2019版數(shù)學(xué)（文）大一輪優(yōu)選講義：第45講橢圓 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第45講橢圓考綱要求考情分析命題趨勢1。掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)．2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用，了解橢圓的實際背景．3．理解數(shù)形結(jié)合的思想。2017·全國卷Ⅱ，202016·全國卷Ⅲ，112016·天津卷，201.求解與橢圓定義有關(guān)的問題；利用橢圓的定義求軌跡方程；求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；判斷橢圓焦點的位置．2．求解與橢圓的范圍、對稱性有關(guān)的問題；求解橢圓的離心率；求解與橢圓的焦點三角形有關(guān)的問題。分值:5～12分1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))）的點的軌跡叫做?。。?__橢圓__＃＃#＃.這兩個定點叫做橢圓的！!??！__焦點__＃＃＃＃,兩焦點間的距離叫做橢圓的?。。?！__焦距__##＃＃.集合P＝｛M｜eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（MF1））＋eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（MF2）)＝2a｝，eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(F1F2)）＝2c，其中a〉0，c〉0,且a，c為常數(shù)．(1）若！!?。_a＞c__#＃＃＃，則集合P為橢圓；(2)若！!??！__a＝c__##＃#，則集合P為線段；（3)若!?。?！__a＜c__＃#＃＃，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2）＝1（a＞b＞0）圖形性質(zhì)范圍!!！!__－a__＃###≤x≤??！!!__a__＃＃##，??！!！__－b__＃＃＃?！躽≤！!??！__b__＃##＃!！!！__－b__＃#＃#≤x≤?。。?！__b__＃＃##，！!??！__－a__＃＃＃?！躽≤！?。?！__a__####對稱性對稱軸:！!??！__坐標(biāo)軸__＃＃＃＃，對稱中心:!!!！__(0,0)__####頂點A1!?。?！__(－a，0)__####，A2！?。?！__(a,0）__＃＃＃＃，B1?。。?！__(0，－b）__#＃＃#,B2?。。?！__(0，b）__#＃＃#A1??！!!__(0，－a)__#＃##，A2！!??！__(0,a）__####，B1?。?！!__(－b,0）__###＃，B2!！??！__（b,0)__＃###軸長軸A1A2的長為?。?！!__2a__短軸B1B2的長為??！!！__2b__＃＃＃#焦距eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(F1F2))＝?。?！!__2c__#＃##離心率e＝??！!！eq\f（c,a）#＃＃＃，e∈?。。?！__(0，1）__##＃＃a，b，c的關(guān)系c2＝??！!！__a2－b2__##＃＃1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“”）．（1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．（×）（2）橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c（其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(（3）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×）(4）橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形．（√)解析（1)錯誤．由橢圓的定義知,當(dāng)該常數(shù)大于eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（F1F2))時,其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（F1F2)）時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（F1F2））時，不存在圖形．（2）正確．由橢圓的定義,得eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)）＋eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2)）＝2a,又eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(F1F2））＝2c,所以eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF1）)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2））＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（F1F2）)＝2a＋2c。（3）錯誤．因為e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r(a2－b2）,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(b,a）））2)，所以e越大，則eq\f（b,a）越小，橢圓就越扁．(4）正確．由橢圓的對稱性知,其關(guān)于原點中心對稱也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱．2．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，9）＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2）)＝（C)A．4 B．8 C．6 D．解析由定義知eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF1)）＋eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF2））＝2a＝6.3．若方程eq\f（x2,5－m）＋eq\f（y2，m＋3）＝1表示橢圓，則m的范圍是（C）A．（－3,5) B．（－5，3)C．（－3,1）∪(1,5) D．（－5，1）∪(1,3)解析由方程表示橢圓知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m＞0,，m＋3＞0，,5－m≠m＋3，)）解得－3＜m＜5且m≠1。4．(2018·廣東惠州二調(diào))設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9）＋eq\f(y2,5）＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上,則eq\f（｜PF2｜,|PF1|）的值為(D)A．