2019版數(shù)學(xué)（文）教師用書：第二章 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性及周期性 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）＝f（x),那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x）＝－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2。函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f（x＋T）＝f(x),那么就稱函數(shù)f(x）為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x）的最小正周期．1．判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)（1)函數(shù)y＝x2，x∈（0，＋∞）是偶函數(shù)．(）(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．（)（3)如果函數(shù)f(x），g(x）為定義域相同的偶函數(shù),則F（x）＝f（x)＋g(x)是偶函數(shù)．(）(4）若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(）（5)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT（n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期．()答案：(1)×（2)×(3)√(4)√(5)√2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（)A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x解析：選B根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x）＝f（x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)定義域?yàn)椋?，＋∞）,不具有奇偶性，D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．3．已知f（x）＝ax2＋bx是定義在［a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（A．－eq\f（1,3)B.eq\f(1，3）C.eq\f(1，2)D．－eq\f(1,2)解析:選B∵f（x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù),∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1，3).又f(－x）＝f（x），∴b＝0,∴a＋b＝eq\f（1，3).4．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＝f（x）,且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（3，2）)）時(shí)，f(x)＝－x3，則feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（11,2）)）＝（)A．－eq\f(1,8）B。eq\f（1,8)C．－eq\f(125,8） D。eq\f(125，8）解析:選B由f（x＋3)＝f（x)知函數(shù)f（x）的周期為3，又函數(shù)f（x)為奇函數(shù)，所以feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（11,2))）＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)））＝－feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）3＝eq\f（1,8）.5．函數(shù)f（x)在R上為奇函數(shù)，且x〉0時(shí)，f（x）＝x＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)，x>0時(shí),f（x)＝x＋1,∴當(dāng)x<0時(shí),－x〉0，f（x)＝－f（－x)＝－(－x＋1),即x<0時(shí),f（x)＝－(－x＋1）＝x－1。答案：x－16。設(shè)奇函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋郏?,5］，若當(dāng)x∈［0,5]時(shí)，f（x)的圖象如圖所示，則不等式f（x）<0的解集為________．解析:由函數(shù)f(x）為奇函數(shù)，作出函數(shù)在［－5,0)上的圖象，由圖象知，不等式f(x）〈0的解集為（－2,0)∪(2,5］．答案：（－2，0）∪(2，5］eq\a\vs4\al（考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性）eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)［考什么·怎么考］函數(shù)的奇偶性問題是高考的熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)奇偶性的判斷與函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題。考法(一）函數(shù)奇偶性的判斷1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f（x)＝eq\f(\r(36－x2)，|x＋3|－3）;（2)f（x)＝eq\r（1－x2)＋eq\r（x2－1);(3）f（x）＝eq\f（log21－x2，｜x－2|－2）；（4）f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋x，x<0,,x2－x，x>0。））解：(1)由f（x)＝eq\f(\r(36－x2）,|x＋3|－3）,可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（36－x2≥0，,｜x＋3|－3≠0））?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－6≤x≤6，，x≠0且x≠－6，））故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|－6<x<0或0<x≤6},定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x）為非奇非偶函數(shù)．(2）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－x2≥0，，x2－1≥0）)?x2＝1?x＝±1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，1｝，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x)＝0，所以f(－x)＝f（x）＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－x2〉0，,｜x－2｜－2≠0））?