階線性偏微分方程分類

階線性偏微分方程分類第一頁，共32頁。一、兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型

兩個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式(2.1.1)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

引入下面二階常系數(shù)線性偏微分算子則(2.1.1)可簡單地表示為第二頁，共32頁。1兩個自變量方程的化簡一般形式：

（）

則在非奇異變換下方程（）變?yōu)?/p>

（）Jacobi行列式目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異第三頁，共32頁。復(fù)合求導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程第四頁，共32頁。系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）數(shù)學(xué)物理方程第五頁，共32頁。其他系數(shù)之間的關(guān)系（3*）數(shù)學(xué)物理方程第六頁，共32頁。

（）可以看出，如果取一階偏微分方程（）

的一個特解作為則第七頁，共32頁。從而A11=0。如果?。ǎ┑牧硪粋€特解為

則A22=0，這樣方程（）就可以簡化。一階偏微分方程（）的求解可以轉(zhuǎn)化為常微分方程的求解，將（）改寫成：如果將看作定義隱函數(shù)

的方程，則從而有：

（）

第八頁，共32頁。假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（）（）的一般積分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（）的解，只須求出常微分方程（）的一般積分。數(shù)學(xué)物理方程第九頁，共32頁。定義稱常微分方程（）為PDE（）的特征方程。稱（）的積分曲線為PDE（）的特征曲線。（）數(shù)學(xué)物理方程（）（）的解為：第十頁，共32頁。和

當(dāng)二階線性偏微分方程為雙曲型方程當(dāng)二階線性偏微分方程為拋物型方程當(dāng)二階線性偏微分方程為橢圓型方程記第十一頁，共32頁。當(dāng)時）式給出一族實(shí)的特征曲線取則，這時方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

（）右端為兩相異的實(shí)函數(shù)雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型PDE第十二頁，共32頁。拋物型PDE由此得到一般積分為由此令其中,為獨(dú)立的任意函數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程取與

函數(shù)無關(guān)的

作為另一個新的變量第十三頁，共32頁。由于由此推出數(shù)學(xué)物理方程第十四頁，共32頁。因此，方程（）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型而數(shù)學(xué)物理方程第十五頁，共32頁。當(dāng)時）式各給出一族復(fù)特征線，在該變換下：且方程化為：令

則有：（）橢圓型PDE右端為兩相異的復(fù)數(shù)第十六頁，共32頁?！?-1二階線性偏微分方程的分類由前面的討論可知，方程(2.1.1)通過自變量的可逆變換化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決定于它的主部系數(shù)。若方程(2.1.1)的主部系數(shù)在區(qū)域Ω中某一點(diǎn)(x0，y0)滿足則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的；在鄰域；在Ω中則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是橢圓型的。則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是拋物型的;相應(yīng)地，(2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)這三個方程分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型(二階線性)偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。2方程的分類第十七頁，共32頁。如果方程在所討論的區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都是雙曲型（拋物型或橢圓型），則稱方程在區(qū)域內(nèi)也是雙曲型（拋物型或橢圓型）。

標(biāo)準(zhǔn)形式弦振動方程（雙曲型）描述波的傳播現(xiàn)象，特性：對時間可逆；一維熱傳導(dǎo)方程（拋物型）反映熱的傳導(dǎo)、物質(zhì)的擴(kuò)散等不可逆現(xiàn)象；調(diào)和方程（橢圓型）描述平衡或定常狀態(tài)；第十八頁，共32頁。討論Tricomi方程的類型例1

設(shè)解

判別式由此可得：在上半平面Tricomi方程為橢圓型，下半平面Tricomi方程為雙曲型,而在x軸上Tricomi方程為拋物型.第十九頁，共32頁。例2：判斷下面偏微分方程的類型并化簡

解：∵故

故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程或故有

或取新變量則第二十頁，共32頁。，代入原方程得：即：第二十一頁，共32頁。對常系數(shù)二階PDE可進(jìn)一步化簡，消掉一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)令

代入上述方程得：?。旱诙?，共32頁。例題3：把方程分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式§5-1二階線性偏微分方程的分類解：該方程的故該方程是拋物型的。特征方程：從而得到方程的一族特征線為：作自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無關(guān),所以η宜取最簡單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)于是，原方程化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：特征的解：第二十三頁，共32頁。例題4：判斷下面偏微分方程的類型并化簡解：特征方程特征方程的解：特征線：令：雙曲型方程第二十四頁，共32頁。例題5：求初值問題的解解：特征方程特征方程的解：特征線：令：雙曲型方程方程化為依次對兩個變量進(jìn)行兩次積分，得通解為第二十五頁，共32頁。由初始條件得求出從而原方程的解為第二十六頁，共32頁。例6：判定下列二階方程的類型（1）（2）（3）例7：補(bǔ)充例題第二十七頁，共32頁。2.2、多個自變量的二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型

n個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式(2.2.1)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

記（）中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)所構(gòu)成的n階矩陣為第二十八頁，共32頁。通過合同變換，有其中，矩陣B可逆，正慣性指標(biāo)p：含1的個數(shù)負(fù)慣性指標(biāo)q：含-1的個數(shù)第二十九頁，共32頁。PDE(2.2.1)超雙曲型的

PDE(2.2.1)雙曲型的

PDE(2.2.1)超拋物型的

PDE(2.2.1)拋物型