eq\f（5，14) B．eq\f（5，9) C．eq\f（4,9） D．eq\f(5，13)解析如圖，設(shè)線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以O(shè)M∥PF2,可得PF2⊥x軸，｜PF2｜＝eq\f(b2，a）＝eq\f(5，3），｜PF1|＝2a－|PF2｜＝eq\f(13，3）,eq\f(|PF2|，|PF1|）＝eq\f（5,13)。故選D．5．已知F1,F2是橢圓C的左、右焦點,點P在橢圓上,且滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1））＝2eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF2）），∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為?。?！!__eq\f(\r(3），3)__＃#＃＃.解析在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝eq\f（π,2）。設(shè)eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF2））＝1，則eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF1）)＝2,eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(F2F1）)＝eq\r（3),所以離心率e＝eq\f(2c,2a）＝eq\f（\r(3),3）.一橢圓的定義及應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面:一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF1）)·eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF2))，通過整體代入可求其面積等．【例1】（1）如圖所示,一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(A）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓（2)已知F1,F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b>0）的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且eq\o（PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2，\s\up6（→）).若△PF1F2的面積為9,則b＝?。?!__3__＃＃##。解析（1)由折疊過程可知點M與點F關(guān)于直線CD對稱，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PM）)＝eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF)),所以eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(PO））＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF)）＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PO）)＋eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PM)）＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（OM)）＝r，由橢圓的定義可知，點P的軌跡為橢圓．（2）設(shè)eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF1))＝r1，eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2）)＝r2，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（r1＋r2＝2a，，r\o\al(2,1）＋r\o\al（2,2）＝4c2,))∴2r1r2＝（r1＋r2）2－(req\o\al（2,1)＋req\o\al（2，2）)＝4a2－4c2＝4b2.又∵S△PF1F2＝eq\f(1,2）r1r2＝b2＝9,∴b＝3。二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形,再定量，即首先確定焦點所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1（m>0,n>0，m≠n)的形式．【例2】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過點（eq\r(3),－eq\r(5)），且與橢圓eq\f（y2，25）＋eq\f(x2,9）＝1有相同的焦點；（2）已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點；（3)經(jīng)過兩點eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2），\f（5,2）))，(eq\r(3），eq\r（5)）．解析(1）橢圓eq\f（y2,25)＋eq\f(x2,9）＝1的焦點為（0，－4），(0，4），即c＝4。由橢圓的定義知,2a＝eq\r（\r(3）－02＋－\r(5）＋42）＋eq\r(\r（3)－02＋－\r（5）－42），解得a＝2eq\r（5）.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,20）＋eq\f(x2,4)＝1。(2）由于焦點的位置不確定,∴設(shè)所求的橢圓方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0）或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2，b2)＝1（a＞b＞0）．由已知條件得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，，2c2＝52－32,））解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故橢圓方程為eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,12)＝1或eq\f（y2，16）＋eq\f（x2,12）＝1.（3)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m,n＞0，m≠n）,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2）)）2m＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5,2)）)2n＝1,,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f（1，6)，n＝eq\f(1,10）.