梁的彎曲問(wèn)題的強(qiáng)度計(jì)算

梁的彎曲問(wèn)題的強(qiáng)度計(jì)算[內(nèi)容提要]主要介紹彎曲變形的基本概念和彎曲變形的內(nèi)力，以及內(nèi)力圖的繪制和等截面直梁平面彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力的計(jì)算。重點(diǎn)是內(nèi)力圖的繪制和梁的彎曲強(qiáng)度條件及其計(jì)算。1平面彎曲的概念·工程實(shí)例1.1平面彎曲的概念建筑結(jié)構(gòu)中很多桿件承受的荷載，是一組作用線垂直于桿件軸線的力（我們稱這種力為橫向力），或者是通過(guò)桿件軸線平面內(nèi)的外力偶。在這些外力的作用下，桿件的橫截面要發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)，桿件的軸線也要變彎，這種變形稱為彎曲變形。凡是以彎曲變形為主要變形的構(gòu)件，通常稱為梁。梁的軸線方向稱為縱向，垂直于軸線的方向稱為橫向。梁的橫截面是指垂直于梁軸線的截面，一般都具有對(duì)稱性，存在著至少一個(gè)對(duì)稱軸。常見的橫截面形狀有圓形、矩形、工字形和T形等。梁的縱平面是指通過(guò)梁軸線的平面，有無(wú)窮多個(gè)。我們?cè)谶@里只討論有縱向?qū)ΨQ面的梁。所謂縱向?qū)ΨQ面，是指梁的橫截面的對(duì)稱軸與梁的軸線這兩條正交直線所構(gòu)成的平面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，那么梁的軸線變形后所形成的曲線仍在該平面（即縱向?qū)ΨQ面）內(nèi)。這樣的彎曲變形，我們稱之為平面彎曲，如圖8-1所示。產(chǎn)生平面彎曲變形的梁，稱為平面彎曲梁。本章只討論平面彎曲梁如果梁只受集中力的作用，不受集中力偶的作用，且集中力的作用線都垂直于梁的軸線，這些外力稱為橫向外力。平面彎曲梁在橫向外力作用下發(fā)生的彎曲變形稱為橫力彎曲，如圖8-2(a)所示。如果平面彎曲梁只受平面力偶的作用，且平面力偶都作用在梁的縱平面內(nèi)，這時(shí)梁的變形稱為純彎曲，如圖8-2(b)所示。(a)(b)圖8-21.2工程實(shí)例梁是在工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的非常廣泛的一種構(gòu)件。例如圖8-3(a)、(b)、(c)所示的梁式橋的主梁、火車車軸、房屋建筑中的梁等。它們的主要變形就是彎曲變形。1.3梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖在進(jìn)行梁的工程分析和受力計(jì)算時(shí)，不必把梁的復(fù)雜工程圖按實(shí)際畫出來(lái)，而是以能夠代表梁的結(jié)構(gòu)、荷載情況及作用效果的簡(jiǎn)化的圖形來(lái)代替，這種簡(jiǎn)化后的圖形稱為梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖也可稱為梁的受力圖。在計(jì)算簡(jiǎn)圖上應(yīng)包括梁的本身、梁的荷載、支座或支座反力。梁的本身可用其軸線來(lái)表示，但要在圖上標(biāo)明梁的結(jié)構(gòu)尺寸數(shù)據(jù)，有時(shí)也需要把梁的截面尺寸表示出來(lái)。梁上的荷載因其作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，可以認(rèn)為就作用在軸線上，因而可以直接畫在軸線上，并標(biāo)明荷載的性質(zhì)和大小。一般來(lái)講，梁的荷載有均布荷載、集中力和集中力偶，分別用q、F、Me表示，如圖8-4所示。梁的支座最常見的有三種，即固定端支座、固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座。圖8-4圖8-5(a)、(b)就是圖8-3(a)、(b)所示的的梁式橋的主梁、火車車軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖。圖8-5(a)表示的公路橋梁，用軸線代表梁體。支座為典型的固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座，梁的自重簡(jiǎn)化為均布荷載，汽車前后輪給路面的作用力簡(jiǎn)化為集中力。圖8-5(b)表示的火車車軸，因主要承受橫向荷載，當(dāng)作梁看，用軸線代表車軸。為了反映鋼軌能對(duì)車軸產(chǎn)生橫向約束和軸向約束，梁的支座用一個(gè)固定鉸支座和一個(gè)活動(dòng)鉸支座表示。q圖8-5