－1<x<0或0〈x〈1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．此時(shí)f(x)＝eq\f(log21－x2，|x－2|－2）＝eq\f（log21－x2，2－x－2)＝－eq\f（log21－x2,x)，故有f（－x）＝－eq\f(log2[1－－x2］,－x)＝eq\f（log21－x2，x)＝－f（x）,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．（4)法一:畫出函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋x，x〈0，，x2－x,x〉0))的圖象如圖所示，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故f（x)為偶函數(shù)．法二：易知函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?)∪（0，＋∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x〈0時(shí)，－x>0，故f（－x)＝x2＋x＝f（x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x〈0，故f(－x)＝x2－x＝f(x），故原函數(shù)是偶函數(shù)．法三：f（x)還可以寫成f（x）＝x2－|x|(x≠0）,故f（x)為偶函數(shù)．[題型技法]判定函數(shù)奇偶性的2種常用方法（1）定義法（2)圖象法考法（二）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2．(2018·福建三明模擬)函數(shù)y＝f（x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x〈0時(shí)，f(x）＝2x，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x）＝(）A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x解析：選C當(dāng)x〉0時(shí)，－x〈0，∵x<0時(shí)，f(x)＝2x，∴當(dāng)x〉0時(shí)，f(－x）＝2－x.∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x〉0時(shí),f（x）＝－f（－x）＝－2－x。3．(2018·合肥八中模擬）若函數(shù)f（x)＝xln(x＋eq\r（a＋x2)）為偶函數(shù),則a＝________.解析:∵f（x)＝xln（x＋eq\r（a＋x2)）為偶函數(shù),∴f(－x）＝f(x)，即－xln(eq\r(a＋x2)－x）＝xln（x＋eq\r(a＋x2）)，從而ln［(eq\r（a＋x2））2－x2］＝0,即lna＝0，故a＝1。答案：1[題型技法］函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．（2）求參數(shù)值在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f（－x）＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f（－x)＝f(x）列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是:若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0）＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．［注意］利用“奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有最值，則f(x)max＋f（x)min＝0”的性質(zhì)解決有關(guān)最值問題［怎樣快解·準(zhǔn)解]1．力避失誤穩(wěn)得分(1）首先必須判斷f(x）的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則是非奇非偶函數(shù)．若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則需定義域內(nèi)的任意x滿足定義．若否定函數(shù)的奇偶性只需有一個(gè)自變量不滿足．（如第1題(1）)．（2）有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡(jiǎn)解析式后才可判斷，否則可能無法判斷或判斷錯(cuò)誤，（如第1題（2）,若不化簡(jiǎn)可能會(huì)出現(xiàn)誤判),(如第1題（3）可能會(huì)誤判為非奇非偶函數(shù))．（3)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x）與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性．（如第1題(4）)．2．利用二級(jí)結(jié)論快得分（1）對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論:奇±奇為奇；偶±偶為偶；奇±偶為非奇非偶;奇×(÷)奇為偶；奇×(÷）偶為奇；偶×（÷)偶為偶．（2）若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記偶函數(shù)g(x)＝eq\f（1,2)［f（x）＋f(－x）]，奇函數(shù)h(x）＝eq\f(1,2)[f（x)－f（－x）]，則f（x)＝g(x）＋h(x）．（3)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)］的奇偶性原理:內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．(4）若奇函數(shù)y＝f(x）在x＝0處有意義,則有f(0）＝0；偶函數(shù)y＝f（x)必滿足f（x）＝f（|x|)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二函數(shù)的周期性)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研）利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，雖不及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性考查頻率高，但仍不失為一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，多以選擇題、填空題形式考查,屬中低檔題。[典題領(lǐng)悟]1．