受迫振動(dòng)中振幅和頻率的討論

關(guān)于受迫振動(dòng)中振幅和頻率的討論第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日關(guān)于受迫振動(dòng)的微分方程振子的受力情況：回復(fù)力、阻力、策動(dòng)力回復(fù)力：阻力：第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日策動(dòng)力的討論一般情況下策動(dòng)力需要周期性變化，因此，我們可以用弦類函數(shù)去表示策動(dòng)力同時(shí)策動(dòng)力一般是有穩(wěn)定的最大值我們看到在受迫振動(dòng)中，策動(dòng)力成為振子運(yùn)動(dòng)的主要因素。所以策動(dòng)力的方向應(yīng)該與位移方向相同。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾處要點(diǎn)使用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)疊加，是為了使策動(dòng)力能取到不同的相位。余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期相同，是為了使策動(dòng)力的最大值在任意一個(gè)周期內(nèi)都為一個(gè)定值。在余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期一致的情況下，策動(dòng)力可以使用輔助角公式變?yōu)橐粋€(gè)弦類函數(shù)。第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日微分方程這是一個(gè)二階非齊次線性常系數(shù)微分方程第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們做參數(shù)替換方程變?yōu)橐韵滦问降诹?yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)應(yīng)的齊次方程為設(shè)方程的一個(gè)解為：代入齊次方程第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日這就是這個(gè)二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征方程。我們用一元二次方程的求根公式求解方程。第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日討論根的情況但是，上述兩個(gè)解都不含有任意常數(shù)，所以它們都不是方程的通解。我們可以利用常數(shù)變易法去討論在上述方程的解中γ，ω，1均為常數(shù)，但是前兩者由方程給定，只有“1”是我們的假設(shè)。第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以，我們可以把“1”，變?yōu)橐粋€(gè)與自變量t有關(guān)的變常數(shù)C(t).第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)方程進(jìn)行整理，可以得到：第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日γ+λ≠0時(shí)，使用積分因子法對(duì)方程進(jìn)行處理第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日兩邊積分，得到：再次積分，得到：第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日代入C(t),得：第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日可以看到：第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日可以看到，兩者是等價(jià)的

因此，解可以合并為：同時(shí)，γ與ω的大小關(guān)系也會(huì)對(duì)方程的形式產(chǎn)生影響第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日經(jīng)過(guò)整理，可得：第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日進(jìn)行兩次積分，得到：以上為齊次方程的通解情況第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日接下來(lái)我們求非齊次方程的特解：第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)解的疊加原理，待求的非齊次方程的通解，為下列兩個(gè)非齊次方程的通解之和。第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日利用待定系數(shù)法求解兩個(gè)微分方程第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日顯然我們可以看到：第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日同理，我們對(duì)方程：第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日得到方程組：第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日這就是非齊次方程的特解。第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日非齊次方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上一個(gè)非齊次方程的特解。第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日此時(shí)即為穩(wěn)態(tài)的受迫振動(dòng)我們看到，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的角頻率為策動(dòng)力的角頻率利用輔助角公式可以求得振幅第四十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日可以看到，當(dāng)Ω=