人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三教案（選修三）

高中數(shù)學(xué)選擇性必修三教案全套

6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理。

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實(shí)

例概括兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問(wèn)題已經(jīng)有一些經(jīng)驗(yàn)和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類(lèi)計(jì)數(shù)原

理和分步計(jì)數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩

個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ),所以在本學(xué)科計(jì)數(shù)問(wèn)題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的

重點(diǎn)是兩個(gè)原理的理解與應(yīng)用，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實(shí)例。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過(guò)實(shí)例能歸納總結(jié)出分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.邏輯推理：準(zhǔn)確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

B.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題

具體問(wèn)題的特征，選擇“分類(lèi)”或“分步”.4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)

C.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.問(wèn)題

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過(guò)列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)，幫助

本方法，但當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計(jì)巧學(xué)生回顧計(jì)數(shù)問(wèn)

妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并嘗試從題，引出學(xué)習(xí)課

中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.題。

問(wèn)題1.用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座

位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出

26+10=36種不同的號(hào)碼.

通過(guò)具體問(wèn)題，

已發(fā)學(xué)生思考，

問(wèn)題2.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

通過(guò)分析、比

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

較、歸納、形成

(1)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類(lèi)；

對(duì)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)

(2)分別計(jì)算各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)

(3)各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽

你能舉出一些生活中類(lèi)似的例子嗎？

象和數(shù)學(xué)建模的

一般地，有如下分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：

核心素養(yǎng)。

完成一件事，有兩類(lèi)辦法.在第1類(lèi)辦法中有m種不同的方法，在第2

類(lèi)方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.

二、典例解析

例1.在填寫(xiě)高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一

些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表,

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析:要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)

中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有共同

的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)

選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所

大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種

數(shù)N=5+4=9.

利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

(D分類(lèi):將完成這件事的辦法分成若干類(lèi)；

(2)計(jì)數(shù):求出每一類(lèi)中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論:將每一類(lèi)中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.

問(wèn)題3.如果完成一件事有三類(lèi)不同方案，在第一類(lèi)方案中有m種不同

1

的方法，在第二類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第三類(lèi)方案中有m種不

23在典例分析和練

同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情習(xí)中讓學(xué)生熟悉

有N類(lèi)不同方案，在每一類(lèi)中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計(jì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的

數(shù)呢？基本步驟，并能

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事,如果有n類(lèi)辦法，且:第一類(lèi)辦法中有區(qū)分它們的聯(lián)系

m種不同的方法，第二類(lèi)辦法中有m種不同的方法……第n類(lèi)辦法中有和區(qū)別，發(fā)展學(xué)

12

生邏輯推理，直

m種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+m+…+m種不同的方法.

nI2n觀想象、數(shù)學(xué)抽

跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)

象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

是()

核心素養(yǎng)。

A.18B.36C.72D.48

解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成

八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4

個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有

8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè)).

方法二按個(gè)位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類(lèi)，

在每一類(lèi)中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6

個(gè)、7個(gè)、8個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1+2

+3+4+5+6+7+8=36(個(gè)).

方法三考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想

解決.所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中，個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位

數(shù)為11,22,33,99,共9個(gè)；有10,20,30,90共9個(gè)兩

位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90-18=

72(個(gè)).在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩

位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字(a)小于個(gè)位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足

條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是72+2=36.故選B.

答案：B

問(wèn)題4.用前6個(gè)大寫(xiě)的英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A,

I

A,…A,B,B,…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少

1912

種不同的號(hào)碼？

解：方法一：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題可以用“樹(shù)狀圖”列舉出來(lái)

得到的號(hào)碼

Aj

Ai

A3

A4

As

A

A7

AQ

方法二：由于6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與6個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)

組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6X9=54種不同的號(hào)碼.

問(wèn)題5.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

(1)由問(wèn)題條件中的''和"，可確定完成編號(hào)要分兩步；

(2)分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

(3)將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類(lèi)似的例子嗎？

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代

表班級(jí)參

加比賽，共有多少種不同的選法？

分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步，選男生；第二步，選女

生.

解：第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人，有24種不同選擇；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30X24=720種不同方法.

問(wèn)題6.如果完成一件事有三個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做

1

第2步有m種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這

2

件事共有多少種不同的方法？

N=mXmXm

123

如果完成一件事需要有n個(gè)步驟，做每一步中都有若干種不同方法,那么

應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步

1

有m種不同的方法，…，做第n步有m種不同的方法,那么完成這件事的

2n

方法總數(shù)如何計(jì)算？

分步乘法前數(shù)麋蠹.般結(jié)論：

N=mXmX…Xm

12n

例3.書(shū)架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū),第2層放有3本不同的文

藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育雜志.