∴橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2，6）＝1。三橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的方法（1）直接求出a，c,從而求解e,通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a,c的齊次式，解出e，由已知條件得出a，c的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3）通過特殊值或特殊位置，求出離心率．【例3】(1）橢圓C：eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A，B是C上兩點,eq\o（AF1,\s\up6（→）)＝3eq\o(F1B，\s\up6(→）)，∠BAF2＝90°，則橢圓C的離心率為(D）A．eq\f（1,2） B．eq\f(3,4） C．eq\f(\r(3）,2) D．eq\f（\r(2），2)(2）已知F1(－c，0）,F2（c,0)為橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1的兩個焦點，P在橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1上，且滿足eq\o（PF1,\s\up6(→)）·eq\o（PF2,\s\up6(→））＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,3），1)) B．eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)，\f(1,2））） C．eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3)，\f（\r(2)，2））） D．eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2)，2))）解析(1)由條件eq\o（AF1,\s\up6（→））＝3eq\o(F1B,\s\up6(→））,設(shè)|eq\o(F1B,\s\up6(→))|＝x，則|eq\o(AF1，\s\up6(→）)|＝3x。在△ABF2中，有(4x）2＋（2a－3x）2＝（2a－x)2，整理得x（3x－a）＝0，即3x＝a，x＝eq\f(a,3），在Rt△AF1F2中，有eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(F1F2)）＝2c，（3x)2＋(2a－3x)2＝4c2。將x＝eq\f（a,3）代入,得a2＋（2a－a)2＝4c2，解得eq\f(c2，a2）＝eq\f（1，2)，即e＝eq\f(\r（2）,2)。(2)由橢圓的定義得eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF1)）＋eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF2)）＝2a,平方得eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)）2＋eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2）)2＋2eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF1)）·eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2))＝4a2。①又∵eq\o（PF1，\s\up6(→))·eq\o（PF2，\s\up6(→）)＝c2,∴eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF1)）·eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2)）cos∠F1PF2＝c2。②由余弦定理得eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF1）)2＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF2）)2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1)）·eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF2))·cos∠F1PF2＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(F1F2）)2＝4c2.③由①②③,得cos∠F1PF2＝eq\f(c2,2a2－3c2）。又∵0＜cos∠F1PF2≤1，∴e≤eq\f(\r(2),2).∵eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF1）)·eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2）)≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF1））＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)），2))）2＝a2，∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥eq\f（\r(3），3）,則此橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(\r（3),3)，\f(\r（2）,2）)).故選C．四直線與橢圓的綜合問題直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略（1）求直線方程．可依題設(shè)條件，尋找確定該直線的兩個條件，進(jìn)而得到直線方程．（2）求面積．先確定圖形的形狀,再利用條件尋找確定面積的條件,進(jìn)而得出面積的值．（3）判斷圖形的形狀．可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系．（4）弦長問題．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解．(5）中點弦或弦的中點．一般利用點差法求解，注意判斷直線與橢圓是否相交．【例4】（2017·全國卷Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C：eq\f（x2，2）＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足eq\o（NP,\s\up6（→）)＝eq\r(2)eq\o（NM,\s\up6（→））。(1）求點P的軌跡方程;（2)設(shè)點Q在直線x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up6（→)）·eq\o(PQ，\s\up6(→)）＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.