高考數(shù)學(xué)玩轉(zhuǎn)壓軸題專題2與三角形相關(guān)的范圍問(wèn)題

專題2.2與三角形相關(guān)的范圍問(wèn)題一.方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問(wèn)題同樣是高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，要充分利用解三角形知識(shí)，正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、方程與不等式思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想求解.二.解題策略類型一結(jié)合基本不等式求解問(wèn)題【例1】在AABC中，若a2+b2=2c2，則角C的最大值為兀 兀 兀 2nA.-B.C.D.—6 4 3 3【答案】C..cosC= >..cosC= >laba+b是三角形內(nèi)角一，角C的最大值為二一故選C【指點(diǎn)迷津】本題考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，利用余弦定理表示出【指點(diǎn)迷津】本題考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式利用基本不等式變形求出cosC的最小值，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角，等式變形求出cosC的最小值，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角，求出C的最大值.【舉一反三】1、【2018天津市耀華中學(xué)模擬】在VABC中，如果邊ab, c滿足a<1(b+c),則/A()^2A.一定是銳角B.A.一定是銳角B.一定是鈍角C.一定是直角D.以上情況都有可能【答案】A【解析】已知不等式兩邊平方1得a2<a（【解析】已知不等式兩邊平方1得a2<a（b+c）2，利用余弦定理b2+c2一a2osA= 2bc, (b+cb2+c2———2bc3“2+c2)一2bc >6bc一2bc18bc8bcQ/A為三角形的內(nèi)角，??.0V/A<60。，即/A一定是銳角.故選A2、【2018江西省贛州市上高二中模擬】在2、【2018江西省贛州市上高二中模擬】在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c2sinC 2a-b9 —，若，n

tanB3且csinAsinB=-，則ab的最小值為【答案】4■也elf-uq“a2siuC2a—b,n ?2shic2siuA-sinB 2sinCbosB【解析】由條件知一;二「一』根據(jù)二角圖氮的正弦定理得到：一-=————=————tanj?b XsnBs.ih_d sim?故得到： 2siikl—sin^=2sinCcoaB ,又因?yàn)槿切沃衧iuA=sin(_B+C)、故得到,2sin￡'cosC=sin￡=?cosC=；.故得到角8?csinA^inB=-;由正弦定理得到4nJsinB=2=J^sinU,又因?yàn)?巴*_L=色匕訕。,得到2 2 2R2Rah=2cj根據(jù)余弦定理得到；c2=tr2+^—<ab>2ab-ah=ab?最終得到而“一故答案為4o3、【2018河南省漯河市高級(jí)中學(xué)模擬】在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知TOC\o"1-5"\h\z「B—C 1b+c=2，則a的取值范圍是b+c=2，則a的取值范圍是2 4【答案”"2)【解析】sin2+sinBsinC=得2cos(【解析】sin2+sinBsinC=得2cos(B-C)-4sinBsinC=1 +sinBsinC=一2 4/.2cos(B+C)=1，cosA=-cos(B+C)=-4，

2則cosA=則cosA=b2+c2-a22bc+c)2-2bc-a22bc(b+cA2得bc=4-a2<f=1，I2)解得a>J3，又a<b+c=2，?二a?二a的范圍是卜3,2)。類型二利用消元法求解問(wèn)題【例2】【2018重慶市第一中學(xué)模擬】在AABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若(2a-c)cosB=bcosC，b=6，則a+c的取值范圍是.【答案】(.;3,2<3]

【解析】二，(2a-c)GosB=bGasC、，由正弦定理得：(SsmA-siiiC)oosB^sniBcosC?.2smAcosB-siiiCcosB^EiEBcosC又sin(B+C)=?inAj.".2sinAcotB^?inBcosC+?>sBsnC=siii(B+C)=sinA,"如盤和，…七，因?yàn)閃小八卜因?yàn)樯系馗鶕?jù)正弦定理有——=―--=———= =2a=2siilJ.c=2siDC..a+。=2siil^+2siuCsiuJsinCsinB后=2siM+2si口3+/=3sinJ+蘇cosJ=2^勺口[/+石=2siM+2si口\'Q<A<——/.— \'Q<A<——/.— <——二sirA+—e\-.16JU-J所以0+匕三（32行］【指點(diǎn)迷津】利用正弦定理邊化角，利用角的關(guān)系消元，利用輔助角公式求范圍.【舉一反三】sinC1、在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2+b2+4*；2=c2，ab=4，則 tan2Asin2B的最小值是.2<2+4［答案］一--TOC\o"1-5"\h\za2+b2—c2-4<2 <2【解析】a2+b2+4<2=c2,【解析】a2+b2+4<2=c2,ab=4,2ab 2義4 2QC￡（0,冗）3兀 兀 一(兀、「.C———,B二一一A,sin2B-sin2一一A-cos2A4 4 14 )(-，tan2Asin2B-tan2Acos2A—3-2cos2A+V

