微積分高等數(shù)學(xué)完整版

關(guān)于微積分高等數(shù)學(xué)完整版第一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.鄰域:第六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.第七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一5.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:第八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念第九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.第十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．第十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一(4)取最值函數(shù)yxoyxo第十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓第十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例2解故第十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:第二十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第二十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一xyo第二十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第二十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一奇函數(shù)yxox-x第二十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第二十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.四、反函數(shù)第二十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)第二十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題第二十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答設(shè)則故第二十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題第三十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第三十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第三十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第三十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)第三十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.指數(shù)函數(shù)第三十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.對數(shù)函數(shù)第三十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第三十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一余弦函數(shù)第三十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一正切函數(shù)第三十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一余切函數(shù)第四十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一正割函數(shù)第四十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一余割函數(shù)第四十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一5.反三角函數(shù)第四十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第四十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第四十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第四十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:第四十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第四十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例1解第四十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一綜上所述第五十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)第五十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一奇函數(shù),有界函數(shù),第五十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲函數(shù)常用公式第五十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第五十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第五十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一奇函數(shù),第五十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第五十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題第五十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答不能．第五十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、填空題:練習(xí)題第六十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第六十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第六十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第六十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第六十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——劉徽一、概念的引入第六十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第六十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”第六十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、數(shù)列的定義例如第六十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第六十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一播放三、數(shù)列的極限第七十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第七十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第七十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：第七十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一幾何解釋:其中第七十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：第七十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.第七十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例3證第七十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例4證第七十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界第七十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.第八十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.唯一性定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.第八十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).第八十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a第八十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.第八十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時，必有成立第八十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值第八十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為第八十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題第八十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽一、概念的引入第八十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第九十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第一百頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第一百零一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)列的極限第一百零二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百零三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百零四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第一百零五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百零六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.另兩種情形:第一百零七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.幾何解釋:第一百零八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例1證第一百零九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限第一百一十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百一十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.幾何解釋:注意：第一百一十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例2證例3證第一百一十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.第一百一十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例5證第一百一十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.單側(cè)極限:例如,第一百一十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一左極限右極限第一百一十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一左右極限存在但不相等,例6證第一百一十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性第一百一十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)第一百二十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理(保號性)推論第一百二十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第一百二十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一證第一百二十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第一百二十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例7證第一百二十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二者不相等,第一百二十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)第一百二十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后第一百二十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題第一百二十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第一百三十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、填空題:練習(xí)題第一百三十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百三十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第一百三十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百三十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百四十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百四十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第一百四十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百四十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.第一百四十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第一百四十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第一百四十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第一百四十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.第一百四十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第一百四十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第一百五十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第一百五十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第一百五十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一不是無窮大．無界，第一百五十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一證第一百五十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證第一百五十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.第一百五十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.第一百五十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題第一百五十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答不能保證.例有第一百五十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、填空題:練習(xí)題第一百六十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百六十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第一百六十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百六十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得第一百六十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百六十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，第一百六十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、求極限方法舉例例1解第一百六十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一小結(jié):第一百六十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2第一百六十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一解例3(消去零因子法)第一百七十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例4解(無窮小因子分出法)第一百七十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第一百七十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例5解先變形再求極限.第一百七十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例6解第一百七十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例7解左右極限存在且相等,第一百七十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、小結(jié)1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第一百七十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？第一百七十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．第一百七十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、填空題:練習(xí)題第一百七十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、求下列各極限:第一百八十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百八十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第一百八十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百八十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第一百八十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定義:第一百八十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例1解例2解第一百八十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,第一百八十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證第一百八十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意第一百八十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例4解解錯第一百九十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例5解第一百九十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.第一百九十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？第一百九十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答不能．例當(dāng)時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時第一百九十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題第一百九十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百九十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百九十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第一百九十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第一百九十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第二百頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第二百零一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.連續(xù)的定義第二百零二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第二百零三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例1證由定義2知第二百零四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.單側(cè)連續(xù)定理第二百零五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第二百零六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第二百零七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例3證第二百零八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、函數(shù)的間斷點第二百零九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一1.跳躍間斷點例4解第二百一十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一2.可去間斷點例5第二百一十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第二百一十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點第二百一十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一3.第二類間斷點例6解第二百一十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.第二百一十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★第二百一十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列間斷點類型:第二百一十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例8解第二百一十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)第二百一十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第二百二十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題第二百二十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一思考題解答且第二百二十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一但反之不成立.例但第二百二十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題第二百二十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第二百二十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第二百二十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第二百二十七頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一第二百二十八頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一一、四則運算的連續(xù)性定理1例如,第二百二十九頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第二百三十頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理3證第二百三十一頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一將上兩步合起來:第二百三十二頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解第二百三十三頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一例2解同理可得第二百三十四頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,第二百三十五頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★第二百三十六頁，共二百五十九頁，編輯于2023年，星期一定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其