已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明(1)如圖，連接AC，在△ACD中，∵M、N分別是CD、AD的中點，∴MN是三角形的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，且NM與A1C1方向相同，又∵ND∥A1D1，且ND與A1D1方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.例3.已知空間四邊形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC邊上的高，DF是△BCD中BC邊上的中線，求證：AE和DF是異面直線．證明證法一(反證法)：假設(shè)AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，設(shè)過AE、DF的平面為β，若E、F重合，則E為BC的中點，∴AB＝AC，與AB≠AC相矛盾．若E、F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF?β，∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，∴A、B、C、D四點共面，這與題設(shè)ABCD為空間四邊形矛盾，綜上可知，假設(shè)不成立，∴AE與DF為異面直線．證法二(定理法)：∵AB≠AC，AE⊥BC，F(xiàn)為BC的中點，∴E、F不重合，又A?平面BCD，E∈平面BCD，DF?平面BCD，E?DF，∴AE與DF為異面直線．【變式訓(xùn)練】若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l至少與l1，l2中的一條相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l與l1，l2都不相交答案：A∵l1與l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β