1.4靜定梁的基本形式作為工程中主要承受彎曲的構(gòu)件，梁具有多種形式。如果只從梁的支座反力（即約束）的個(gè)數(shù)與梁的靜力平衡方程的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系上來(lái)劃分梁，梁可以分為靜定梁和超靜定梁。1．靜定與超靜定的基本概念一般來(lái)講，梁上的荷載和支座反力構(gòu)成的是一個(gè)平面一般力系，至多有三個(gè)靜力平衡方程（如果梁上的荷載和支座反力構(gòu)成了平面平行力系或平面匯交力系，則只有兩個(gè)靜力平衡方程）。如果梁的支座反力的數(shù)目等于梁的靜力平衡方程的數(shù)目，就可以由靜力平衡方程來(lái)完全確定支座反力，這樣的梁稱為靜定梁，如圖8-6(a)所示。反之，如果梁的支座反力的數(shù)目多于梁的靜力平衡方程的數(shù)目，就不能用靜力平衡方程來(lái)完全確定支座反力，這樣的梁稱為超靜定梁，如圖8-6(b)所示。本章所討論的主要是靜定的平面彎曲梁。(a)(b)圖8-62．靜定梁的三種基本形式工程上常用的梁按支座對(duì)其約束情況可分為三種結(jié)構(gòu)形式：簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖8-7(a)、(b)、(c)所示。(a)(b)(c)圖8-72梁的彎曲內(nèi)力2.1剪力與彎矩1.剪力與彎矩的概念梁在橫向荷載作用下，將同時(shí)產(chǎn)生變形和內(nèi)力。梁橫截面處的內(nèi)力是指橫截面以左、以右梁段的相互作用，內(nèi)力專指橫截面上分布內(nèi)力的合力。當(dāng)作用在梁上的外力（荷載和支座反力）已知時(shí)，可用截面法求梁某截面處的內(nèi)力。以圖8-8(a)所示簡(jiǎn)支梁為例，梁上作用有集中力荷載，現(xiàn)利用截面法求任意截面m—m的內(nèi)力。2梁的彎曲曲內(nèi)力2.1剪力力與彎矩第一步，取梁整體體為截離體，求出出兩端支座的約束束反力和。第二步，用m—m截?cái)鄺U件，取左半半部分或右半部分分為截離體，并并在截離體上以正正的方向標(biāo)出截面面的內(nèi)力，如圖8-8(b)、(c)所示。第三步，在截離體體上建立平衡方程程，根據(jù)靜力平衡衡條件求出截面的的內(nèi)力。稱為剪力，是作用用在截離體相應(yīng)截截面上分布內(nèi)力向向截面形心簡(jiǎn)化的的主矢。得得力偶矩稱為彎矩，，是作用在截離體體相應(yīng)截面上分布布內(nèi)力向截面形心心簡(jiǎn)化的主矩。取右半部分為截離離體，可求得：取左半部分為截截離體，可求得得：從上述的計(jì)算中中可以看出，無(wú)無(wú)論是取截面的的左半部分還是是右半部分為截截離體，截面內(nèi)內(nèi)力的計(jì)算結(jié)果果都是一致的。。但圖8-8中中取左、右截離離體為研究對(duì)象象求得的剪力和和彎矩是大小相相等、方向相反反的作用力與反反作用力。為使使同一截面的剪剪力和彎矩不僅僅大小相等，而而且正負(fù)號(hào)一致致。根據(jù)變形規(guī)規(guī)定剪力和彎矩矩的正負(fù)號(hào)，如如圖8-9所示示。圖8-9剪力使截離體產(chǎn)產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蛳蛐D(zhuǎn)時(shí)為正，，反之為負(fù)；彎彎矩使截離體產(chǎn)產(chǎn)生上側(cè)纖維受受壓、下側(cè)纖維維受拉，即截離離體的軸線產(chǎn)生生上凹下凸的變變形時(shí)為正，反反之為負(fù)?！纠?-1】求求圖8-10(a)所示簡(jiǎn)支支梁C、D截面的剪力和彎彎矩。(b)(c)圖8-10解:（1）求支座座反力取梁整體為截離離體，建立靜力力平衡方程。（2）求C截面面的剪力和彎矩矩假想沿C截面把梁截成兩兩段，取受力較較簡(jiǎn)單的左段為為研究對(duì)象，如如圖8-10(b)所示。計(jì)算結(jié)果表明，，截面的剪力和和彎矩為正值，，與圖中所畫的的方向相同。（3）求D截面的剪力和彎彎矩假想沿D截面把梁截成兩兩段，取受力較較簡(jiǎn)單的右段為為研究對(duì)象，如如圖8-10(c)所示。計(jì)算結(jié)果表明，，截面的彎矩為為正值，與圖中中所畫的方向相相同，截面的剪剪力為負(fù)值，與與圖中所畫的方方向相反。【例8-2】求求圖8-11(a)所示簡(jiǎn)支支梁1-1、2-2截面的剪剪力和彎矩。解:（1）求支座座反力取梁整體為截離離體，建立靜力力平衡方程。計(jì)算結(jié)果表明，，截面的剪力和和彎矩為正值，，與圖中所畫的的方向相同。（3）求2-2截面的剪力和和彎矩假想沿2-2截截面把梁截成兩兩段，取受力較較簡(jiǎn)單的右段為為研究對(duì)象，如如圖8-11(c)所示。計(jì)算結(jié)果表明，，截面的彎矩為為正值，與圖中中所畫的方向相相同，截面的剪剪力為負(fù)值，與與圖中所畫的方方向相反。綜上所述可知：：1.橫截面上的的剪力在數(shù)值上上等于截面左側(cè)側(cè)或右側(cè)梁段上上外力的代數(shù)和和。左側(cè)梁段上上向上的外力或或右側(cè)梁段上向向下的外力將引引起正值的剪力力；反之，則引引起負(fù)值的剪力力。2.橫截面上的的彎矩在數(shù)值上上等于截面左側(cè)側(cè)或右側(cè)梁段上上外力對(duì)該截面面形心的力矩之之代數(shù)和。1)不論在左側(cè)側(cè)梁段上或右側(cè)側(cè)梁段上，向上上的外力均將引引起正值的彎矩矩，而向下的外外力則引起負(fù)值值的彎矩。2)截面面左側(cè)梁梁段上順順時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向的外外力偶引引起正值值的彎矩矩，而逆逆時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向的外外力偶則則引起負(fù)負(fù)值的彎彎矩；截截面右側(cè)側(cè)梁段上上的外力力偶引起起的彎矩矩其正負(fù)負(fù)與之相相反。2.2剪剪力圖圖和彎矩矩圖梁在外力力作用下下，各截截面上的的剪力和和彎矩沿沿軸線方方向是變變化的。。