若f(x）是定義在R上的周期為4的函數(shù),且在[0,2］上的解析式為f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1－x,0≤x≤1,,cosπx,1〈x≤2，)）則feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(f\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（29，3））））)＝________.解析：因?yàn)閒(x）的周期為4，則feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（29，3)）)＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(8＋\f（5，3）))＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5,3）））＝coseq\f(5π，3)＝coseq\f（π，3)＝eq\f（1，2)，所以feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（29，3)))））＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))＝eq\f(1，2）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2)））＝eq\f（1，4）。答案：eq\f(1，4）2．已知f（x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x＋2）[1－f（x）]＝1＋f(x)，f(2）＝2018，則f(2018）＝________.解析：顯然f（x)≠1，故已知條件可變形為f(x＋2）＝eq\f(1＋fx,1－fx），所以f(x＋4）＝eq\f(1＋fx＋2，1－fx＋2）＝eq\f(1＋\f（1＋fx，1－fx),1－\f(1＋fx，1－fx）)＝－eq\f(1,fx)，所以f（x＋8)＝－eq\f(1,fx＋4）＝f(x),則f（x)為周期函數(shù),且8為f（x)的一個(gè)周期，所以f（2018)＝f（252×8＋2)＝f（2）＝2018。答案:2018［解題師說]1．明確解題的2個(gè)關(guān)鍵（1）根據(jù)函數(shù)的周期性將待求函數(shù)值的自變量值轉(zhuǎn)化到分段函數(shù)中的定義域范圍內(nèi),再代入相應(yīng)解析式求解；(2）對(duì)其函數(shù)解析式變形，使得其滿足函數(shù)周期性的相關(guān)定義，進(jìn)而歸納總結(jié)確定對(duì)應(yīng)的周期，為進(jìn)一步分析與求解打下基礎(chǔ)．2．熟記4種常見抽象函數(shù)的周期(1）若f(x＋a）＝－f(x），則T＝2｜a｜;(2)若f(x＋a)＝eq\f（1，fx），則T＝2｜a｜；(3）若f（x＋a）＝－eq\f（1,fx），則T＝2｜a|;(4）若f（x＋a）＝f(x－a)，則T＝2|a｜。[沖關(guān)演練］1．設(shè)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時(shí)，f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－4x2＋2，－1≤x〈0，,x，0≤x〈1，)）則feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2）)）＝________.解析：∵f（x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－4x2＋2，－1≤x〈0,，x，0≤x<1，）)∴feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3，2)))＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）))＝－4×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)））2＋2＝1。答案：12．已知定義在R上的函數(shù)滿足f（x＋2)＝－eq\f（1，fx），x∈（0，2］時(shí),f（x）＝2x－1。則f(1)＋f(2）＋f（3)＋…＋f（2018)的值為________．解析:∵f(x＋2）＝－eq\f(1，fx），∴f(x＋4）＝－eq\f（1,fx＋2)＝f(x），∴函數(shù)y＝f（x）的周期T＝4。又x∈（0，2］時(shí)，f（x)＝2x－1，∴f（1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－eq\f（1,f1）＝－1，f(4）＝－eq\f(1,f2)＝－eq\f（1,3）?！鄁（1）＋f（2）＋f(3)＋…＋f(2018)＝504[f(1)＋f（2)＋f(3)＋f(4）］＋f（504×4＋1）＋f（504×4＋2)＝504eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋3－1－\f(1,3）))＋1＋3＝1348。答案:1348eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在一起命題,其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合,而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合,并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主.多以選擇題、填空題形式出現(xiàn).,常見的命題角度有：1單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；2周期性與奇偶性結(jié)合；3單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合.[題點(diǎn)全練]角度(一）單調(diào)性與奇偶性結(jié)合1．（2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x）在（－∞，＋∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f（1）＝－1，則滿足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范圍是(）A．［－2,2] B．[－1,1]C．［0,4］ D．［1,3］解析:選D∵f(x）為奇函數(shù)，∴f(－x）＝－f(x）．∵f(1）＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2）≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x）在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減,∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.角度(二)周期性與奇偶性結(jié)合2．（2017·山東高考）已知f（x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x＋4）＝f（x－2)．若當(dāng)x∈［－3,0］時(shí)，f(x）＝6－x，則f（919）＝________.