張量和應(yīng)力張量

關(guān)于張量和應(yīng)力張量第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1張量的基本概念1.1角標(biāo)符號1.2求和約定1.3張量的基本概念1.4張量的某些基本性質(zhì)第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1.1角標(biāo)符號帶有下角標(biāo)的符號稱為角標(biāo)符號，可用來表示成組的符號或數(shù)組。例：直角坐標(biāo)系的三根軸x、y、z→x1、x2、x3→xi(i=1，2，3)；空間直線的方向余弦l、m、n→lx、ly、lz→li(i=x，y，z)；表示一點應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量σxx、σxy…→σij(i，j=x，y，z)；等等。第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一如果一個角標(biāo)符號帶有m個角標(biāo)，每個角標(biāo)取n個值，則該角標(biāo)符號代表nm個元素。例σij(i，j=x，y，z)有32=9個元素(即九個應(yīng)力分量)。第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1.2求和約定求和約定：如果在算式的某一項中有某個角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對該角標(biāo)自1～n的所有元素求和。例空間中的平面方程為：采用角標(biāo)符號A、B、C→a1、a2、a3→ai(i=1，2，3)x，y，z→xi(i=1，2，3)上式可寫成：采用求和約定則可簡記為：第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一求和約定-合并例例1例2重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱為啞標(biāo)，不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱為自由標(biāo)。自由標(biāo)不包含求和的意思，但它可表示該表達(dá)式的個數(shù)。第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一求和約定-展開例例1例2例3第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一例4例5第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一例6第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1.3張量的基本概念只需一個實數(shù)就可以表示出來簡單的物理量稱為標(biāo)量。例如距離、時間、溫度等。需用空間坐標(biāo)系中的三個分量來表示的物理量稱為矢量。例如位移、速度、力等。對于復(fù)雜的物理量，例如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個矢量(也即九個分量)才能完整地表示出來，這就是張量。張量是矢量的推廣，與矢量相類似，可以定義為：由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合稱為張量。第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一物理量P在空間坐標(biāo)系xi(i=1，2，3)中存在九個分量Pij(i，j=1，2，3)；在新空間坐標(biāo)系xk(k=1’，2’，3’)中存在九個新分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。坐標(biāo)系間關(guān)系九個方向余弦可記為lki或lrj(i，j=1，2，3；k，r=1’，2’，3’)。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik，

lrj=ljr。l3’3l3’2l3’1x3’l2’3l2’2l2’1x2’l1’3l1’2l1’1x1’x3x2x1第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一張量概念及其判別式若物理量P在坐標(biāo)系xi中的九個分量Pij與在坐標(biāo)系xk中的九個分量Pkr之間存在下列線性變換關(guān)系：則這個物理量則為張量。用矩陣表示：張量所帶的下角標(biāo)的數(shù)目稱為張量的階數(shù)。Pij是二階張量，矢量是一階張量，而標(biāo)量則是零階張量。第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一二階張量的判別式的矩陣形式第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1.4張量的某些基本性質(zhì)存在張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f=f(Pij)，其值與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，即不隨坐標(biāo)而變，這樣的函數(shù)就叫做張量的不變量。對于二階張量，存在三個獨立的不變量。張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應(yīng)分量之和或差定義為另一同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一張量可分對稱張量、非對稱張量、反對稱張量若Pij=Pji，則為對稱張量；若Pij≠Pji，則為非對稱張量；若Pij=-Pji，則為反對稱張量。二階對稱張量存在三個主軸和三個主值如取主軸為坐標(biāo)軸，則兩個下角標(biāo)不同的分量都將為零，只留下兩個下角標(biāo)相同的三個分量，稱為主值。第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期一1.5應(yīng)力張量外力確定后，受力物體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)即已確定。但表示該點應(yīng)力狀態(tài)的各個分量在不同坐標(biāo)系中將有不同的數(shù)值，因此在不同坐標(biāo)系中該點的應(yīng)力分量之間應(yīng)該存在一定的關(guān)系。設(shè)受力物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)為：在xi(i=x，y，z)坐標(biāo)系中為σij(i，j=x，y，z)；在xk(k=x’，y’，z’)坐標(biāo)系中為σ