(1)從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？

(2)從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū),有多少種不同取法？

(3)從書(shū)架上取2本不同學(xué)科的書(shū),有多少種不同的取法?

解：(1)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得：N=4+3+2=9；

(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N=4X3X2=24：

(3)需先分類(lèi)再分步.

第一類(lèi)：從一、二層各取一本，有4X3=12種方法；

第二類(lèi)：從一、三層各取一本，有4X2=8種方法；

第三類(lèi)：從二、三層各取一本，有3X2=6種方法；

根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=4X3+4X2+3X2=26

答：從書(shū)架上取2本不同種的書(shū),有26種不同的取法.

應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2.有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各

有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)

(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；

(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.

解：(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)

名方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為3"=729.

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，

因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，

第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6X5X4=120.

(3)每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6人中選出1人

參賽.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6：'=216.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.某教師有相同的語(yǔ)文參考書(shū)3本，相同的數(shù)學(xué)參考書(shū)4本，從中取出通過(guò)練習(xí)鞏固本

4本贈(zèng)送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）節(jié)所學(xué)知識(shí)，通

A.20種B.15種C.10種D.4種過(guò)學(xué)生解決問(wèn)

解析：若4本中有3本語(yǔ)文參考書(shū)和1本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，題，發(fā)展學(xué)生的

若4本中有1本語(yǔ)文參考書(shū)和3本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，若4本數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

中有2本語(yǔ)文參考書(shū)和2本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有6種方法，若4本都是數(shù)推理、直觀想

學(xué)參考書(shū)，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有4+4+6+1=象、數(shù)學(xué)建模的

15（種）.故選B.核心素養(yǎng)。

答案：B

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選

擇其中的一個(gè)講座，不同的選法的種數(shù)是（）

A.56B.65C.30D.11

解析：（1）第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方

法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種

不同的選法.故選A.

3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3

張卡片排放在一起,可組成__________個(gè)不同的三位數(shù).

解析:分三個(gè)步驟：

第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù)；

第二步:十位可放6個(gè)數(shù)；

第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成N=7X6X4=168個(gè)不同的三位數(shù).

答案：168

4.如圖所示的電路圖,從A到B共有__________條不同的線路可通電.

解析:先分三類(lèi).第一類(lèi),經(jīng)過(guò)支路①有3種方法;第二類(lèi),經(jīng)過(guò)支路②有1

種方法;第三類(lèi),經(jīng)過(guò)支路③有2X2=4種方法,所以總的線路條數(shù)

N=3+1+4=8.

答案：8

5.如圖,一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從頂點(diǎn)A爬到相對(duì)頂點(diǎn)C,求其中經(jīng)

1

過(guò)3條棱的路線共有多少條？

解:從總體上看有三類(lèi)方法,分別經(jīng)過(guò)AB,AD.AA.從局部上看每一類(lèi)又需

1

分兩步完成.故第一類(lèi):經(jīng)過(guò)AB,有m=1X2=2條;第二類(lèi):經(jīng)過(guò)AD,有m=1

12

X2=2條;第三類(lèi):經(jīng)過(guò)AA,有m=1X2=2條.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,從

13

頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.

1

6.某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3

人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不

同的選法？

解：由題意知，有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).

方法一:分兩類(lèi).

第一類(lèi):從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法,從會(huì)日語(yǔ)的3人中選1

人有3種選法.此時(shí)共有6X3=18（種）選法.

第二類(lèi):從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1

人有2種選法，此時(shí)有IX2=2（種）選法.所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,共

有18+2=20（種）選法.

方法二:設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲，則甲有入選和不入選兩類(lèi)情形，

入選后又分兩種情況：（D教英語(yǔ)；（2）教日語(yǔ).

第一類(lèi)：甲入選.

（1）甲教英語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1

X2=2（種）選法;

（2）甲教日語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1

X6=6（種）選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類(lèi)：甲不入選.

可分兩步:第一步,從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法;第二步,從只

會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有6X

2=12（種）不同的選法.綜上,共有8+12=20（種）不同的選法.