如果用用橫坐標(biāo)標(biāo)x(其方向向可以向向左也可可以向右右)表示示橫截面面沿梁軸軸線的位位置，則則剪力和和彎矩都都可以表表示為坐坐標(biāo)x的函數(shù)，，即這兩個(gè)方方程分別別稱為梁梁的剪力力方程和和彎矩方方程。與繪制軸軸力圖或或扭矩圖圖一樣，，可用圖圖線表示示梁的各各橫截面面上剪力力和彎矩矩沿梁軸軸線的變變化情況況，稱為為剪力圖圖和彎矩矩圖。剪剪力圖的的繪制與與前面章章節(jié)中所所講的軸軸力圖和和扭矩圖圖的繪制制方法基基本相同同，正剪剪力畫在在x軸的上方方，負(fù)剪剪力畫在在x軸的下方方，并標(biāo)標(biāo)明正負(fù)負(fù)號(hào)。彎彎矩圖繪繪制的規(guī)規(guī)定和彎彎矩正負(fù)負(fù)號(hào)的規(guī)規(guī)定，彎彎矩畫在在梁的受受拉側(cè)，，即正彎彎矩畫在在x軸的下方方，負(fù)彎彎矩卻畫畫在了x軸的上方方，而不不須標(biāo)明明正負(fù)號(hào)號(hào)。下面舉例例說(shuō)明建建立剪力力方程、、彎矩方方程以及及繪制剪剪力圖、、彎矩圖圖的方法法?！纠?-3】作作圖圖8-12(a)所示示簡(jiǎn)支梁梁的剪力力圖和彎彎矩圖。。解:（1））求支座座反力（3）畫畫剪力圖圖和彎矩矩圖由剪力方方程和彎彎矩方程程中可以以看出，，C點(diǎn)是分段段函數(shù)的的分界點(diǎn)點(diǎn)，也是是剪力圖圖和彎矩矩圖的分分界點(diǎn)。。剪力圖圖是兩條條水平線線，在集集中力F作用點(diǎn)C處剪力圖圖產(chǎn)生突突變，突突變值等等于集中中力的大大小，彎彎矩圖是是兩條斜斜率不同同的斜直直線，在在集中力力F的作用點(diǎn)點(diǎn)C處相交，，形成向向下凸的的尖角。。梁剪力力圖和彎彎矩圖分分別如圖圖8-12(b)、(c)所所示。如果，，最大大剪力發(fā)發(fā)生在的的集中力力F的左側(cè)一一段梁內(nèi)內(nèi)，；；最大大彎矩發(fā)發(fā)生在集集中力F的作用點(diǎn)點(diǎn)C處，。。根據(jù)求出出的各值值，畫出出梁剪力力圖和彎彎矩圖分分別如圖圖8-13(b)、(c)所所示。最大剪力力發(fā)生在在A、B兩支座的的內(nèi)側(cè)截截面上，，,而該處的的彎矩為為0；最大彎矩矩發(fā)生在在梁的中中點(diǎn)截面面上，，，而該處的的剪力為為0?！纠?-5】作作圖8-14(a)所示懸臂梁梁的剪力圖和彎矩矩圖。解：此題是懸臂梁承承受端部集中荷載載的問(wèn)題。懸臂梁梁?jiǎn)栴}的求解有一一定的特殊性，這這是因?yàn)閼冶哿河杏凶杂啥舜嬖?，在在進(jìn)行受力分析時(shí)時(shí)，可以不求支座座反力，而從自由由端直接計(jì)算。（1）取如圖所示示的B點(diǎn)為坐標(biāo)原原點(diǎn)，以x為坐標(biāo)軸，取x的右側(cè)截面為截離離體，列出剪力方方程和彎矩方程（2）畫剪力圖和和彎矩圖從內(nèi)力方程可以看看出，剪力圖是一一條水平線，彎矩矩圖是一條斜線。。梁的剪力圖和彎彎矩圖分別如圖8-14(b)、、(c)所示。最大剪力和最大彎彎矩發(fā)生在懸臂端端(a)的右側(cè)截面上，分分別為和和。。【例8-6】作作圖8-15(a)所示簡(jiǎn)支梁梁的剪力圖和彎矩矩圖。解:（1）求支支座反力（2）列剪力方程程和彎矩方程取圖中的A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建建立x坐標(biāo)軸。因?yàn)锳C、CB段的內(nèi)力方程不同同，所以應(yīng)分別列列出。兩段的內(nèi)力力方程分別為：AC段：CB段：（3）畫剪力圖和和彎矩圖從剪力方程中可以以看出，剪力圖是是一條與x軸平行的直線。從從彎矩方程中可以以看出，C點(diǎn)是分分段函數(shù)的分界點(diǎn)點(diǎn)，也是彎矩圖的的分界點(diǎn)，彎矩圖圖是兩條互相平行行的斜直線，C點(diǎn)處彎矩出現(xiàn)突變變，突變值等于力力偶矩的大小。梁梁剪力圖和彎矩圖圖分別如圖8-15(b)、(c)所示。如果，最大彎矩發(fā)發(fā)生在集中力偶Me的作用處稍右的截截面上，。。不管集集中力偶Me作用在梁的任何截截面上，梁的剪力力都與8-15(b)一樣，。。由以上例題可總結(jié)結(jié)出彎矩、剪力和和荷載集度之間的的關(guān)系，從而得出出剪力圖和彎矩圖圖的分布規(guī)律：（1）梁上無(wú)均布布荷載作用的區(qū)段段，即q(x)=0的區(qū)段，F(xiàn)S圖為一條平行于梁梁軸線的水平直線線，M圖為一斜直線，當(dāng)當(dāng)FS(x)=0時(shí)，彎矩圖圖為水平直線；當(dāng)當(dāng)FS(x)>0時(shí)，彎矩圖圖為向右下傾斜的的直線；當(dāng)FS(x)<0時(shí)，彎矩圖圖為向右上傾斜的的直線。（2）梁上有均布布荷載作用的區(qū)段段，即q(x)=(c)的區(qū)段段，剪力圖為斜直直線，M圖為二次拋物線。。當(dāng)q(x)>0（荷載向上上）時(shí)，剪力圖為為向右上傾斜的直直線，彎矩圖為向向上凸的拋物線；；當(dāng)q(x)<0（荷載向下下），剪力圖為向向右下傾斜的直線線，彎矩圖為向下下凸的拋物線。（3）梁上有按線線性規(guī)律分布的荷荷載作用的區(qū)段，，即q(x)為一次線性函數(shù)數(shù)的區(qū)段，F(xiàn)S圖為二次拋拋物線，M圖為三次拋拋物線。