解析：∵f（x＋4）＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f（x)的周期為6,∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x）為偶函數(shù),∴f（919）＝f（1)＝f（－1）＝6.答案:6角度（三)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合3．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f（x＋2）＝－f(x)，且在[0，2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（)A．0〈f(1)<f（3） B．f(3)<0〈f(1）C．f(1）<0<f(3） D．f(3）〈f（1)〈0解析：選C由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f（0）＝0。由f(x＋2）＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f（x＋2）＝f（x），故函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以f（3）＝f（－1)．又f(x）在［0，2）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x）在（－2,2）上單調(diào)遞減，所以f(－1）>f(0)〉f(1），即f（1)〈0〈f（3）．故選C。［題“根"探求]看個(gè)性角度(一)是已知函數(shù)單調(diào)遞減且為奇函數(shù),求自變量范圍，有時(shí)也比較大小，常利用奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性；角度（二）是已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；角度（三)是函數(shù)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解找共性對(duì)于函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目,函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題［沖關(guān)演練］1．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x)滿足：當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)＝2x－eq\f(2，x），則eq\f（fx,x）〉0的解集為()A．（－1,0）∪（0,1） B．(－1,0）∪(1，＋∞)C．（－∞，－1）∪（0,1) D．(－∞，－1)∪（1，＋∞）解析:選D∵當(dāng)x〉0時(shí),函數(shù)f(x）單調(diào)遞增，又f(1）＝0，∴f（x）＝2x－eq\f(2，x)>0的解集為(1，＋∞)．∵f（x)是奇函數(shù),∴eq\f（fx，x）是偶函數(shù)，則eq\f（fx，x)>0的解集為(－∞，－1)∪（1，＋∞)．2．已知f(x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|）＞f(－eq\r(2））,則a的取值范圍是________．解析：∵f（x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0)上單調(diào)遞增,∴f（x）在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－eq\r（2）)＝f（eq\r(2))，∴f(2|a－1|）＞f（eq\r（2))，∴2｜a－1|＜eq\r（2)＝2eq\f(1，2)，∴｜a－1｜＜eq\f(1,2)，即－eq\f（1,2)＜a－1＜eq\f(1，2），即eq\f(1，2)＜a＜eq\f（3,2）.答案：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f(3，2）))3．設(shè)f（x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間［－2，0）∪（0，2]上,f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(ax＋b，－2≤x<0，,ax－1，0<x≤2，）)則f（2017)＝________.解析：設(shè)0<x≤2，則－2≤－x<0，f（－x)＝－ax＋b.因?yàn)閒(x）是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，所以f(－x）＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1。而f（－2)＝f(－2＋4)＝f（2)，所以－2a＋b＝2a－1，解得a＝eq\f（1,2），所以f（2017)＝f（1）＝eq\f(1,2）×1－1＝－eq\f(1，2)。答案：－eq\f(1,2)（一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．(2017·肇慶三模)在函數(shù)y＝xcosx,y＝ex＋x2，y＝lgeq\r（x2－2），y＝xsinx中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0解析：選By＝xcosx是奇函數(shù)，y＝lgeq\r(x2－2)和y＝xsinx是偶函數(shù)，y＝ex＋x2是非奇非偶函數(shù)，所以偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是2,故選B。2．（2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是（)A．y＝ex＋e－x B．y＝ln（|x｜＋1）C．y＝eq\f（sinx，｜x|） D．y＝x－eq\f(1,x)解析：選D選項(xiàng)A，B顯然是偶函數(shù)，排除；選項(xiàng)C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)D中,y＝x－eq\f(1，x)是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－eq\f（1，x）在(0,＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－eq\f（1,x)在(0,＋∞)上為增函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確．3．(2018·遼寧階段測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x）＋mln(1－x）是偶函數(shù)，則（）A．m＝1，且f(x)在（0,1）上是增函數(shù)B．m＝1，且f（x)在(0,1)上是減函數(shù)C．m＝－1,且f(x)在(0，1）上是增函數(shù)D．