四、小結(jié)

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)

1.聯(lián)系：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基生進(jìn)一步鞏固本

本、最重要的方法.節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提

2.區(qū)別高概括能力。

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

區(qū)別完成一件事共有n類(lèi)辦法，完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵

關(guān)鍵詞是“分類(lèi)”詞是“分步”

每類(lèi)辦法中的每種方法都能除最后一步外,其他每步得到的

獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)只是中間結(jié)果，任何一步都不能

區(qū)別

立的、一次的且每種方法得獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步

到的都是最后結(jié)果，只需一也不能完成這件事，只有各個(gè)步

種方法就可完成這件事驟都完成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立

區(qū)別各類(lèi)辦法之間是互斥的、并

的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)

列的、獨(dú)立的

立”確保不重復(fù)

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問(wèn)題(或困難、障礙)是綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，產(chǎn)

生這一問(wèn)題的原因是不能根據(jù)問(wèn)題的特征選擇對(duì)應(yīng)的原理。要解決這一問(wèn)題，就要要通過(guò)

典型的、學(xué)生比較熟悉的實(shí)例，經(jīng)過(guò)概括得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，

安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本思想。

6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(2)

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理。

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實(shí)

例概括兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問(wèn)題已經(jīng)有一些經(jīng)驗(yàn)和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類(lèi)計(jì)數(shù)原

理和分步計(jì)數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩

個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ),所以在本學(xué)科計(jì)數(shù)問(wèn)題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的

重點(diǎn)是兩個(gè)原理的理解與應(yīng)用，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實(shí)例。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.進(jìn)一步理解和掌握分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.邏輯推理：運(yùn)用分類(lèi)思想解決復(fù)雜問(wèn)題

B.能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題

4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)問(wèn)題

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)

一、溫故知新

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基

本、最重要的方法.

2.區(qū)別通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理顧計(jì)數(shù)原理，進(jìn)

區(qū)別完成一件事共有n類(lèi)辦法,關(guān)鍵完成一件事共有n個(gè)步一步比較分析加

詞是“分類(lèi)”驟,關(guān)鍵詞是“分步”深對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原

理得理解。

除最后一步外，其他每

每類(lèi)辦法中的每種方法都能獨(dú)步得到的只是中間結(jié)

立地完成這件事,它是獨(dú)立的、果，任何一步都不能獨(dú)

區(qū)別

一次的且每種方法得到的都是立完成這件事,缺少任

最后結(jié)果,只需一種方法就可完何一步也不能完成這件

成這件事事，只有各個(gè)步驟都完

成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)

區(qū)別各類(lèi)辦法之間是互斥的、并列立的，“關(guān)聯(lián)”確保不

的、獨(dú)立的遺漏，“獨(dú)立”確保不

重復(fù)

二、典例解析

通過(guò)具體問(wèn)題，

例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊

分析、比較、歸

墻上的指定位置，

納、加深對(duì)兩個(gè)

問(wèn)共有多少種不同的掛法？

計(jì)數(shù)原理的認(rèn)

分析：要完成的一件事是“從3幅畫(huà)中選出2幅，并分別掛在左、右兩

識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)

邊墻上”，可以分步完成.

學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽

解：從3幅畫(huà)中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，

象和數(shù)學(xué)建模的

可以分兩個(gè)步驟完成：

核心素養(yǎng)。

第1步，從3幅畫(huà)中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，

第2步，從剩下的2幅畫(huà)中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=3X2=6.