（4）在集集中力作用用點(diǎn)處，F(xiàn)S圖出現(xiàn)突變變，方向、、大小與集集中力同，，而M圖沒(méi)有突變變，但由于于FS值的突變，，在集中力力的作用點(diǎn)點(diǎn)處形成了了尖點(diǎn)，突突變成的尖尖角與集中中力的箭頭頭同向。（5）在集集中力偶作作用處，F(xiàn)S圖沒(méi)有變化化，M圖發(fā)生突變變，順時(shí)針針力偶向下下突變，逆逆時(shí)針力偶偶向上突變變，其差值值即為該集集中力偶，，但兩側(cè)M圖的切線應(yīng)應(yīng)相互平行行。（6）剪力力為零的截截面上，彎彎矩值為極極值。根據(jù)上述結(jié)結(jié)論，在繪繪制梁的內(nèi)內(nèi)力圖時(shí)，，不必寫出出梁的內(nèi)力力方程，直直接由梁的的荷載圖就就能定出梁梁的剪力圖圖和彎矩圖圖。因而，，可以將梁梁按荷載的的分布情況況分成若干干段，利用用q(x)、FS(x)、M(x)三者之間間的關(guān)系判判斷各段梁梁的剪力圖圖和彎矩圖圖的形狀，，計(jì)算特殊殊截面上的的剪力值和和彎矩值，，進(jìn)而可以以繪制整個(gè)個(gè)梁的剪力力圖和彎矩矩圖?！纠?-7】簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁在中中間部分受受均布荷載載q=100kN/m作用，，如圖8-16(a)所示。。試?yán)L制簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁的剪剪力圖和彎彎矩圖。解：（1）求求支座反力力。此梁的的荷載及約約束力均與與跨中對(duì)稱稱，故反力力FA，F(xiàn)B為梁的DB段，由于剪力力為負(fù)值的常常量，故彎矩矩圖應(yīng)為向右右上傾斜的的的斜直線。因因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無(wú)集中力力偶作用，故故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有有突變，B支座處彎矩為為零。梁的彎彎矩圖如圖8-16(c)所示。2.3疊加加法作內(nèi)力圖圖1.疊加原理理在小變形和線線彈性假設(shè)的的基礎(chǔ)上，梁梁上任一荷載載所產(chǎn)生的內(nèi)內(nèi)力不受其他他荷載的影響響。也就是是說(shuō)，認(rèn)為各各荷載的作用用及作用效應(yīng)應(yīng)是相互獨(dú)立立、互不干擾擾的?？梢韵认确謩e計(jì)算出出各荷載單獨(dú)獨(dú)作用下效應(yīng)應(yīng)，再求出它它們的代數(shù)和和。這種方法法可以歸納為為一個(gè)帶有普普遍性的原理理，即疊加原原理，其內(nèi)容容可以表述為為：由幾個(gè)外外力所引起的的某一參數(shù)（（包括內(nèi)力、、應(yīng)力、位移移等），其值值等于各個(gè)外外力單獨(dú)作用用時(shí)所引起的的該參數(shù)的值值之總和。彎矩可以利用用疊加原理來(lái)來(lái)作梁的彎矩矩圖，即先分分別作出梁在在各項(xiàng)荷載單單獨(dú)作用下的的彎矩圖，然然后將其相對(duì)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)標(biāo)線性疊加，，就可得出梁梁在所有荷載載共同作用下下的彎矩圖。。對(duì)梁的整體運(yùn)用用疊加原理來(lái)繪繪制彎矩圖，事事實(shí)上是比較繁繁瑣的，并不實(shí)實(shí)用。如果先對(duì)對(duì)梁進(jìn)行分段處處理，然后，再再在每一個(gè)區(qū)段段上運(yùn)用疊加原原理進(jìn)行彎矩圖圖的線性疊加，，這種方法常稱稱為區(qū)段疊加法法。2.區(qū)段疊加法法繪制梁的彎矩矩圖首先討論圖8-17(a)所所示簡(jiǎn)支梁的彎彎矩圖的繪制。。如圖8-17(a)所示，簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁上作用的的荷載分兩部分分：跨間均布荷荷載q和端部集中力偶偶荷載MA和MB。當(dāng)端部力偶荷荷載MA和MB單獨(dú)作用時(shí)，梁梁的彎矩圖為一一直線，如圖8-17(b)所示。當(dāng)跨間間均布荷載q單獨(dú)作用時(shí)，梁梁的彎矩圖為一一條二次拋物線線，如圖8-17(c)所示示。當(dāng)跨間均布布荷載q和端部集中力偶偶MA和MB共同作用時(shí)，梁梁的彎矩圖如圖圖8-17(d)所示，是圖圖8-17(b)和圖8-17(c)兩個(gè)個(gè)圖形的疊加。。值得注意的是：：彎矩圖的疊加加，是指縱坐標(biāo)標(biāo)的疊加，即在在圖8-17(d)中，縱坐坐標(biāo)垂直于桿軸軸線AB，而不不垂直圖中虛線線。采用區(qū)段疊加法法繪制梁的彎矩矩圖，可歸結(jié)成成如下的兩個(gè)主主要步驟：（1）在梁上選選定外力的不連連續(xù)點(diǎn)（如集中中力作用點(diǎn)、集集中力偶作用點(diǎn)點(diǎn)、分布荷載作作用的起點(diǎn)和終終點(diǎn)等）作為控控制截面，并求求出控制截面的的彎矩值。（2）區(qū)段疊加法法畫彎矩圖。如控控制截面間無(wú)荷載載作用時(shí)，用直線線連接兩控制截面面的彎矩值就作出出了此段的彎矩圖圖。如控制截面間間有均布荷載作用用時(shí)，先用虛直線線連接兩控制截面面的彎矩值，然后后以此虛直線為基基線，疊加上該段段在該均布荷載單單獨(dú)作用下的相應(yīng)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的彎矩矩圖，從而繪制出出該段的彎矩圖。?！