微積分不定積分的概念及性質(zhì)

關于微積分不定積分的概念及性質(zhì)第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一運算是一種對應法則。設A是一個非空集合，對于A中的任意兩個元素a，b，根據(jù)某種法則，使A中有唯一確定的元素c與它們對應，我們就說這個法則是A中的一種運算。給了A的任意兩個元素a和b，通過所給的運算，可以得到一個結(jié)果c。反過來，如果已知元素c，以及元素a，b中的一個，按照某種法則，可以得到另一個元素，這樣的法則也定義了一種運算，這樣的運算叫做原來運算的逆運算。如：加法與減法，乘法與除法，指數(shù)與對數(shù)。微分與積分也互為逆運算。逆運算第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一？運算求導運算與逆運算冪開方第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念(primitivefunction)定義第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一關于原函數(shù)的說明：（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分(indefiniteintegral)的定義：被積表達式積分變量定義原函數(shù)函數(shù)的全體原函數(shù)等于它的某個原函數(shù)加上一個任意常數(shù)！求和：sum第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一4.被積函數(shù)是原函數(shù)的導數(shù),被積表達式是原函數(shù)的微分。5.不定積分表示那些導數(shù)等于被積函數(shù)的所有函數(shù)，或者其微分等于被積表達式的所有函數(shù),因此決不能漏寫積分常數(shù)C.2.求已知函數(shù)的全體原函數(shù)或不定積分的運算稱為積分運算。

3.已知原函數(shù)求導函數(shù),用微分運算；已知導函數(shù)求原函數(shù)，用積分運算。微分和積分是互逆的運算。1.直接函數(shù)和反函數(shù)是一對概念；原函數(shù)和導函數(shù)是一對概念，不可混淆。第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例1

求解解例2

求第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例3某商品的邊際成本為,求總成解其中

為任意常數(shù)本函數(shù).第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐標處,任一曲線的切線有相同的斜率.0xy在同一第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一微分(求導)運算與求不定積分的運算是互逆的.三、不定積分的性質(zhì)例第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.四、基本積分表第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一基本積分表是常數(shù));說明：第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例4

求積分解第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）四、不定積分的性質(zhì)第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例5

求積分解稱為定積分的線性性質(zhì)。第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一20練習求積分解不能直接利用積分公式，需先變形基本積分公式第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例6

求積分解第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例7

求積分解第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一練習求積分解:第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例8

求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數(shù)和的積分第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一25練習求積分解:第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一例9

求積分解:第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一解所求曲線方程為第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一基本積分表（1）～（13）不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關系五、小結(jié)第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一思考題符號函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期一思考題解答不存在.假設有原函數(shù)故假設錯誤所以在內(nèi)不存在