m＝－1，且f(x)在（0，1)上是減函數(shù)解析:選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln（1＋x)＋mln（1－x）是偶函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）)）＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)）），則(m－1）ln3＝0，即m＝1，則f(x）＝ln(1＋x）＋ln(1－x）＝ln（1－x2)，因?yàn)閤∈（0,1)時(shí)，y＝1－x2是減函數(shù)，故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故選B.4．已知函數(shù)f(x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a)＝2，則f(－a）的值為()A．3 B．0C．－1 D．－2解析：選B設(shè)F（x）＝f（x)－1＝x3＋sinx,顯然F（x）為奇函數(shù),又F(a）＝f(a)－1＝1,所以F(－a）＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a）＝0.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log21－x,x＜0，，gx＋1，x＞0，))若f（x)是奇函數(shù)，則g(3）的值是（)A．1 B．3C．－3 D．－1解析：選C∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(log21－x,x＜0，，gx＋1，x＞0,))f(x)是奇函數(shù),∴f（－3）＝－f（3)，∴l(xiāng)og2(1＋3)＝－［g（3)＋1],則g（3)＝－3。故選C.6．設(shè)f（x）＝lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,1－x)＋a））是奇函數(shù)，則使f(x）＜0的x的取值范圍是（）A．(－1,0) B．（0,1）C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪（1，＋∞)解析:選A因?yàn)閒(x）為奇函數(shù)，所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，即a＝－1。所以f（x)＝lneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，1－x）－1)）＝lneq\f（x＋1，1－x)，所以f(x）＝lneq\f(x＋1,1－x）＜0，即0＜eq\f(x＋1,1－x）＜1，解得－1＜x＜0。7．（2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（－∞,0)時(shí)，f(x）＝2x3＋x2,則f（2)＝________.解析：由已知得，f（－2)＝2×(－2)3＋（－2）2＝－12,又函數(shù)f(x）是奇函數(shù)，所以f（2)＝－f(－2）＝12.答案：128．（2018·貴州適應(yīng)性考試)若函數(shù)f（x)＝(x－a)（x＋3)為偶函數(shù)，則f（2）＝________.解析：法一：因?yàn)閒（x)＝f（－x),所以x2＋（3－a)x－3a＝x2－(3－a)x－3a，可得a＝3，所以f(x）＝x2－9，f(2）＝22－9法二：由f(x）＝x2＋(3－a）x－3a為偶函數(shù)，知其奇次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以3－a＝0，a＝3，所以f（2）＝22－9＝－答案：－59．下列函數(shù)①f（x）＝x2－|x|＋1，x∈［－1，4]；②f（x）＝lneq\f(2－x，2＋x）；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0,x＝0，,－x2－2，x<0.))其中是奇函數(shù)的為________．（填序號(hào))解析：①由于f(x)＝x2－｜x｜＋1，x∈[－1,4］的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,因此f（x）是非奇非偶函數(shù)．②f（x)的定義域?yàn)?－2，2)，f(－x)＝lneq\f(2＋x，2－x)＝－lneq\f(2－x,2＋x）＝－f(x)，所以函數(shù)f（x)為奇函數(shù)．③f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，f(－x）＝－(－x)2－2＝－(x2＋2）＝－f(x）；當(dāng)x〈0時(shí)，f(－x)＝(－x）2＋2＝－（－x2－2)＝－f（x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0）＝0，也滿足f（－x）＝－f(x)．所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．答案：②③10．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下條件:①f（x)＋f(－x)＝0；②f（x)＝f（x＋2）；③當(dāng)0≤x〈1時(shí)，f(x）＝2x－1，則feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））＋f(1）＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，2））)＋f（2）＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5，2）)）＝________。解析：依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)＋f（－1)＝0,f(－1)＝f(1），即f(1)＝0.∴feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）＋f（1)＋feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))）＋f（2)＋feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5,2)))＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)))＋0＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）))＋f(0)＋feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)－feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)）)＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）))＋f(0）＝2eq\f(1,2）－1＋20－1＝eq\r（2）－1.答案：eq\r(2)－1B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．設(shè)函數(shù)f(x)（x∈R)滿足f(x＋π）＝f(x)＋sinx．當(dāng)0≤x＜π時(shí),f(x）＝0，則feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（23π,6）））＝（)A.eq\f(1，2） B。