解析(1）設(shè)P（x，y)，M（x0，y0），則N(x0,0),eq\o(NP，\s\up6(→)）＝（x－x0，y）,eq\o(NM，\s\up6(→))＝（0，y0）．由eq\o（NP，\s\up6（→）)＝eq\r(2）eq\o(NM,\s\up6（→)）,得x0＝x,y0＝eq\f(\r(2），2)y.因為M（x0，y0)在C上，所以eq\f(x2，2)＋eq\f（y2，2）＝1。因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.(2)由題意知F(－1，0)．設(shè)Q(－3，t），P（m，n）,則eq\o(OQ，\s\up6(→)）＝(－3，t)，eq\o（PF,\s\up6（→）)＝(－1－m，－n），eq\o(OQ，\s\up6(→)）·eq\o(PF,\s\up6（→））＝3＋3m－tn，eq\o(OP,\s\up6（→))＝(m，n）,eq\o(PQ，\s\up6(→)）＝（－3－m,t－n），由eq\o(OP，\s\up6(→))·eq\o（PQ，\s\up6(→））＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由（1）知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。所以eq\o（OQ,\s\up6（→））·eq\o（PF,\s\up6（→)）＝0，即eq\o(OQ，\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6（→)），又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.【例5】已知橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b〉0）的一個頂點為B（0,4)，離心率e＝eq\f(\r(5)，5），直線l交橢圓于M，N兩點．（1）若直線l的方程為y＝x－4，求弦|MN｜的長；（2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式．解析(1）由已知得b＝4,且eq\f(c,a）＝eq\f(\r（5）,5)，即eq\f(c2，a2)＝eq\f(1，5），∴eq\f（a2－b2,a2）＝eq\f（1，5)，解得a2＝20,∴橢圓方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2，16)＝1.將4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0,x2＝eq\f（40,9）,∴所求弦長|MN|＝eq\r（1＋12）|x2－x1｜＝eq\f(40\r(2)，9）.（2)橢圓右焦點F的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)線段MN的中點為Q（x0,y0)，由三角形重心的性質(zhì)知Beq\o(F，\s\up6（→））＝2Feq\o(Q,\s\up6(→)),又B(0，4），∴(2,－4)＝2(x0－2，y0）,故得x0＝3,y0＝－2，即Q的坐標(biāo)為（3，－2）．設(shè)M(x1，y1）,N(x2，y2),則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且eq\f(x\o\al（2,1），20）＋eq\f（y\o\al（2，1),16)＝1，eq\f（x\o\al（2,2)，20)＋eq\f(y\o\al(2,2），16）＝1，以上兩式相減得eq\f（x1＋x2x1－x2,20）＋eq\f(y1＋y2y1－y2,16)＝0，∴kMN＝eq\f（y1－y2，x1－x2）＝－eq\f（4，5）·eq\f（x1＋x2，y1＋y2)＝－eq\f（4，5)×eq\f（6,－4）＝eq\f(6,5)，故直線MN的方程為y＋2＝eq\f（6,5）（x－3）,即6x－5y－28＝0.1．（2017·浙江卷)橢圓eq\f（x2，9）＋eq\f（y2，4)＝1的離心率是（B）A．eq\f(\r(13）,3） B．eq\f(\r（5），3) C．eq\f（2，3) D．eq\f（5，9)解析根據(jù)題意知a＝3，b＝2，則c＝eq\r(a2－b2）＝eq\r（5），∴橢圓的離心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r（5)，3）.故選B．2．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切,則C的離心率為(A)A．eq\f（\r（6)，3) B．eq\f（\r(3)，3) C．eq\f(\r(2），3） D．eq\f(1,3)解析以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點O（0，0）,半徑為a，由題意，圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為eq\f（2ab，\r（a2＋b2）)＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－eq\f（b2，a2)＝eq\f(2,3），所以e＝eq\f（\r（6)，3)。故選A．3．（2017·全國卷Ⅰ）設(shè)A，B是橢圓C：eq\f（x2,3）＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°,則m的取值范圍是（A)A．（0，1］∪［9,＋∞) B．(0,eq\r（3)]∪［9,＋∞）C．(0,1］∪[4，＋∞） D．（0，eq\r（3)］∪[4，＋∞）解析依題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3）,\r（m））≥tan\f(∠AMB，2），，0〈m〈3）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（\r（m），\r(3）)≥tan\f(∠AMB,2），，m〉3，))所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,\r（m）)≥tan60°,,0〈m<3））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（\r(m），\r(3）)≥tan60°，,m〉3，）)解得0〈m≤1或m≥9.故選A．4．已知點M(eq\r(6），eq\r(2)）在橢圓C:eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a＞b＞0）上，且橢圓的離心率為eq\f（\r（6)，3）.(1）求橢圓C的方程;(2）若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3，2），求△PAB的面積．解析(1）由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（6,a2）＋\f（2,b2）＝1，,\f(c,a）＝\f(\r（6),3），,a2＝b2＋c2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝12,,b2＝4.））故橢圓C的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f（y2,4）＝1.