<2 J2 一sin<2 J2 一sinC -23\；2+4 = > == tan2Asin2B tan2Acos2A 3一2弋2 2當(dāng)且僅當(dāng)2cos2A=1cos2A時(shí)成立.2、【2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬】圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作兩直線分別交圓于A,B兩點(diǎn)，且/APB=60o，則|PA|2+p^B2的取值范圍為.【答案】(3,6〕【解析】在nABP中，由正弦定理得：一竺 =一竺 =2r=2，設(shè)/PBA=0,0￡(0,120。)sin/PBAsin/PAB又/APB=60o，所以/PAB=120?！?PBA=120。一0,PA=2sin0,PB=2sin(120?！?).|PA|2+|PBI2=4sin2O+4sin2(120°-0)=3+2sin2O+2&sinBcosB=4+幣sin20一cos20=4+2sin20——I6)2 2—\ ― ― 7―\ A ?―A -0￡0，V，20—V￡一"Z，~Z~-4+2sin20——e(3,61.I 3) 6 I6 6) I6)答案為：(3,61.3.12018江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)模擬］在銳角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為【答案】25

1解析】如圖,不妨設(shè)CD=LAD=m,BD=n,/.taruV—』tanB=—p(m>0；n>03-八- …tanJ+tanfim+n..tanC=tan(A+B)= 1—iaiiA-tan51-wivtanC>Oa二超科1解析】如圖,不妨設(shè)CD=LAD=m,BD=n,/.taruV—』tanB=—p(m>0；n>03-八- …tanJ+tanfim+n..tanC=tan(A+B)= 1—iaiiA-tan51-wivtanC>Oa二超科<1c，n n「 「 ， 9/.9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=——+mnnJ1一mn9+(m+n)2>9+ 4mnmn(1一mn)mn(1-mn)=(+—)—)I-mn+(1-mn)]=9+4+mn1-mnL9(1—mn) 4mnmn (1-mn)J9(1-mn)4mn- =13+12=25mn (1-mn)當(dāng)且僅當(dāng) = ，即m=n=一時(shí)取等號(hào).mn (1-mn) 5類型三 與三角形的周長(zhǎng)有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】【河南省豫南豫北2018屆高三第二次聯(lián)考】已知銳角AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，其外接圓半徑為竽,b=2，則AABC的周長(zhǎng)的取值范圍是【答案】（2+2<3,6【解析】根據(jù)正弦定理得白=￡r肅岑;在銳角“SC中,故答案為卜+【解析】根據(jù)正弦定理得白=￡r肅岑;在銳角“SC中,故答案為卜+2瓦6]a+cC(3瓦4]_,一a-\-b+cC【指點(diǎn)迷津】在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；這類問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，從而求出范圍或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍，從而得最值【舉一反三】1、【2018四川省宜賓市模擬】在AABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=<3，那么AABC周長(zhǎng)的最大值是A./B.2出 C.3的 D.4指【答案】C【解析】eo￡2揖+女oM4+C）+2=0，二Teos曬一次038+1=0,解得eos￡=；或1（舍去）『則31aB二年，由正弦定理，二昌=三，貝"AABC周長(zhǎng)為2 5si&JsidCa+i+c=2sinji+JJ+2siuC=2sjnjf+2siii避十/十百二3日逾十指8量十指 =2君通（乂+2］十出，又0<乂<2,二*十2匕（2,二］蘭X十號(hào)=￥時(shí)，周長(zhǎng)取到最大值為3出，故選C.2、【2018廣西聯(lián)考】在AABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若bc=1,b+2ccosA=0,則當(dāng)角B取得最大值時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為（）A.2+色B.2+無(wú) C.3D.3+72【答案】Ab八【解析】在4ABC中，由正弦定理得：sinB+2sinCcosA=0?.?cosA=——<02c.'A為鈍角..?.cosAcosC豐0,由sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,可得tanA=-3tanC,tanO0,tanB=-tanA+tanCtanB=-tanA+tanC-1一2tanC) 21-tanAtanC1+3tan2C +3tanCtanCv二=亙2x/3 3TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)且僅當(dāng)tanC=當(dāng)時(shí)取等號(hào).???B取得最大值arctan 時(shí)，,一 兀 2兀；.c=b=1,C=B=一.A=—.6 3；?a=2X1*cos二八3..?.a+b+c=2+v3.故答案為:2+<3.6類型四與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題【例4】【2018湖北省襄陽(yáng)市四校聯(lián)考】在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若門一._^ ... _ _ -b-sinCcosA=sinAcosC,且a=2，則AABC的面積的最大值為 k2 )【答案】J2+1【解析】---(~sinC)cosjf=siiuicosC7—b-cosJ—而CtosJ=sin^cosC?二*8-皿SsC+Wd皿/+G=」'.1b＞■— 一1＞：■2sm￡由正弦定理得三二二,SindsinB.1a.12 .coslJ... CO媼= COSjI= =132sinJ2sinJsiM/.siiU=co^74=9，由余弦定理得^=b2+c2-鞏8m，之(2—G)加,當(dāng)且僅當(dāng)b=C時(shí)等號(hào)成立＜答案：五十1【指點(diǎn)迷津】本題綜合性較大，且突破了常規(guī)性，即在條件中只在等式的一邊給出了三角形的邊，所以在解題中b.一 ..要熟練地對(duì)所得中間結(jié)論的變形，如在本題中要在--—--cosA=1的基礎(chǔ)上在利用正弦定理得到sinA=cosA。sinB對(duì)于最值的處理往往要考慮到基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用不等式時(shí)，不要忘了基本不等的使用條件?！九e一反三】1、【2018山東省德州市模擬】在AABC中， a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a+c=4,b(2-cosA)=a(cosB+1)，則AABC面積的最大值為.