左邊右邊得到的掛法

一一一乙左甲右乙

甲?

~~~~一丙左甲右丙

______甲左乙右甲

丙左乙右丙

一---「甲左丙右甲

兩V一

一一乙左丙右乙

例5.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母

A?G或。?Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1~9.問(wèn)最多可以給多少

個(gè)程序命名？

分析：要完成一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完

成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字

符，還有首字符又可以分為兩類(lèi)。

解：由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13，

后兩個(gè)字符從中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，

所以1?9不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是13x9x9=1053，

即最多可以給1053個(gè)程序命名.

例6.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，

而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0

或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要

對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是

計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.

問(wèn)：

（1）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？

（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字

符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)

字”.由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都是0,1兩種選

擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理來(lái)

求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)

即可.

第1位第2位第3位第8位

2種2種2種2種

解：（1）一個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示

在典例分析和練

2X2X2X2X2X2X2X2=28=256個(gè)不同的字符；

習(xí)中讓學(xué)生熟悉

（2）由（1）知，用一個(gè)字節(jié)能表示256個(gè)字符，

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的

???256<6763,??.一個(gè)字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

基本步驟，并能

2個(gè)字節(jié)可以表示256X256=65536個(gè)不同的字符，

區(qū)分它們的聯(lián)系

V65536>6763,所以每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.

和區(qū)別，進(jìn)而靈

例7.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫(xiě)好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行調(diào)試，程序員需

活運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)

要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線），以便知

原理。發(fā)展學(xué)生

道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多字模塊組

邏輯推理，直觀

成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路

想象、數(shù)學(xué)抽象

徑？

和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù).你能幫助程

心素養(yǎng)。

序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？

子旗蛔子模塊2子模塊3

18條執(zhí)行路徑45條執(zhí)行路徑28條執(zhí)行路徑

______1______

子模塊4子模塊5

38條執(zhí)行路徑43條執(zhí)行路徑

（結(jié)束）

分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開(kāi)始執(zhí)

行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊

2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任

何一個(gè)來(lái)完成，因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩

個(gè)技術(shù)原理.

解：由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑

條數(shù)共為18+45+28=91；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.

又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91X81=7371.

在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考

察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊，這樣，它可以先分

別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常，總共需要的

測(cè)試次數(shù)為

18+45+18+38+43=172.

再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步中的

各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)

試的次數(shù)為3X2=6.

如果每個(gè)子模塊都正常功能，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，

那么整個(gè)程序模塊就工作，正常這樣測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178,顯然178與7371的差距是非常大的.

1.使用兩個(gè)原理的原則

使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類(lèi)”“分步”的角度入手分類(lèi)”

是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的兒類(lèi),逐類(lèi)解決，用分類(lèi)加

法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步

解決,這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟

(1)明確完成的這件事是什么.

(2)思考如何完成這件事.

(3)判斷它屬于分類(lèi)還是分步,是先分類(lèi)后分步,還是先分步后分類(lèi).

(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.

例8.通常，我國(guó)民用汽車(chē)號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字

表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二

部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)如圖，

其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：

(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除0,1之外的24個(gè)英文字母組成；

(2)最多只能有2個(gè)英文字母.

如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)

放多少?gòu)埰?chē)號(hào)牌？

冀AJRCI05^^H

r?

省、自治區(qū)、庠縣

直轄市簡(jiǎn)稱

發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)

典例解析

分析：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)

放的最多號(hào)牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是

可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類(lèi)；沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字

母，以字母所在位置為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)，分為五個(gè)子

類(lèi)，將有2個(gè)字母的序號(hào)，分為十個(gè)子類(lèi).

解：有號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是

序號(hào)的個(gè)數(shù)，根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類(lèi)：沒(méi)有字母，

有1個(gè)字母，有個(gè)字母.

(1)當(dāng)沒(méi)有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字，確定一個(gè)序號(hào)可分5個(gè)

步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法，根據(jù)分布

乘法計(jì)數(shù)原理，這類(lèi)號(hào)牌張數(shù)為10X10X10X10X10=100000.

(2)當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、

第3位、第4位或第5位，這類(lèi)序號(hào)可以分為五個(gè)子類(lèi).

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1

步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從

10個(gè)數(shù)字中選一個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)

數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為：24X10X10X10X10=240000.

同樣，其余四個(gè)子類(lèi)號(hào)牌也各有240000張。

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這類(lèi)號(hào)牌張數(shù)，共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可將這類(lèi)序

號(hào)分為十個(gè)子類(lèi)：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4

位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第

5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)

字：第廣2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位，第2位，各

有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各

