2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強基?？贾v義專題11：三角函數(shù)綜合培優(yōu)【原卷版】

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強基計劃專題11三角函數(shù)綜合真題特點分析：【2021中科大5】求函數(shù)的取值范圍．2.【2020年武大】設(shè)正整數(shù)使得關(guān)于方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實根，則（）A.B.C.D.，，成等差數(shù)列3.【2020年武大15】設(shè)函數(shù)，則下列錯誤的是（）A.方程有解B.方程在內(nèi)解的個數(shù)為偶數(shù)C.的圖像有對稱軸D.的圖像有對稱中心二、知識要點拓展一．兩角和、差的三角公式：1.正弦：2.余弦：3.正切：二．正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。，三．二倍角公式：1.余弦：2.正弦：、（3）正切：四．輔助角公式：?注意：有實數(shù)解五．半角公式（萬能公式）：六．正弦定理：（為三角形外接圓的半徑）七．余弦定理：八．三角形面積公式：三角這一章的特點是公式多，除了高考要求一些基本知識點和公式之外，自主招生考試中還有一些需要進一步拓展的公式及結(jié)論，歸納如下：三倍角公式：，，。?注意：利用三倍角公式可以推導(dǎo)出這一特殊值：令，則，，。顯然，（舍去負(fù)根）。常見三角不等式：1.若，則；2.若，則.3..三．和差化積與積化和差公式：和差化積積化和差四．三角形中的一些三角恒等式：在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。以上十個式子中，前六個式子可由降冪公式、和差化積、積化和差得到。⑦式與⑧式是等價的，⑨式與⑩式也是等價的。這里尤其值得一提的是⑦式：。這是一個非常有用的式子，在自主招生考試中經(jīng)常用到，希望引起足夠的重視。?注意：銳角中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如。事實上，由，即得。由此對任意銳角，總有。五．三角恒等式：三、典例講解例1．（清華）函數(shù)的值域是。例2．（復(fù)旦）在中，，求。例3．（北京）求使得在有唯一解的。例4．（北京）的三邊滿足，為的內(nèi)角。求證：。例5．（清華）、、為的內(nèi)角，且不為直角三角形。求證：；當(dāng)，且的倒數(shù)成等差數(shù)列時，求的值。例6．的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：．例7．在中，猜想的最大值，并證明之。例8．（清華）求的值。例9．（上海交大）是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得：最大角是最小角的兩倍；最大角是最小角的三倍；若存在，求出該三角形；若不存在，請說明理由。四、真題訓(xùn)練1.（復(fù)旦）已知，則（）。（B）（C）（D）2.（復(fù)旦）已知函數(shù)，其中x為實數(shù)且k為整數(shù)，在的最小正周期是（）（B）（C）（D）3.（復(fù)旦）當(dāng)和取遍所有實數(shù)時，函數(shù)所能達(dá)到的最小值為（）（A）1（B）2（C）3（D）44.（復(fù)旦）已知是關(guān)于x的方程的兩個根，這里，則（）（B）（C）（D）5.（武大）如果，那么的取值范圍是（）。（B）（C）（D）6.（復(fù)旦）設(shè)。且滿足，則的取值范圍是（）（B）（C）（D）7.（上海交大）若，則。8.（南大）。9.（復(fù)旦）設(shè)，設(shè)，若存在，使恒成立，在的范圍為。10.（南開）實數(shù)A、B、C滿足，，求證：。11.（復(fù)旦）在中，，AD是A的角平分線，且。求k的取值范圍；若，問k為何值時，BC最短？12.（五校聯(lián)考）中，，求。訓(xùn)練1.三個數(shù)a,b,c，且滿足，，，按從小到大的順序排列這三個數(shù)．2.已知：定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．若不等式對任意恒成立．求實數(shù)的取值范圍．3.在非直角中，邊長滿足．證明：；是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件