eq\f(\r(3)，2）C．0 D．－eq\f（1,2)解析:選A∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f（x)＋sinx－sinx＝f（x），∴f(x）的周期T＝2π，又∵當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f（x)＝0，∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π，6））)＝0,∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)＋π))＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6））)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π,6)）)＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π，6))）＝eq\f（1,2)，∴feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(23π，6））)＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（4π－\f（π，6））)＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)）)＝eq\f（1,2）。2．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在（0，＋∞）上是減函數(shù)，且在區(qū)間［a,b］（a<b〈0）上的值域?yàn)閇－3，4］，則在區(qū)間[－b,－a]上()A．有最大值4 B．有最小值－4C．有最大值－3 D．有最小值－3解析：選B法一：根據(jù)題意作出y＝f(x)的簡(jiǎn)圖，由圖知，選B.法二：當(dāng)x∈［－b,－a］時(shí),－x∈［a，b]，由題意得f（b）≤f（－x）≤f（a)，即－3≤－f（x)≤4，∴－4≤f（x)≤3，即在區(qū)間[－b，－a］上，f（x）min＝－4，f（x)max＝3。3．對(duì)函數(shù)f(x）,在使f（x)≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做函數(shù)f(x）的下確界．現(xiàn)已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f(1－x)＝f(1＋x)，當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f（x）＝－3x2＋2，則f(x)的下確界為(）A．2 B．1C．0 D．－1解析：選D由題意知,f（x)的周期為2,畫出函數(shù)f（x)在R上的部分圖象如圖所示，易得下確界為－1。故選D.4．已知f（x),g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x)－g(x）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)x，則f(1），g（0），g（－1）之間的大小關(guān)系是______________．解析：在f(x)－g(x）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）x中,用－x替換x，得f(－x)－g(－x）＝2x,由于f(x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以f（－x)＝－f(x)，g(－x)＝g（x)，因此得－f(x）－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝eq\f（2－x－2x,2），g(x)＝－eq\f(2－x＋2x，2），于是f（1）＝－eq\f（3，4)，g（0)＝－1，g(－1）＝－eq\f(5，4）,故f（1)〉g(0）〉g(－1)．答案：f（1)>g（0)>g(－1)5。已知偶函數(shù)y＝f(x），奇函數(shù)y＝g(x）的定義域均為[－4,4]，f（x)在[－4，0]上，g(x）在［0,4]上的圖象如圖所示，則不等式eq\f（fx，gx)<0的解集為________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，y＝g（x)是奇函數(shù)，它們的定義域均為[－4,4]，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可得兩個(gè)函數(shù)在定義域上完整的圖象如圖所示．由圖可得，當(dāng)x∈（－2,0)∪(2,4）時(shí)，f(x)與g(x）異號(hào)，此時(shí)f（x)·g（x）<0，即eq\f（fx，gx）〈0.答案：(－2，0)∪（2，4)6．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，2)＋x)）＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2)－x））成立．(1）證明y＝f（x)是周期函數(shù),并指出其周期；(2)若f（1）＝2，求f（2)＋f(3）的值．解:(1)證明:由feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，2）＋x))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,2）－x）)，且f（－x)＝－f(x）,知f（3＋x）＝feq\f(3，2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)＋x））＝－feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2)＋x)）)）＝－f(－x）＝f(x),所以y＝f(x）是周期函數(shù),且T＝3是其一個(gè)周期．（2）因?yàn)閒(x）為定義在R上的奇函數(shù),所以f（0）＝0,且f(－1)＝－f（1）＝－2，又T＝3是y＝f（x）的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3）＝f（－1）＋f(0)＝－2＋0＝－2.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x2＋2x，x〉0，，0，x＝0，,x2＋mx，x〈0)）是奇函數(shù)．（1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x）在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1)設(shè)x<0,則－x〉0，所以f(－x）＝－（－x)2＋2（－x）＝－x2－2x.又f（x)為奇函數(shù)，所以f（－x)＝－f（x),于是x〈0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.