we面積的最大值為收。=Vl—2、AABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB，且b=2，則AABC面積的最大值是【答案】<2+we面積的最大值為收。=Vl—【解析】根據(jù)a-bcosC+csinB 由正弦定理可得，sinA=sinBcosC+sinCsinB,Qsin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，可得tanB=1,B=45。QAABC中,化簡(jiǎn)可得a2+c2—<2ac=4，Qa2+c2>2ac，,/.4=a2+c2一■<2ac>2由此可得ac< 4_=4+2v'2 ，當(dāng)且僅當(dāng)2—v,2a=cQAABC中,化簡(jiǎn)可得a2+c2—<2ac=4，Qa2+c2>2ac，,/.4=a2+c2一■<2ac>2由此可得ac< 4_=4+2v'2 ，當(dāng)且僅當(dāng)2—v,2a=c時(shí)等號(hào)成立/.AABC面積S=a.acsinB=2豆ac?豆(4+2綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，AABC面積S最大值為<2+1，故答案為丫2+1.3、如圖半圓O的半徑為1,P為直徑MN延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OP=2,R為半圓上任意一點(diǎn)，以PR為一邊作等邊三角形PQR等邊三角形PQR，則四邊形OPQR面積最大值為【答案】2+?【解析】設(shè)/茸=口，在WOK中r由余弦定理得:PS1=I1+23-2x=5-A-eosa；所以四邊形。尸旦直的面積為:TOC\o"1-5"\h\z打 1&=Z&=Z用役+Zpjtg=-OPORsim-F4 2=jjwcr—\13coscc+^^-=2sinCa——)+ ?"?CKCtr-ije?即上PO改二當(dāng)，時(shí)，四邊形?尸QJ?面積取得最大值|最大為2+羋6 4故答案為2+遞：.4類型五與三角形解的個(gè)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題【例5】在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A+C=2B,bsinA=6sinB，若符合條件的三角形有兩解，則b的取值范圍是【答案】《、；3,6)?！窘馕觥恳?yàn)锳+C=2B,A+B+C=n，所以B=-,又bsinA=6sinB，則ab=6b，則a=6,由asinB<b<a，所以3<3<b<6,【指點(diǎn)迷津】本題主要考查了三角形問(wèn)題的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，試題比較基礎(chǔ)屬于基礎(chǔ)題，解答中熟記三角形的正弦定理的邊角互化和合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵.10【舉一反三】1、【2018山東省濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=300,b=2,如果這樣的三角形有且只有一個(gè)，則〃的取值范圍為【答案】a=1或a>2【解析】試題分析：由題意得，在AABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，由A=300,b=2，所以bsinA=1,所以當(dāng)a>b=2或a=1時(shí)，此時(shí)滿足條件的三角形只有一個(gè).2、已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，已知/A=600,a=<3,b=%，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則工的取值范圍是【答案】（昆2）【解析】心瓦。分別為"fC的三個(gè)內(nèi)角￡瓦仃的對(duì)邊,當(dāng)口三（加加工動(dòng)時(shí),滿足條件的三角形有兩個(gè)所以,鄧1前6。°〈白〈尤』解得出答案為:（瓜斗三.強(qiáng)化訓(xùn)練1.在AABC中，C咤,在邊AC上存在一點(diǎn)D,滿足AD=DB,作DE1AB,E為垂足，若A為AABC一一DE,的最小內(nèi)角，則后的取值范圍是BC【答案】112.12018江蘇省常州市武進(jìn)模擬】AABC中，若tanA、tanB、tanC依次成等比數(shù)列，則/B的取值范圍為【答案】三3.2)【解析】由已知得tan2B=tanAtanC，則tanA>0,tanC>0「tanA+tanCtanA+tanCtanB=- = 1-tanAtanC tan2B-1tan3B-tanB=tanA+tanC>2,；tanAtanC=2tanB即tan3B>3tanBtan2B>3,tanB><3??.B的取值范圍是一，兀故答案為-123.已知'J分別為內(nèi)角3,'的對(duì)邊，???，??????；：??…成等比數(shù)列，當(dāng)。?取最大值時(shí)，則F八7H■■的值為【答案】【解析】.sinA,sinB.sinC成等比數(shù)列？/.sin11?二siivlsuiC^由正弦定理得浜=皿口由余弦定理得C0sB=舍=胃干之好=；,當(dāng)且僅當(dāng)。二￡時(shí)等號(hào)成立口又口<B<JTo，口<H占,故B的最大值為》此時(shí)用=e?=,\'^nA+sinC=2血;二事。答案：73。4.12018河南省豫北豫南名聯(lián)考】在AABC中，若sin（2A+B）=2sinB，則tanB的最大值為<3【答案】七【解析】 Qsin2AcosB+cos2AsinB=2sinB ， .\sinB(2—cos2A)=sin2AcosB ，c sin2A sin2AcosA 2tanAtanB=- --=- -= ,Q若tanA<0，則tanB<0,A,B均為鈍角，不可能，故2-cos2A3sin2A+cos2A3tanA2+1tanA>0,—tanB— -—---^―，tanB的最大值為—^―，故答案為—.3tanA2+1 3 3 35、已知平面四邊形ABCD是由VABC與等腰直角VACD拼接而成，其中ZACD=90。，AC=CD，AB=(BC=1，則當(dāng)點(diǎn)B到點(diǎn)D的距離最大時(shí)，角B的大小為.13