纠?-8】用用疊加法繪制如如圖8-18(a)所示外伸梁的的彎矩圖。解:外伸梁的彎矩圖圖等于集中力8-18(b)和均均布荷載8-18(c)單獨(dú)作用用下的彎矩圖疊加加而成。集中力作作用下彎矩圖如圖圖8-18e所示示，均布作用下彎彎矩圖如圖8-18f所示。兩個(gè)個(gè)彎矩圖相應(yīng)的縱縱坐標(biāo)相加，得到到所求外伸梁的彎彎矩圖如圖8-18(d)所示?！纠?-9】繪制制如圖8-19(a)所示簡(jiǎn)支梁梁的彎矩圖。解：(1)求支座座反力。由梁的靜靜力平衡方程可以以求出支座反力為為（2）作FS圖根據(jù)荷載作用的情情況，可以把整個(gè)個(gè)梁分成AC、CD和DB三段。AC和CD段無(wú)荷載作用，F(xiàn)S為常數(shù)，F(xiàn)S圖為一水平直線。。DB段有均布荷載作用用，F(xiàn)S圖是一條斜直線。。先出各控制截面面的剪力值如下:依次在ＦS圖上定出各點(diǎn)，繪繪制梁剪力圖如圖圖8-19(b)所示。（３）作Ｍ圖選擇Ａ、Ｃ、D和B作為控制截截面，求出出各控制截截面的彎矩矩值如下：：依次在M圖上定出各各點(diǎn)。在AC和CD無(wú)荷載作用用段，連直直線即為彎彎矩圖。而而在有均布布荷載作用用的段，先先連虛線，，再疊加上上以為跨度度的相應(yīng)簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁在均均布荷載q作用下的彎彎矩圖，就就可以作出出DB段的彎矩圖圖。整個(gè)梁梁的彎矩圖圖如圖8-19(c)所示。。而截面E的彎矩值為為：【例題8-10】試試?yán)L制制圖8-20(a)所示簡(jiǎn)支支梁的彎矩矩圖。FAFB(a)(b)解：（1）求求支座反力力。由梁的靜力力平衡方程程求得支座座反力為（2）計(jì)算算控制截面面的彎矩值值選擇Ａ、Ｂ、ＣＣ、Ｅ、ＦＦ和Ｇ作為控制截截面，求出出各控制截截面的彎矩矩值為(c)（3）繪制制彎矩圖依次在M圖上定出以以上各點(diǎn)。。在AB、BC、EF和FG各無(wú)荷載作作用段，連連直線即為為彎矩圖。。而在有均均布荷載作作用的CE段，先連虛虛線，再疊疊加上以CE為跨度的相相應(yīng)簡(jiǎn)支梁梁在均布荷荷載q作用下的彎彎矩圖，就就可以作出出CE段的彎矩圖圖。、整個(gè)個(gè)梁的彎矩矩圖如圖8-20(b)所示示。而梁的的正中間截截面D的彎矩值為為：此時(shí)，MD不是彎矩矩的極大值值。如果要求出出彎矩極大大值，可先先畫出剪力力圖如圖8-20(c)所示示，剪力為為零截面上上的彎矩為為彎矩極大大值，其值值大小為36.125kN··m。可見，梁的的正中間截截面D的彎矩值與與彎矩極大大值非常接接近。3梁的彎彎曲應(yīng)力3.1梁梁的彎曲正正應(yīng)力及正正應(yīng)力強(qiáng)度度條件1.梁的彎彎曲正應(yīng)力力在平面彎曲曲梁的橫截截面上，存存在著兩種種內(nèi)力———剪力和彎彎矩。橫截截面上既有有彎矩又有有剪力的彎彎曲稱為橫橫力彎曲。。如果梁橫橫截面上只只有彎矩而而無(wú)剪力，，這種彎曲曲稱為純彎彎曲。只有切向分分布的內(nèi)力力才能構(gòu)成成剪力，只只有法向分分布的內(nèi)力力才能構(gòu)成成彎矩，因因面在梁的的橫截面上上同時(shí)存在在著切應(yīng)力力τ和正應(yīng)應(yīng)力σ。（1）純彎彎曲梁橫截截面上的正正應(yīng)力計(jì)算算圖8-21所示示的簡(jiǎn)支支梁的CD段，因其其只有彎彎矩存在在而無(wú)剪剪力存在在，是一一種純彎彎曲變形形情況。。純彎曲曲是彎曲曲中最基基本的情情況，純純彎曲梁梁橫截面面上的正正應(yīng)力計(jì)計(jì)算公式式可以推推廣到橫橫力彎曲曲中使用用。因此此，研究究彎曲正正應(yīng)力從從純彎曲曲開始。。1）純彎彎曲變形形首先要進(jìn)進(jìn)行變形形實(shí)驗(yàn)，，觀察變變形情況況。假設(shè)設(shè)梁的橫橫截面為為矩形，，受力前前在梁側(cè)側(cè)面畫上上與軸線線平行的的縱向直直線和與與軸線垂垂直的橫橫向直線線，如圖圖8-22所示示。受力力后，梁梁上的縱縱向線（（包括軸軸線）都都彎曲成成相互平平行的曲曲線，靠靠近凹側(cè)側(cè)一邊的的縱向線線縮短，，而靠近近凸側(cè)一一邊的縱縱向線伸伸長(zhǎng)。梁梁上的橫橫向直線線仍為直直線，各各橫線間間發(fā)生相相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)，不再再相互平平行，但但仍與梁梁彎曲后后的軸線線垂直。。圖8-22圖圖8-23根據(jù)觀察察到的表表面現(xiàn)象象，對(duì)梁梁的內(nèi)部部變形情情況進(jìn)行行推斷，，作出如如下假設(shè)設(shè)：①梁的橫橫截面在在變形后后仍然為為一平面面，并且且與變形形后梁的的軸線正正交，只只是繞截截面內(nèi)某某一軸線線剛性地地轉(zhuǎn)了一一個(gè)角度度，該假假設(shè)稱為為梁彎曲曲變形的的平面假假設(shè)。②把梁看看成是由由許多縱縱向纖維維組成。。變形后后，由于于縱向直直線與橫橫向直線線保持正正交，即即直角沒(méi)沒(méi)有改變變，可以以認(rèn)為縱縱向纖維維沒(méi)有受受到橫向向剪切和和擠壓，，只受到到單方向向的拉伸伸或壓縮縮，即靠靠近凹面面纖維受受壓縮，，靠近凸凸面纖維維受拉伸伸。根據(jù)假設(shè)設(shè)，靠近近凹面纖纖維受壓壓縮，靠靠近凸面面纖維受受拉伸。。