（2)要使f（x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的圖象(如圖所示)知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．C級(jí)——重難題目自主選做1．（2018·許昌二模)已知函數(shù)f(x）＝eq\f(2|x|＋1＋x3＋2，2|x｜＋1）的最大值為M,最小值為m，則M＋m等于()A．0 B．2C．4 D．8解析：選Cf(x)＝eq\f（2·2|x｜＋1＋x3,2|x｜＋1)＝2＋eq\f(x3,2｜x｜＋1），設(shè)g(x）＝eq\f(x3,2|x｜＋1），則g（－x)＝－g(x）（x∈R),∴g(x）為奇函數(shù)，∴g（x）max＋g（x)min＝0?！進(jìn)＝f(x)max＝2＋g（x)max，m＝f（x）min＝2＋g（x)min，∴M＋m＝2＋g（x)max＋2＋g（x）min＝4，故選C。2．設(shè)函數(shù)f(x）＝ln（1＋｜x｜)－eq\f(1，1＋x2)，則使得f(x)>f（2x－1)成立的x的取值范圍為________．解析：由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x）＝f(|x|),由f（x）〉f（2x－1），可得f(｜x|）>f（｜2x－1｜)．當(dāng)x>0時(shí)，f（x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2），因?yàn)閥＝ln(1＋x）與y＝－eq\f(1，1＋x2）在(0,＋∞)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x）在(0，＋∞）上單調(diào)遞增．由f（｜x｜）〉f(|2x－1|），可得｜x|〉｜2x－1｜，兩邊平方可得x2〉(2x－1）2,整理得3x2－4x＋1<0，解得eq\f（1，3）〈x〈1。所以符合題意的x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3），1）).答案：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)，1)）（二）重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1．(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（0,＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x｜＋1)C．y＝eq\f（sinx,|x｜) D．y＝x－eq\f（1，x)解析：選D選項(xiàng)A，B顯然是偶函數(shù)，排除；選項(xiàng)C是奇函數(shù),但在（0，＋∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)D中，y＝x－eq\f(1，x)是奇函數(shù),且y＝x和y＝－eq\f(1,x）在（0，＋∞）上均為增函數(shù)，故y＝x－eq\f（1，x）在(0，＋∞）上為增函數(shù),所以選項(xiàng)D正確．2.（2018·萊蕪模擬)設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f（－eq\r（2）)＝（)A．－eq\f(1,2） B。eq\f(1，2)C．2 D．－2解析:選B由已知得f（－eq\r（2））＝f(eq\r(2)）＝log2eq\r（2)＝eq\f（1,2)。故選B。3．已知函數(shù)f（x)＝x3＋sinx＋1(x∈R），若f(a）＝2，則f（－a)的值為(）A．3 B．0C．－1 D．－2解析：選B設(shè)F（x）＝f(x)－1＝x3＋sinx，顯然F(x）為奇函數(shù),又F（a）＝f(a)－1＝1，所以F(－a）＝f（－a）－1＝－1，從而f(－a）＝0。4.設(shè)函數(shù)f（x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0,,gx，x＜0,））則g(f(－7））＝(）A．3 B．－3C．2 D．－2解析:選D因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0,,gx，x＜0，）)所以f(－7)＝－f（7)＝－log2(7＋1)＝－3，所以g(f（－7)）＝g（－3）＝f(－3)＝－f(3)＝－log2(3＋1)＝－2,故選D。5.奇函數(shù)f（x)的定義域?yàn)镽。若f(x＋2）為偶函數(shù)，且f（1）＝1，則f（8）＋f（9)＝(）A．－2 B．－1C．0 D．1解析：選D由函數(shù)f(x＋2）為偶函數(shù)可得，f(2＋x)＝f(2－x）．又f(－x）＝－f（x）,故f(2－x)＝－f(x－2），所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f（x＋4）＝－f(x）．所以f(x＋8）＝－f（x＋4）＝－［－f（x)]＝f（x），故該函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)．又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f（0)＝0.所以f（8)＋f(9)＝f（0）＋f(1）＝0＋1＝1，故選D.6。已知f(x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f（x)＝3x－1,則feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2019,2)））＝()A。eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C．－eq\r(3)－1 D．－eq\r（3)＋1解析：選D由題可知f（x＋2）＝f(x)＝－f（－x)，所以feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2019，2))）＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1008＋\f（3，2))）＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2）)）＝－feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3，2))）＝－feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））).又當(dāng)x∈（0，1)時(shí)，f(x）＝3x－1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）＝eq\r(3)－1，則feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2019,2)））＝－feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））＝－eq\r(3)＋1。7。已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x)＝lnx，則feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，e2))))）的值為________．