（2）設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A（x1，y1)，B(x2，y2）,AB的中點為D(x0，y0)．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，，\f（x2，12）＋\f（y2，4)＝1,））消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，則x0＝eq\f（x1＋x2，2）＝－eq\f（3,4）m,y0＝x0＋m＝eq\f(1，4)m，即Deq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)m，\f(1,4）m））,因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝eq\f(2－\f(m，4），－3＋\f(3m，4））＝－1，解得m＝2.此時x1＋x2＝－3，x1x2＝0,則｜AB|＝eq\r(2)｜x1－x2|＝eq\r（2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2）＝3eq\r(2)，又點P到直線l:x－y＋2＝0的距離為d＝eq\f(3,\r(2）），所以△PAB的面積S＝eq\f（1,2)|AB|·d＝eq\f（9，2）。易錯點忽略橢圓中x，y的取值范圍錯因分析:忽略了橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0)上的點P(x，y）的坐標(biāo)滿足－a≤x≤a,－b≤y≤b這一條件．【例1】設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e＝eq\f（\r(3），2)，已知點Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(3,2)))到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是eq\r(7），求這個橢圓的方程．解析依題意，可設(shè)橢圓方程為eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a＞b＞0)，則e2＝eq\f(c2，a2）＝eq\f（a2－b2,a2）＝1－eq\f（b2,a2)＝eq\f（3，4），所以eq\f（b2,a2）＝eq\f（1,4)，即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d,則d2＝x2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（3，2）))2＝a2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（y2，b2))）＋y2－3y＋eq\f(9,4）＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f（1,2）））2＋4b2＋3.由于點（x，y)在橢圓上，所以有－b≤y≤b，若b＜eq\f（1,2),則當(dāng)y＝－b時，d2有最大值，于是(eq\r(7）)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3，2)）)2，從而解得b＝eq\r（7)－eq\f（3,2）＞eq\f（1，2）,與b＜eq\f（1,2)矛盾，所以必有b≥eq\f（1,2），此時當(dāng)y＝－eq\f（1，2)時，d2有最大值，所以4b2＋3＝（eq\r（7）)2,解得b2＝1,a2＝4，所以所求橢圓的方程為eq\f（x2，4)＋y2＝1?！靖櫽?xùn)練1】若點O和點F分別為橢圓eq\f（x2，4)＋eq\f(y2，3）＝1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP，\s\up6(→)）·eq\o（FP,\s\up6(→))的最大值為（C）A．2 B．3 C．6 D．解析由橢圓eq\f(x2，4)＋eq\f（y2,3)＝1，可得點F(－1,0），點O（0,0）,設(shè)P（x，y），其中－2≤x≤2，則eq\o（OP，\s\up6(→))·eq\o（FP,\s\up6(→））＝（x，y)·(x＋1,y)＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(x2，4))）＝eq\f（1，4）x2＋x＋3＝eq\f（1，4）(x＋2)2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，eq\o(OP,\s\up6(→）)·eq\o(FP,\s\up6（→))取得最大值6.課時達(dá)標(biāo)第45講［解密考綱]對橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的考查，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．已知焦點在y軸上的橢圓eq\f（x2,10）＋eq\f（y2,m）＝1的長軸長為8，則m＝（C）A．4 B．8 C．16 D．解析橢圓的焦點在y軸上，則m＝a2。由長軸長2a＝8得a＝4，所以m＝16.故選C2．橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上,離心率等于eq\f（1,2)，且它的一個頂點為(0，2eq\r（3）），則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（D）A．eq\f（x2，4)＋eq\f（y2,2）＝1 B．eq\f（x2,4）＋eq\f（y2，3)＝1 C．eq\f(x2,12）＋eq\f(y2,9）＝1 D．eq\f（x2，16)＋eq\f(y2,12）＝1解析根據(jù)題意，可知b＝2eq\r（3），結(jié)合離心率等于eq\f(1,2),可知a2＝16，所以橢圓方程為eq\f（x2,16）＋eq\f（y2,12）＝1.故選D．3．已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f（x2，3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(C）A．2eq\r（3) B．6 C．4eq\r（3） D．12解析如圖,設(shè)橢圓的另外一個焦點為F，則△ABC的周長為｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝（｜AB｜＋｜BF|）＋(|AC|＋｜CF|)＝4a＝4eq\r（3）。4．已知橢圓eq\f（x2，9）＋eq\f(y2，4－k)＝1的離心率為eq\f（4，5），則k的值為（D）A．－21 B．21 C．－eq\f(19，25)或21 D．eq\f（19,25)或－21解析當(dāng)9>4－k>0，即4>k>－5時，a＝3，c2＝9－（4－k）＝5＋k，∴eq\f（\r（5＋k),3)＝eq\f(4，5），解得k＝eq\f(19,25)。當(dāng)9〈4－k，即k<－5時，a＝eq\r(4－k）,c2＝－k－5，∴eq\f（\r(－k－5)，\r（4－k)）＝eq\f（4,5),解得k＝－21.故選D．5．