再根據(jù)據(jù)變形的的連續(xù)性性，縱向向纖維從從受壓縮縮到受拉拉伸的變變化之間間，必然然存在著著一層既既不受壓壓縮、又又不受拉拉伸的纖纖維，這這一層纖纖維稱為為中性層層。中性性層與橫橫截面的的交線稱稱為中性性軸，如如圖8-23所所示。因因此，梁梁純彎曲曲變形可可以看成成是各橫橫截面繞繞各自中中性軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)一角角度。2)純彎曲梁梁正應(yīng)力公式式推導(dǎo)根據(jù)純彎曲梁梁的變形特點(diǎn)點(diǎn)，下面從幾幾何方面、物物理方面和靜靜力學(xué)方面來(lái)來(lái)推導(dǎo)純彎曲曲正應(yīng)力公式式。①幾何方面圖示dx微段，其中x軸為假設(shè)的中中性軸(待確確定)，所以以O(shè)1O2在變形前后長(zhǎng)長(zhǎng)度不變，而而變形后的弧弧段O1O2的轉(zhuǎn)角為dq，考慮線段ab在變形后的線線應(yīng)變，式(a)是變變形的幾何關(guān)關(guān)系式，也稱稱變形協(xié)調(diào)條條件或變形協(xié)協(xié)調(diào)方程。它它表明梁橫截截面上任意一一點(diǎn)處的縱向向線應(yīng)變與該該點(diǎn)到中性軸軸的距離成正正比。②物理方面由于縱向纖維維只受單方向向的拉伸或壓壓縮，當(dāng)材料料在線彈性范范圍內(nèi)工作時(shí)時(shí)，根據(jù)虎克克定律有：則(a)式變變換成為：(b)式(b)尚不不能用來(lái)計(jì)算算彎曲正應(yīng)力力。因?yàn)槭街兄袨樽冃魏笾兄行詫拥那事拾霃剑€沒(méi)沒(méi)有求出，y為所求縱向纖纖維到中性層層的距離，雖雖然y值已知，但中中性層或者中中性軸的位置置也還沒(méi)有確確定。還需要要用靜力學(xué)的的方程來(lái)共同同求解。③靜力學(xué)方面面純彎曲梁的橫橫截面上只有有正應(yīng)力，而而無(wú)切應(yīng)力，，即。。橫截面上上的法向分布布內(nèi)力組成了了一個(gè)空間的的平行力系。。該力系對(duì)截截面形心的矩矩等于該截面面上的彎矩，，該力系在截截面法線方向向上的合力等等于該截面上上的軸力。。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)導(dǎo)可以得知：：中性軸一定定通過(guò)橫截面面的形心。根據(jù)彎矩和軸軸力的關(guān)系可可得出梁彎曲曲時(shí)中性層的的曲率表達(dá)式式為(8-1)式中：M——橫截面上上彎矩；IZ——橫截面對(duì)對(duì)中性軸的慣慣性矩。式(8-1)是梁彎曲變變形的一個(gè)基基本公式。當(dāng)當(dāng)彎矩M越大，梁彎曲曲變形越大，，中性層的曲曲率半徑越小小；EIZ越大，曲率半半徑越大，梁梁彎曲變形越越小。EIZ是梁抵抗彎曲曲變形的能力力，稱為梁的的抗彎剛度。。將(8-1)式代入(b)式，得：：(8-2)式(8-2)稱為純彎曲曲梁橫截面上上正應(yīng)力計(jì)算算公式。式中：y——橫截面上上所求應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)至中性軸的的距離。幾點(diǎn)說(shuō)明：①公式(8-2)的適用用范圍為線彈彈性范圍。②計(jì)算應(yīng)力時(shí)時(shí)可以用彎矩矩M和距離y的絕對(duì)值代入入式中計(jì)算出出正應(yīng)力的數(shù)數(shù)值，再根據(jù)據(jù)變形形狀來(lái)來(lái)判斷是拉應(yīng)應(yīng)力還是壓應(yīng)應(yīng)力。③在應(yīng)力計(jì)算算公式中沒(méi)有有彈性模量E，說(shuō)明正應(yīng)力力的大小與材材料無(wú)關(guān)。3)橫截面上上正應(yīng)力的分分布規(guī)律和最最大正應(yīng)力從式(8-2)可以看出出，梁橫截面面某點(diǎn)的正應(yīng)應(yīng)力σ與該橫橫截面上彎矩矩M和該點(diǎn)到中性性軸的距離y成正比，與該該橫截面對(duì)中中性軸的慣性性矩成反比。。當(dāng)橫截面上上彎矩M和慣性矩IZ為定值時(shí)，彎彎曲正應(yīng)力σσ與y成正比。當(dāng)y=0時(shí)，σ=0，中性軸軸各點(diǎn)正應(yīng)力力為零，即中中性層纖維不不受拉伸和壓壓縮。中性軸軸兩側(cè)，一側(cè)側(cè)受拉，另一一側(cè)受壓，距距離中性軸越越遠(yuǎn)，正應(yīng)力力越大。到上上下邊緣y=ymax正應(yīng)力最大，，一側(cè)為最大大拉應(yīng)力σtmax，而另一側(cè)為為最大壓應(yīng)力力σcmax。正應(yīng)力分布布規(guī)律如圖8-25所示示，橫截面上上y值相同的各點(diǎn)點(diǎn)正應(yīng)力相同同。最大應(yīng)力值為為：(8-3)式中：———彎曲曲截面系數(shù)（（抗彎截面系系數(shù)或抵抗矩），它僅與與橫截面的的形狀尺寸有有關(guān)，衡量截截面抗彎能力力的幾何參數(shù)數(shù)，常用單位位是mm3或m3。圖8-25對(duì)于高為h，寬為(b)的矩形截面(圖8-26(a))：：對(duì)于直徑為(d)的圓形截面(圖8-26(b))：：各種常用型鋼鋼的慣性矩和和彎曲截面系系數(shù)可從型鋼鋼表中查取。。