《定義與命題》第2課時(shí)示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)】

第七章平行線的證明2定義與命題第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.了解公理、定理和證明的概念，會(huì)區(qū)分定理、公理和命題.2.了解證明的表達(dá)格式，會(huì)按規(guī)定格式證明簡(jiǎn)單命題.3.初步感受公理化思想，并了解本套教科書所采用的基本事實(shí).4.閱讀有關(guān)《原本》和公理化的資料，感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理.難點(diǎn)：體會(huì)命題證明的必要性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境教師活動(dòng)：提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生回答問題，對(duì)于回答不完整的地方教師進(jìn)行補(bǔ)充．問題1：什么是定義？預(yù)設(shè)：對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義.問題2：表示判斷的句子都是，而不管判斷是否正確.正確的命題稱為，不正確的命題稱為.預(yù)設(shè)：命題；真命題；假命題問題3：命題的組成是什么？預(yù)設(shè)：每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).問題4：命題的形式是什么？預(yù)設(shè)：命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論.問題5：把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出命題的條件和結(jié)論.1.相等的角是對(duì)頂角；2.鈍角大于它的補(bǔ)角；3.兩直線平行，同位角相等.解：(1)如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角；(2)如果一個(gè)角是鈍角，那么這個(gè)角大于它的補(bǔ)角；(3)如果兩直線平行，那么同位角相等；思考并回答問題.學(xué)生思考并回答問題.回顧上節(jié)課的知識(shí)，為本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊.環(huán)節(jié)二探究新知【問題探究】提問：我們知道，舉一個(gè)反例就可以證明一個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？用以前學(xué)過的觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證特例等方法來證明可靠嗎？能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)呢？那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的？教師活動(dòng)：介紹收集到的有關(guān)《幾何原本》的知識(shí).古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，公元前300年前后)編寫了一本書，書名叫做《原本》(Elements).為了說明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù);其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理.教師強(qiáng)調(diào)：公理=基本事實(shí)；公理不需要證明.除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來證明.提問：定義、命題、基本事實(shí)(公理)、定理之間的區(qū)別與聯(lián)系：聯(lián)系：這四者都是命題．區(qū)別：定義、公理、定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)；只不過公理是最原始的依據(jù)，不需要再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的真命題；而命題不一定是真命題，因而不能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù).【做一做】1.下列句子中，定理是()，公理是()，定義是()A.若a=b，b=c，則a=cB.對(duì)頂角相等C.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等D.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形E.兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等答案：B，C，E；A；D.2.下列說法錯(cuò)誤的是()A.命題不一定是定理，定理一定是命題B.定理不可能是假命題C.真命題是定理D.如果真命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題就是定理答案：C我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的八條基本事實(shí)，可作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)！1.兩點(diǎn)確定一條直線.(直線公理)2.兩點(diǎn)之間線段最短.(線段公理)3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(即：同位角相等，兩直線平行).5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.教師強(qiáng)調(diào)：6~8條用于判定三角形的全等.此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).例如：(1)如果a=b，b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱為“等量代換”(2)如果a>b，b>c，那么a>c,這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù).從這些基本事實(shí)出發(fā)，就可以證明已經(jīng)探索過的結(jié)論了.比如下面這些定理.(1)同角(等角)的補(bǔ)角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.提示公理不用證明，定理是經(jīng)過證明所得，但不是所有的真命題都是定理.為了方便，在證明過程中可以用“∵”代替因?yàn)?，“∴”代替所以，分別讀作“因?yàn)椤薄八浴?學(xué)生自由說一說學(xué)生認(rèn)真聽講，并做筆記，明確原名、公理、證明、定理名稱的含義.在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié).學(xué)生思考，回答問題認(rèn)真思考并做筆記從歷史上證明真命題的故事，引入《幾何原本》的相關(guān)知識(shí)，感受數(shù)學(xué)文化魅力，滲透公理化思想.給出概念，直入主題，讓學(xué)生明白證明的概念，并且為后面書寫證明過程有個(gè)心理準(zhǔn)備.回顧所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)概念的理解，同時(shí)也讓學(xué)生明白如何區(qū)分公理、定理、定義和命題.增加學(xué)生對(duì)定理、公理、命題、定義的理解，并鍛煉學(xué)生有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.總結(jié)學(xué)生學(xué)過的基本事實(shí)，并以它們作為證明的出發(fā)點(diǎn)，初步構(gòu)建幾何證明的“公理化體系”，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖示語(yǔ)言）表達(dá)“八條基本事實(shí)”，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力.用學(xué)生學(xué)過的具體實(shí)例，感受代數(shù)的公理化思想.深刻理解公理的獨(dú)立性、完備性、和諧性.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.【例1】已知：如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角.求證：∠AOC=∠BOD.【分析】根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得答案．證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定義).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補(bǔ)角(補(bǔ)角的定義).∴∠AOC=∠BOD(同角的補(bǔ)角相等).由上面的例題，我們可以得到定理：定理對(duì)頂角相等.【例2】證明定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短證明結(jié)論．已知：如圖△ABC.求證：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.證明：∵AB是點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離，AC+BC是連接點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B的一條折線的長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得：AC+BC＞AB.同理可得：AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.∴三角形任意兩邊之和大于第三邊.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法.嚴(yán)格證明幾何定理“對(duì)頂角相等”，初步感受證明的思路和書寫過程.證明定理，感受證明的思路和書寫過程.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.判斷對(duì)錯(cuò)(1)所有的命題都是公理.(2)所有的真命題都是定理.(3)所有的定理是真命題.(4)所有的公理是真命題.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的出發(fā)，運(yùn)用、及已經(jīng)證明了的，通過一步步的，最后證明這個(gè)命題的結(jié)論成立.證明的每一步都必須要有.答案：條件；公理；定義；定理；推理；根據(jù).3.下列命題可以作為定理的有.①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)字也能被6整除；③5是方程號(hào)x+7=3x–3的根；④三角形內(nèi)角和是180°；⑤等式兩邊加上同一個(gè)數(shù)仍是等式.答案：④⑤4.在證明過程中可以作為推理根據(jù)的是()A.命題、定義、公理B.定理、定義、公理C.命題D.真命題答案：B5.下列說法錯(cuò)誤的是()A．命題是判斷一件事情的句子B．基本事實(shí)的正確性必須得到證明C．證明假命題舉一個(gè)反例即可D．推理的過程叫做證明答案：B6.已知：b∥c，a⊥b,求證：a⊥c．【分析】首先根據(jù)垂直定義可得∠1=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠1=90°，進(jìn)而得到a⊥c．證明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定義）.又b∥c（已知），∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定義）.7.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.求證∠2=∠3.【分析】根據(jù)余角的概念：和為90°的兩角互為余角可得答案．證明：∵∠2是∠1的余角(已知)，∴∠2+∠1=90°(余角的定義).∴∠2=90°–∠1(等式的性質(zhì)).又∵∠3是∠1的余角(己知)，∴∠3+∠1=90°(余角的定義).∴∠3=90°–∠1(等式的性質(zhì)).∴∠2=∠3(等量代換).自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課