解析:由已知可得feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,e2））)＝lneq\f（1,e2)＝－2,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，e2))）))＝f(－2)．又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,e2))）))＝f(－2)＝－f(2）＝－ln2。答案：－ln28.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x)同時(shí)滿足以下條件：①f（x)＋f（－x)＝0；②f（x）＝f(x＋2）；③當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)＝2x－1，則feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）＋f（1）＋feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)）)＋f(2）＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)))＝________。解析：依題意知：函數(shù)f（x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1）＋f(－1)＝0,f（－1)＝f(1)，即f(1)＝0?！鄁eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））＋f(1)＋feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）)）＋f（2）＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5,2)）)＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)＋0＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）))＋f（0）＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)))＋f（0）＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）＋f(0)＝2eq\f（1,2)－1＋20－1＝eq\r(2)－1。答案：eq\r（2)－19．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－x2＋2x，x>0，,0，x＝0,,x2＋mx，x〈0))是奇函數(shù)．（1)求實(shí)數(shù)m的值;（2）若函數(shù)f（x)在區(qū)間[－1，a－2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù),所以f(－x）＝－f(x）,于是x〈0時(shí),f（x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2。(2)要使f(x）在[－1，a－2］上單調(diào)遞增,結(jié)合f（x）的圖象(如圖所示）知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3］．10.設(shè)函數(shù)f(x）是（－∞,＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2）＝－f（x）,當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x)＝x.(1)求f(π)的值；(2）當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求函數(shù)f（x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．解：(1）由f（x＋2)＝－f(x)得，f（x＋4)＝f[(x＋2)＋2］＝－f(x＋2）＝f（x），所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),所以f（π）＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f（4－π)＝－（4－π）＝π－4。（2）由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2）＝－f（x)，得f[(x－1)＋2］＝－f(x－1）＝f[－(x－1）]，即f（1＋x)＝f(1－x)．故知函數(shù)y＝f（x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x）＝x,且f（x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，設(shè)f（x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×2×1））＝4。B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.定義在R上的函數(shù)f(x）滿足f(－x)＝－f（x)，f（x）＝f(x＋4)，且當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x）＝2x＋eq\f（1，5），則f(log220）＝(）A．1 B。eq\f(4，5）C．－1 D．－eq\f（4,5）解析：選C因?yàn)閤∈R,且f(－x)＝－f(x），所以函數(shù)f(x）為奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)＝f（x＋4）,所以函數(shù)f(x)的周期為4.所以f（log220)＝f(log220－4)＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(log2\f(5,4））)＝－feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－log2\f（5,4）)）＝－feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（log2\f（4，5）)）＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2log2\f(4，5）＋\f（1，5)))＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4,5）＋\f(1,5)）)＝－1,故選C.2．（2018·許昌二模）已知函數(shù)f(x）＝eq\f（2｜x｜＋1＋x3＋2，2|x｜＋1）的最大值為M，最小值為m,則M＋m等于(）A．0 B．2C．4 D．8解析：選Cf(x）＝eq\f（2·2|x|＋1＋x3,2|x｜＋1）＝2＋eq\f(x3，2|x|＋1)，設(shè)g（x)＝eq\f（x3，2|x|＋1），則g(－x)＝－g（x)（x∈R)，∴g（x）為奇函數(shù)，∴g（x）max＋g(x)min＝0.∵M(jìn)＝f（x）max＝2＋g（x）max，m＝f(x)min＝2＋g（x）min，∴M＋m＝2＋g（x)ma