當(dāng)梁的橫截面面不對(duì)稱于中中性軸時(shí)，截截面上的最大大拉應(yīng)力和最最大壓應(yīng)力并并不相等，如如圖8-27所示中的T形截面。這這時(shí)，應(yīng)把y1和y2分別代入公式式，計(jì)算截面面上的最大正正應(yīng)力。最大大拉應(yīng)力為最大壓應(yīng)力為為圖8-27(2)橫力力彎曲梁橫截截面上的正應(yīng)應(yīng)力計(jì)算橫力彎曲時(shí)，，由于橫截面面上存在切應(yīng)應(yīng)力，所以，，彎曲時(shí)橫截截面將發(fā)生翹翹曲，這勢(shì)必必使橫截面再再不能保持為為平面(平面面假設(shè)不適用用)。特別是是當(dāng)剪力隨截截面位置變化化時(shí)，相鄰兩兩截面的翹曲曲程度也不一一樣。按平面面假設(shè)推導(dǎo)出出的純彎曲梁梁橫截面上正正應(yīng)力計(jì)算公公式，用于計(jì)計(jì)算橫力彎曲曲梁橫截面上上的正應(yīng)力是是有一些誤差差的。但是當(dāng)當(dāng)梁的跨度和和梁高比l/h大于5時(shí)，其其誤差在工程程上是可以接接受的。這時(shí)時(shí)可以采用純純彎曲時(shí)梁橫橫截面上的正正應(yīng)力公式來(lái)來(lái)近似計(jì)算。?！纠?-11】長(zhǎng)為的矩形截截面懸臂梁，，在自由端作作用一集中力力F，已知b＝120mm，h＝180mm、＝2m，，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截截面上a、b、c各點(diǎn)的的正應(yīng)力。圖8-282.正應(yīng)力強(qiáng)度條條件對(duì)于等截面直梁，，梁最大彎曲正應(yīng)應(yīng)力發(fā)生在最大彎彎矩所在的橫截面面上距中性軸最遠(yuǎn)遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。最大大彎矩所在的橫截截面稱為正應(yīng)力的的危險(xiǎn)截面。在該該危險(xiǎn)截面上，離離中性軸最遠(yuǎn)的各各點(diǎn)其彎曲正應(yīng)力力的值最大，稱為為正應(yīng)力的危險(xiǎn)點(diǎn)點(diǎn)。梁彎曲正應(yīng)力危險(xiǎn)險(xiǎn)點(diǎn)上有梁的最大大彎曲正應(yīng)力σmax，若梁的容許應(yīng)力力為[σ]，則彎彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條條件為：（8-4）等截面直梁的彎曲曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件件為：（8-5）對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)強(qiáng)度不同的脆性材材料，由于[σt]≠[σc]，因此彎曲正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條件分別別為：（8-6）（8-7）式中：σtmax和σcmax分別表示梁的最大大彎曲拉應(yīng)力和最最大彎曲壓應(yīng)力。。【例8-12】梁梁的荷載如圖8-29所示。已知知截面對(duì)形心軸的的慣性矩Iz=4.03×107mm4，材料料的抗拉強(qiáng)度=50MP(a)，，抗壓強(qiáng)度=100MP(a)。。試按正應(yīng)力強(qiáng)度度條件校核梁的強(qiáng)強(qiáng)度。解:(1)畫梁的彎矩矩圖如圖8-29(c)所示。梁梁的最大正彎矩發(fā)發(fā)生在C截面上，梁的最大大負(fù)彎矩發(fā)生在B截面上，最大正、、負(fù)彎矩的值分別別為3.2提高梁抗抗彎強(qiáng)度的措施梁的彎曲強(qiáng)度主要要取決于梁的彎曲曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件件，即：（1）盡量降低梁梁的彎矩；（2）提高梁的抗抗彎截面模量；（3）同時(shí)降低梁梁的彎矩和提高抗抗彎截面模量———等強(qiáng)度梁。1.合理布置梁的的支承及載荷（1）合理布置梁梁的支座圖8-322.選擇合理的截截面形狀最合理的截面形狀狀是用最少的材料料獲得最大的抗彎彎截面模量的截面面。為了比較各種種截面的經(jīng)濟(jì)程度度，可用抗彎截面面模量WZ與截面面積A的比值WZ/A作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。。WZ/A越大，就越經(jīng)濟(jì)濟(jì)。表8-1列列出了五種截面面的WZ/A值。表中h代表截面高度，，圓環(huán)形截面的的內(nèi)徑用d表示（d=0.8h）。從表中數(shù)據(jù)可知知，實(shí)心圓截面面最不經(jīng)濟(jì)，矩矩形截面次之，，空心圓截面較較好，槽鋼和工工字鋼截面最佳佳。顯然，這和和梁彎曲時(shí)橫截截面上的正應(yīng)力力分布有關(guān)。在在離中性軸最遠(yuǎn)遠(yuǎn)處的正應(yīng)力達(dá)達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)時(shí)，在中性軸附附近處的正應(yīng)力力仍然很小，也也就是說(shuō)，中性性軸附近的材料料沒(méi)有充分利用用。為了提高材材料的利用率，，應(yīng)當(dāng)盡可能將將材料放置在離離中性軸較遠(yuǎn)的的地方。