2021屆上海市XX中學高三上學期摸底考試數(shù)學試題

絕密★啟用前數(shù)學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案正確填寫在答題卡上一.填空題1.已知集合，，，則非零實數(shù)2.不等式的解集為3.已知，則4.若滿足約束條件，則的最大值為5.已知是函數(shù)的反函數(shù)，且，則實數(shù)6.在△中，角、、所對邊分別為、、，已知，，，則△的面積為7.已知為等比數(shù)列，，，則8.在平面直角坐標系中，為原點，，，，動點滿足|CD|=1，則的最大值為9.我校5位同學報考了北京大學“強基計劃”第I專業(yè)組，并順利通過各項考核，已知5位同學將根據(jù)綜合成績和志愿順序隨機地進入教學類、物理學類、力學類這三個專業(yè)中的某一個專業(yè)，則這三個專業(yè)都有我校學生的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）10.設(shè)是直線與圓在第四象限的交點，則極限11.設(shè)、分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍是12.已知，點在函數(shù)的圖像上，，則數(shù)列的前項和二.選擇題13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限14.若動點、分別在直線和上移動，則的中點到原點距離的最小值為（）A.B.C.D.15.橢圓上有10個不同的點，若點坐標為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A.B.C.D.16.已知，符號表示不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.三.解答題17.如圖，已知平面，，與平面所成的角為30°，且.（1）求三棱錐的體積；（2）設(shè)為的中點，求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.18.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）對任意，當函數(shù)的圖像恒在函數(shù)圖像的下方時，求實數(shù)的取值范圍.19.如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點、在弧上，且線段平行于線段.（1）若點為弧的一個三等分點，求矩形的面積；（2）當在弧上何處時，矩形的面積最大？最大值為多少？20.已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為60°，直線交雙曲線于、兩點.（1）求雙曲線的方程；（2）若過原點，為雙曲線上異于、的一點，且直線、的斜率、均存在，求證：為定值；（3）若過雙曲線右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有MA?MB=0成立？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.21.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項都與它的前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，，，求實數(shù)取值范圍；（2）是否存在首項為1的等差數(shù)列為“數(shù)列”，且其前項的和滿足？若存在，請求出的通項公式；若不存在，請說明理由；（3）已知等比數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，且為“數(shù)列”，，，當數(shù)列不是“數(shù)列”時，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由.參考答案及其解析一.填空題1.32.3.4.35.16.7.8.9.10.111.12.【第10題解析】改編自2015年上海高考理18當時，直線方程無限趨近于直線，直線與圓在第四象限的交點坐標為，表示點與點連線的斜率，當時，無限趨近于點，因此，極限實際上就是圓上一點處切線的斜率，計算得斜率為1．【第11題解析】，，∴為與交點的橫坐標，其中，為與交點的橫坐標，其中，又與互為反函數(shù)，∴關(guān)于對稱，∴，∴，由于，∴．【第12題解析】由題意，得，∴，兩邊取常用對數(shù)，得，∴是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，從而，又，∴，∴，∴．二.選擇題13.A14.C15.C16.D【第15題解析】設(shè)橢圓上一點，其中且，則，∴，∴，選C．【第16題解析】即與的圖像有且僅有3個不同的交點．時，，；時，；時，；如圖，易得，選D．三.解答題17.（1）；（2）.18.（1）和；（2）.19.（1）如圖，作于點H，交線段CD于點E，連接OA、OB，∴，…2分∴，，∴…4分.…6分（2）設(shè)…7分∴，∴…9分…11分∵，∴…12分∴即時，13分，此時A在弧MN的四等分點處，答：當A在弧MN的四等分點處時，…14分20.（1）由題意得：…2分解得：…3分∴雙曲線的方程為…4分（2）證明：設(shè)點坐標為，則由對稱性知點坐標為…5分設(shè)，則…7分，得…8分∴…10分（3）當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消得：，∴得且……12分設(shè)、∵MA?MB…14分假設(shè)存在實數(shù)，使得MA?MB=0∴對任意的恒成立，∴，解得．∴當時，．當直線l的斜率不存在時，由及知結(jié)論也成立綜上：存在，使得MA?MB21.（1）由題意得：，…1分，即，…3分解不等式得：；…4分（2）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為，則，由，得，…5分由題意得：對均成立，即：對均成立，……7分∵，且，∴，與矛盾，∴這樣的等差數(shù)列不存在．…10分（3）設(shè)數(shù)列的公比為，則，∵的每一項均為正整數(shù)，且，∴，且，∵，即：在中，“”為最小項，同理，在中，“”為最小項，…11分由為“型數(shù)列”，可知只需，即，又∵不是“型數(shù)列”，且“”為最小項，∴，即，