五套卷線代題答案

B(

,

1 )

；B(

,

233)

1

1001 2 52 3 所以Bx的通解為k 11

21 1 （1）令k11k22k330，兩邊通乘AEk11(AE)k22(AE)k33(AE)k1k2k3所以1,2,3線性無關(guān) 1（2）A(,,)(,0,)(,,)

1 令P(1,2,3P可逆 1有P1AP 1B，故A與B相似 1 因為EB (1)2 所以B的特征值為0，1，1，則A的特征值為0(BE)0的解向量為

100A的特征值是1的特征向量為

,

10 3 00(B0E)0的解向量為

000A的特征值是0的特征向量為

,

01 3 00所以，當(dāng)A的特征值為1時，特征向量為k11（其中k10）A的特征值為0時，特征向量為k22（其中k20）.（2）A的二重特征值為1能提供一個線性無關(guān)的特征向量k11，所以A不能相似對角化.1（1）1又因為AB0，并且B能夠提供兩個線性無關(guān)的列向量0

23T23P1,2,3Px 23 34 455

，則可由

因為A121A20A30,且由（2）可知5152 所以AnAn(5535 4（1）由（Ⅱ）可知其特解為(1,3110)T，由于（Ⅰ（Ⅱ）是同解，將其代入（Ⅰ）p3q2r2，x13x3由于（Ⅱ）的導(dǎo)出組xx

的系數(shù)矩陣的秩為 x 12 3所以的通解為xk 11 1 解 由于A為實對稱矩陣，則其不同特征值的特征向量正交，令r的特征向量為(xx x1x2x30x2xx 由于1,2,3正交，則單 1 11,12,1 3

6 2 令Q,,，則由QT 所以

3 313133131

7311313（1）1 1 11(,,

,)

1

a

b a b 0 0

a

5

a 若表示不唯一，則a1,b（2）當(dāng)a1,b0時(

,

0110111112100000000,) 00所以1,3,4為極大無關(guān)組6、解題知A的特征值為211,則A*的特征值為121A的特征值為2的特征向量為1,11A的特征值為1的特征向量為(xxx)T，則xxx

*

2因為 A 2

A2122122則

*A

BA12AB同時左乘A1，右乘ABBA2EB2(E則B的特征值為2,1,1，其對應(yīng)的特征向量為12223 令P，則P 11所以BPP1 1

故XTBX2xx2xx 0

1 1 7、解（1）由 （2）當(dāng)a2時，A

5 6

AE

A*

AA1A* 6 所以

同理，當(dāng)a2時，A

5 則A* ，所以B 28（1）A是實對稱AATA22E222又因

A0，且

2E

A224

A2所以A4，則A*的特征值為2

，則0 2 （2）由（1）知f(xxx2x22 12 x 12y

13 13則y 3(x2x)x 3 13 13 x 3yy3

12 12 1321323所以xCy中可逆矩陣C 33

，規(guī)范形為y2y2y2 9、解（1）由

A

1a2)(a1)2，則a1或 1 111 111100

11

，此時rA)12，則a2 1所以A 1 2 EB1

b

6,b32）當(dāng)2不是重根283(b6)k2)2k24,b3（2）由（1）知ab 1

則A 1 B 2 5 32 032 因此可求出A（BBT)32 32 32 3 所32 032 f(x,x,x)(x,x,x)T32 32(x,x,x 32 3 =x23xx2x23xx 1 2 (x3x)217

6x)242 2

17 17yx3

x

3y92 2

2 176

9令

x

x

y

則p

6

17

17 y

x

1

標(biāo)準(zhǔn)形f(xxxy217y242

17 10、解（1）由題知二次型矩陣A 1有特征值0,1,4AA

a3b11

1

1（2）由（1）知A 31,則EA 3 1 11 1 令BEA，若Bx有無窮多解B1 3 1當(dāng)014時Bx有可能由無窮1）當(dāng)4111，此時r(B)rB1所以2）當(dāng)1 0

3

，此時r(B)rB

3 所以3）當(dāng)011 ，此時r(B11 所綜上0時有無窮11、解（1）由于A的第一行不是零向量，所以rA)0此外，由ABOA0，因此rA3，于是有rA)1或rA)2當(dāng)rA)1時，此時Ax0的基礎(chǔ)解系中應(yīng)該有兩個線性無 c 由于此時A等行變換 0，所以Ax0 0 ax1bx2cx3 此外，由ABO可a2b3c 3a6bkc 由②③得c3k0，即c0或c0，但k9 3 當(dāng)c0時，不妨設(shè)a0，則①有解

和00,1T， T T1時Ax0的通解為xC 1

C20,

（其中C1,C2為任意常數(shù) a bc當(dāng)c0但k9時，①有解1,0, c

和0,1, c c

此時Ax0的通解 a bxC11,0,cC20,1,c

（其中C1,C2為任意常數(shù) ABO知解為(12,3)T因此Ax0的通xC(12,3)T（其中C為任 常數(shù) （2）由（1）知r(A)1且c0時Ax0的基礎(chǔ)解系為 ,1,0 0,0,1T，設(shè),,)T與 1aa2 2 a3于是可a2a1

02,10)T，由此可得正交向量組 ,1,2，將其單位化15251525 （3）記yyyy) yTBy yy6yy1 1(y2y3y)2 z1y12y2

y1z13z2

2記

2

yy

2

即yCz其中C 1 0 （可逆矩陣zzzz) 1yTByz2(k1 由此得到B(C1)T k C1，即CTBC k 0 0 12、解（1）由1 (e,e,e)(e,e,e) 312 12

2 得(eeeeee

，所12 12300b2e1e23e311e5e132 2 由此得到xxx

13 , 設(shè)A的對應(yīng)特征值為0的特征向量，0 (EA) 0 0由此得到a1,b0（順便推出2 （2）將（1）算得的a,b的值代入AAA00由EA 5 (00重 0 0 22)21A有特征值1,2（ 5 由于(2EA) 0的秩為1，因此對應(yīng)特征值2有兩個線性 0 個外，還有對應(yīng)1的一個特征向量A能與對角陣相似.5A的對應(yīng)1的特征向量為aaa，5 0

a1(1EA) 0