對(duì)于抗壓強(qiáng)度大大于抗拉強(qiáng)度的的脆性材料，即即〔σc〕>〔σt〕的材料，例如如鑄鐵，如果采采用對(duì)稱于中性性軸的橫截面，，則由于彎曲拉拉應(yīng)力達(dá)到材料料容許拉應(yīng)力〔〔σt〕時(shí)，彎曲壓應(yīng)應(yīng)力沒(méi)有達(dá)到容容許壓應(yīng)力〔σσc〕，在受受壓一側(cè)側(cè)材料沒(méi)沒(méi)有充分分利用。。因此，，應(yīng)采用用不對(duì)稱稱于中性性軸的截截面，并并使中性性軸偏向向受拉的的一側(cè)，，即使得得最大拉拉壓應(yīng)力力同時(shí)達(dá)達(dá)到材料料的允許許應(yīng)力值值。3.采用用等強(qiáng)度度梁按正應(yīng)力力設(shè)計(jì)梁梁的截面面時(shí)，是是以梁的的最大彎彎矩為依依據(jù)的。。對(duì)于等等截面梁梁，當(dāng)梁梁危險(xiǎn)截截面危險(xiǎn)險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力值達(dá)達(dá)到容許許應(yīng)力時(shí)時(shí)，其余余彎矩小小的截面面上的材材料沒(méi)有有充分利利用。為為提高材材料的利利用率、、提高梁梁的強(qiáng)度度，可以以設(shè)計(jì)成成各截面面應(yīng)力值值均同時(shí)時(shí)達(dá)到容容許應(yīng)力力值的““等強(qiáng)度度梁”。。其彎曲曲截面系系數(shù)WZ，可按下下式確定定：工程中為為了加工工方便和和滿足結(jié)結(jié)構(gòu)上的的需要，，常用階階梯狀的的變截面面梁（階階梯軸））來(lái)代替替理論上上實(shí)等強(qiáng)強(qiáng)度梁。。※3.3梁的的彎曲切切應(yīng)力及及切應(yīng)力力強(qiáng)度條條件梁在橫力力彎曲時(shí)時(shí)，梁的的橫截面面上同時(shí)時(shí)有彎矩矩M和剪力FS。因此，，橫截面面上不僅僅有彎矩矩M對(duì)應(yīng)的，，還有剪剪力FS對(duì)應(yīng)的切切應(yīng)力。。本節(jié)主主要研究究等截面面直梁切切應(yīng)力的的計(jì)算及及切應(yīng)力力強(qiáng)度條條件。1.矩形形截面梁梁的切應(yīng)應(yīng)力（1）公公式推導(dǎo)導(dǎo)圖8-33所示示的矩形形截面梁梁高度為為h，寬度為為b，沿截面面的對(duì)稱稱軸y截面上有有剪力FS。因?yàn)榱毫旱膫?cè)面面沒(méi)有切切應(yīng)力，，根據(jù)切切應(yīng)力互互等定理理，在橫橫截面上上靠近兩兩側(cè)面邊邊緣的切切應(yīng)力方方向一定定平行于于橫截面面的側(cè)邊邊。一般般矩形截截面梁的的寬度相相對(duì)于高高度是比比較窄的的，可以以認(rèn)為沿沿截面寬寬度方向向切應(yīng)力力的大小小和方向向都不會(huì)會(huì)有明顯顯變化。。所以對(duì)對(duì)橫截面面上切應(yīng)應(yīng)力分布布作如下下的假設(shè)設(shè)：橫截截面上各各點(diǎn)處的的切應(yīng)力力都平行行于橫截截面上的的剪力FS，沿截面面寬度均均勻分布布。用相距dx的兩個(gè)橫截面面m－m和n－n從梁中切一微微段(圖8-33(a))。為研究究方便，設(shè)在在微段上無(wú)橫橫向外力作用用，則由彎矩矩、剪力和荷荷載集度間的的關(guān)系可知：：橫截面m－m上和n－n上剪力相等，，均為FS。但彎矩不同同，分別為M和M＋FSdx(圖8-33(b))。。由平衡方程程ΣFX=0，導(dǎo)出（（過(guò)程從略））矩形截面梁梁橫截面上切切應(yīng)力公式（8-8））式中：———橫截面面上的剪力；；——整個(gè)截面面對(duì)中性軸的的慣性據(jù)；——橫截面上上求切應(yīng)力處處的水平線以以下（以上））部分面積對(duì)對(duì)中性軸的靜靜矩；——矩形截面面寬度。（2）切應(yīng)力力分布規(guī)律及及最大應(yīng)力2.其它形狀狀截面的切應(yīng)應(yīng)力（1）工字形形截面梁工字形梁的橫橫截面由上、、下翼緣和中中間腹板組成成（圖8-35）。腹板板是矩形截面面，所以腹板板上切應(yīng)力計(jì)計(jì)算可按(8-8)式進(jìn)進(jìn)行，翼板上上的切應(yīng)力的的數(shù)值比腹板板上切應(yīng)力的的數(shù)值小許多多，一般忽略略不計(jì)。其切切應(yīng)力分布如如圖8-35所示。最大切應(yīng)力力仍然發(fā)生生在中性軸軸處。在腹腹板與翼板板交接處，，由于翼板板面積對(duì)中中性軸的靜靜矩仍然有有一定值，，所以切應(yīng)應(yīng)力較大。。式中：————半個(gè)截面面對(duì)中性軸軸的靜矩。。（2）圓形形截面梁和和圓環(huán)形截截面梁圓形截面梁梁和和圓環(huán)環(huán)形截面梁梁如圖8-36所示示，它們的的最大切應(yīng)應(yīng)力均發(fā)生生在中性軸軸處，沿中中性軸均勻勻分布，計(jì)計(jì)算公式分分別為圖8-36【例8-13】如如圖56a號(hào)工工字鋼制成成的簡(jiǎn)支梁梁，試求梁梁的橫截面面上的最大大切應(yīng)力和和同一橫截截面上腹板板a點(diǎn)處(圖(b))的的切應(yīng)力。。梁的自重重不計(jì)。解（1）繪繪制剪力圖圖如圖8-37所示