圓錐曲線的最值問題常見類型及解法

關(guān)于圓錐曲線的最值問題常見類型及解法第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日類型一:兩條線段最值問題利用圓錐曲線的定義求解根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法。關(guān)鍵：用好圓錐曲線的定義第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例1、已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A（1，4），P是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

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思維導(dǎo)圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點(diǎn)A、P與兩焦點(diǎn)之間的關(guān)系兩點(diǎn)之間線段最短FAPyx第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例1、已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A（1，4），P是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

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解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F/FAPyx第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例2：如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離為定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|=10+(|MA|-|MF’|)≤10+|AF’|因此，當(dāng)|AF’|最大時(shí)，|MA|+|MF|是最大值。具體解題過程如下：已知橢圓的右焦點(diǎn)F，且有定點(diǎn)A（1，1），又點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。問|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出點(diǎn)M的坐標(biāo)分析：第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日則F’的坐標(biāo)為(－4,0)解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F’由橢圓的定義得：|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|連AF’，延長交橢圓于M’則||MA|-|MF’||≤|AF’|當(dāng)且僅當(dāng)M,A,F’三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立。∴|MA|-|MF’|的最大值為|AF’|，這時(shí)M與M’

重合∵|AF’|=∴|MF|+|MA|的最大值為要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大，問題：本題解題到此結(jié)束了嗎？最小值為第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日變式訓(xùn)練：已知P點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，那么P點(diǎn)到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與P點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為___，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_.Qxy第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日類型二：圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值切線法當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上去的最值時(shí)的點(diǎn)。第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例1：在圓x2+y2=4上求一點(diǎn)P，使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。略解：圓心到直線L的距離d1=所以圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為d=d1-r思考：例1是否還有其他解題方法？問題：直線L的方程改為3x-2y-6=0，其結(jié)果又如何？第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日∴圓上的點(diǎn)到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離另解：設(shè)平行于直線L且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0∵直線與圓相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±∴m2=52，代入圓x2+y2=4整理得：第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例2、求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).思維導(dǎo)圖：求與平行的橢圓的切線切線與直線的距離為最值，切點(diǎn)就是所求的點(diǎn).xyo第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例2、求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)橢圓與平行的切線方程為第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日變式訓(xùn)練：

動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到直線的距離最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例3求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離，并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：類型三：圓錐曲線上點(diǎn)到x軸（Y軸）上某定點(diǎn)的距離的最值第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日此時(shí)，所以的最大值為即此時(shí)Q的坐標(biāo)為：設(shè)點(diǎn)Q(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則又因?yàn)閤2=4-4y2所以（－1≤y≤1）解：例3求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離，并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日思考題：第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日變式訓(xùn)練：

已知雙曲線C：，P為C上任一點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），則|PA|的最小值為________.第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例1：已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點(diǎn)A(4,4)、B(1,-2)的連線為底邊的△ABP，其頂點(diǎn)P在拋物線的弧AB上運(yùn)動(dòng)，求：△ABP的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

動(dòng)點(diǎn)在弧AB上運(yùn)動(dòng)，可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到線段AB所在直線AB的最大距離即為點(diǎn)P到線段AB的最大距離，也就求出了△ABP的最大面積。要使△ABP的面積最大，只要點(diǎn)P到直線AB的距離d最大。設(shè)點(diǎn)P()解：由已知：

|AB|=2x-y-4=0直線AB：*解題過程如下：*分析：類型四第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日d=由已知：－2＜y＜4∴dmax=此時(shí)，y=1,x=d=∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)∴Smax=第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日我們可以連接AB，作平行AB的直線L與拋物線相切，求出直線L的方程，即可求出直線L與AB間的距離，從而求出△ABP面積的最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：y2-2y+2m=0設(shè)直線L與拋物線y2=4x相切，直線AB：2x-y-4=0直線L的方程為：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=此時(shí)，y=1,x=∴直線L的方程為：2x-y+=0兩直線間的距離d=另解：把（*）代入拋物線的方程得其他過程同上。第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日回顧反思與能力提升：1、此法用了哪種數(shù)學(xué)思想方法？2、有沒有別的辦法？3、要注意畫出草圖，根據(jù)圖形確定何時(shí)取最大值，何時(shí)取最小值.第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日類型五:基本不等式法先將所求最值的量用變量表示出來，再利用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值.這種方法是求圓錐曲線中最值問題應(yīng)用最為廣泛的一種方法.第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值.AFEBxy思維導(dǎo)圖：用k表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值.解析：依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為直線AB、EF的方程分別為設(shè)第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及上式，點(diǎn)E、F到AB的距離分別為∴四邊形AFBE的面積為第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日變式訓(xùn)練：

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值.第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日方法四:函數(shù)法把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，通過研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.關(guān)鍵：建立函數(shù)關(guān)系式第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日例5、點(diǎn)A、B分別是橢圓的長軸的左右端點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，P在橢圓上，位于x軸的上方，且PA⊥PF若M為橢圓長軸AB上一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|.求橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.xyABFMP思維導(dǎo)圖：把所求距離表示為橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)求這個(gè)函數(shù)的最小值第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日解析：由已知可得點(diǎn)A(-6，0)、F(4,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則由(1)、(2)及y>0得