已知F1,F2為橢圓C:eq\f（x2，9）＋eq\f（y2,8）＝1的左、右焦點,點E是橢圓C上的動點，eq\o（EF，\s\up6（→）)1·eq\o（EF,\s\up6（→）)2的最大值、最小值分別為（B）A．9，7 B．8,7 C．9，8 D．17,解析由題意知F1(－1,0),F2(1,0），設(shè)E(x，y)，則eq\o（EF1,\s\up6(→））＝（－1－x，－y），eq\o（EF2，\s\up6(→)）＝(1－x，－y)，所以eq\o(EF1,\s\up6(→））·eq\o（EF2，\s\up6（→）)＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f（8，9）x2＝eq\f(1，9）x2＋7（－3≤x≤3),所以當(dāng)x＝0時,eq\o(EF1,\s\up6（→）)·eq\o（EF2，\s\up6(→))有最小值7，當(dāng)x＝±3時，eq\o(EF1，\s\up6（→）)·eq\o(EF2,\s\up6（→)）有最大值8.故選B．6．橢圓C：eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a〉b>0)的左焦點為F,若F關(guān)于直線eq\r(3）x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為(D）A．eq\f(1,2） B．eq\f(\r(3）－1,2） C．eq\f(\r(3),2） D．eq\r（3)－1解析設(shè)F（－c,0)關(guān)于直線eq\r（3）x＋y＝0的對稱點為A（m，n)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（n,m＋c）·－\r(3）＝－1，,\r(3)·\f(m－c，2)＋\f(n,2）＝0，))解得m＝eq\f(c，2）,n＝eq\f（\r(3），2)c，代入橢圓方程可得eq\f(\f（c2，4),a2）＋eq\f（\f（3，4）c2,b2)＝1化簡可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝eq\r(3）＋1(舍去)或e＝eq\r（3）－1。故選D．二、填空題7．設(shè)橢圓eq\f（x2，m2）＋eq\f（y2，n2）＝1（m>0，n〉0)的右焦點為(2，0），離心率為eq\f（\r（2),2），則此橢圓的方程為?。。。_eq\f（x2,8）＋eq\f(y2,4）＝1__＃#＃#。解析橢圓的右焦點為(2,0)，∴m2－n2＝4，e＝eq\f(\r(2）,2)＝eq\f（2，m），∴m＝2eq\r（2）,代入m2－n2＝4，得n2＝4，∴橢圓方程為eq\f（x2,8）＋eq\f（y2，4）＝1.8．已知P為橢圓eq\f（x2,25)＋eq\f(y2，16)＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3）2＋y2＝4上的點，則｜PM｜＋｜PN｜的最小值為?。?！__7__＃###.解析由橢圓方程知a＝5，b＝4，c＝3。兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點F1，F(xiàn)2，設(shè)兩圓半徑分別為r1，r2，則r1＝1，r2＝2。所以｜PM|min＝｜PF1｜－r1＝|PF1｜－1，｜PN|min＝｜PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN｜的最小值為｜PF1｜＋｜PF2｜－3＝2a－3＝9．橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,5）＝1(a為定值,且a>eq\r（5))的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是?。。?！__eq\f(2,3）__＃##＃.解析設(shè)橢圓的右焦點為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF｜＋|AF′｜＝|BF｜＋｜BF′|＝2a又△FAB的周長為|AF｜＋｜BF｜＋｜AB|≤|AF|＋｜BF|＋｜AF′|＋|BF′|＝4a當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點F′時等號成立．此時4a＝12，則a＝故橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f（y2,5）＝1，所以c＝2，所以e＝eq\f（c，a)＝eq\f（2,3）.三、解答題10．如圖，橢圓C：eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為A，B，且｜AB|＝eq\f(\r(5）,2）｜BF|。(1)求橢圓C的離心率；(2)若斜率為2的直線l過點（0,2），且l交橢圓C于P,Q兩點，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程．解析(1）∵｜AB｜＝eq\f(\r(5)，2)｜BF|，∴eq\r（a2＋b2）＝eq\f（\r(5),2)a，即4a2＋4b2＝5a2，即4a2＋4（a2－c2）＝5a2,∴e＝eq\f(c,a）＝eq\f(\r（3），2)。(2)由(1）知a2＝4b2，∴橢圓C:eq\f（x2，4b2)＋eq\f(y2，b2)＝1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為y－2＝2(x－0），即2x－y＋2＝0。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－y＋2＝0，,\f（x2，4b2）＋\f(y2,b2）＝1，))消去y，得x2＋4（2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0。Δ＝322＋16×17（b2－4)〉0，解得b>eq\f（2\r(17)，17)。x1＋x2＝－eq\f（32,17)，x1x2＝eq\f（16－4b2，17）.∵OP⊥OQ，∴eq\o（OP,\s\up6（→))·eq\o（OQ,\s\up6（→）)＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋（2x1＋2）(2x2＋2）＝0,5x1x2＋4（x1＋x2)＋4＝0。從而eq\f（516－4b2,17）－eq\f（128,17）＋4＝0,解得b＝1,滿足b>eq\f(2\r（17)，17)?！鄼E圓C的方程為eq\f（x2,4)＋y2＝1.11．設(shè)橢圓E的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0)，點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為eq\f(\r（5),10).（1）求橢圓E的離心率e；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,－b），N為線段AC的中點,點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為eq\f（7，2),求橢圓E的方程．解析（1)由題設(shè)條件知，點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）a，\f(1，3）b))。又kOM＝eq\f(\r（5），10)，所以eq\