―「.八5￥(5 。所以―「.八5￥(5 。所以BD2=^sinO+第J+［至-cosO2810sinO-WcosO=28+噌sin<3 3 <3八兀、0-4J3兀， 3兀所以當(dāng)0二彳時(shí)，BD最大，即角B的大小為彳。6.12018河北省衡水第一中學(xué)模擬】在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2ccosB=2a+b，若^ABC一 J’3的面積為s=-c，則c的最小值為【答案】31,2_鏟1,2_鏟【解析】勃83+8；2zr =2a+^a2+c1—i?1=2o2+ab｝措+環(huán)一儲(chǔ)二—ab,8&C=0 ——=——?C=12臚1S*=—absinC= ab=c?貝||原二匕？2ab2 2 4 4+ 2zi￡fcos.l20fl=zz1+A2+ >lab+ab=3ab=3c：則『之女：e23M當(dāng)且僅當(dāng)日=8時(shí)取等號(hào)n則。的最小值為3.147、【2018江西省南城縣第一中學(xué)模擬】在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足」

cos2B+—」

cos2B+—sin2B=1，uuuvuuv若BC+AB=3，16b則——的最小值為ac【答案】2uuivAC=3b2=a2+c2-2accosuuivAC=3b2=a2+c2-2accosBna2+c2一%2ac=9>2ac一<2acnac<因此acac916b4848 =——>—x16316b即——的最小值為9163ac1 ?！窘馕觥坑蒫os2B+一sin2B=1得sinBcosB=sin2B:.tanB=1,B=—2 4uuuuuvBC+AB=38.12018云南省師范大學(xué)附屬中模擬】在AABC中，D為AC上一點(diǎn)，且AD=2，DC=1，BD為ZABC的角平分線，則AABC面積的最大值為【答案】3［解析］如圖，由于RD為乙SC的角平分編且3=2,CT=1,［解析］如圖，由于RD為乙SC的角平分編且3=2,CT=1,由角平分線定理知:在"。中，由余弦定理知!15當(dāng)且僅當(dāng)9.已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=2,且(2+b9.已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，AABC面積的最大值為A.行B.2C.2<2D.2v3【答案】A【解析】由正弦定理得：(2+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-bc=4,由余弦定理得：TOC\o"1-5"\h\z,b2+c2-4 bc1 冗cosA= = =—,/.A=—，又b2+c2-bc=4>2bc-bc=bc,/.bc<4當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)2bc 2bc2 3取等號(hào),此時(shí)AABC為正三角形,則^ABC的面積的最大值為S=1bcsinA=1義4義―=J3,故選A.