有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為

24X24X10X10X10=576000

同樣其余九個(gè)子類(lèi)號(hào)牌也各有576000張

于是這類(lèi)號(hào)牌張數(shù)一共為576000X10=5760000

綜合(1)(2)(3)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)

放的汽車(chē)號(hào)牌張數(shù)為

10000十1200000+5760000=7060000.

解決抽取(分配)問(wèn)題的方法

(1)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或圖

表法.

(2)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類(lèi)加法計(jì)

數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的，則按分步進(jìn)行；

若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類(lèi)進(jìn)行.②間接法.去掉限制條件,計(jì)算所

有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

跟蹤訓(xùn)練.7名學(xué)生中有3名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名學(xué)生

會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從中選出

會(huì)下象棋和會(huì)下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽，共有多少種不同的選法？

解:第1類(lèi)，從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2

名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得

N=3X2=6（種）.

1

第2類(lèi)，從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既

會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原

理得N=3X2=6（種）.

2

第3類(lèi)，從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同

時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原

理得N=2X2=4（種）.

3

第4類(lèi)，從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，另

一名參加圍棋比賽，有N=2種.

4

綜上，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知,不同選法共有

N=N+N+N+N=6+6+4+2=18（種）.

1234

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長(zhǎng)褲,如果一條長(zhǎng)褲與一通過(guò)練習(xí)鞏固本

件上衣配成一套，那么不同的配法種數(shù)為（）節(jié)所學(xué)知識(shí)，通

A.11B.28C.16384D.2過(guò)學(xué)生解決問(wèn)

401題，發(fā)展學(xué)生的

解析:要完成配套，分兩步:第1步,選上衣，從4件上衣中任選一件，有4數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

種不同的選法;第2步,選長(zhǎng)褲,從7條長(zhǎng)褲中任選一條,有7種不同的選推理、直觀想

法.故共有4X7=28（種）不同的配法.象、數(shù)學(xué)建模的

答案:B核心素養(yǎng)。

2.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)

的不同取法的種數(shù)為（）

A.30B.20C.10D.6

解析:從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)

可分為兩類(lèi),①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是

奇數(shù),共有3種取法.故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6（種）取法.

答案:D

3.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一利?.現(xiàn)

有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡

牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從

中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的

選法有（）

A.50種B.60種C.80種D.90種

解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論：

若甲選擇牛,此時(shí)乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時(shí)有2X

10=20（種）不同的選法.

若甲選擇馬或猴,此時(shí)甲的選擇有2種，乙的選擇有3種,丙的選擇有10

種，

此時(shí)有2X3X10=60（種）不同的選法.

一共有20+60=80（種）不同的選法.故選C.

答案:C

4.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異

色,若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法共有（）

A.48種B.72種C.96種D.108種

解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.

當(dāng)A,C顏色相同時(shí),先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B

有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4X

3X2X2=48（種）方法;當(dāng)A,C顏色不相同時(shí)，先染P有4種方法，再染A

有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步

乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4X3X2X1X1=24（種）方法.綜上，共有

48+24=72（種）方法.故選B.

答案:B

5.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂(lè)器,其中7人會(huì)

鋼琴,3人會(huì)小號(hào),從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)的各1人,有多少種不同的選

法？

解：由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)（把

該人記為甲），只會(huì)鋼琴的有6人,只會(huì)小號(hào)的有2人.把從中選出會(huì)鋼琴

與會(huì)小號(hào)各1人的方法分為兩類(lèi).第1類(lèi)，甲入選,另1人只需從其他8

人中任選1人,故這類(lèi)選法共8種;第2類(lèi)，甲不入選,則會(huì)鋼琴的只能從

6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會(huì)小號(hào)的也只能從只會(huì)小

號(hào)的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類(lèi)選法共有6X2=12（種）.因

此共有8+12=20（種）不同的選法.

四、小?

個(gè)

兩通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)

數(shù)

計(jì)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

理

原

—分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用生進(jìn)一步鞏固本

應(yīng)

的

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提

高概括能力。

五、課匕忖練

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問(wèn)題（或困難、障礙）是綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，產(chǎn)

生這一問(wèn)題的原因是不能根據(jù)問(wèn)題的特征選擇對(duì)應(yīng)的原理。要解決這一問(wèn)題，就要要通過(guò)

典型的、學(xué)生比較熟悉的實(shí)例，經(jīng)過(guò)概括得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，

安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本思想。

6.2.1排列與排列數(shù)

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)排列與排列數(shù)。

排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩

個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時(shí)排列和組合又能進(jìn)一步簡(jiǎn)化和優(yōu)化計(jì)數(shù)問(wèn)題。教學(xué)的重點(diǎn)是排列

的理解，利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，難點(diǎn)是運(yùn)用排列解決實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念，能用列舉法、樹(shù)1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念

狀圖法列出簡(jiǎn)單的排列.2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì)

B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運(yùn)用排列數(shù)公式熟3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用排列數(shù)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題

練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題

C.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并

能運(yùn)用排列的相關(guān)知識(shí)解一些簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題.

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：理解排列的定義及排列數(shù)的計(jì)算

難點(diǎn)：運(yùn)用排列解決計(jì)算問(wèn)題

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)

一、溫故知新

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、

最重要的方法.

2.區(qū)別通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理顧計(jì)數(shù)原理，進(jìn)

區(qū)別完成一件事共有n類(lèi)辦法,關(guān)鍵完成一件事共有n個(gè)步一步比較分析加

詞是“分類(lèi)”驟，關(guān)鍵詞是“分步”深對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原

理得理解。

除最后一步外，其他每

每類(lèi)辦法中的每種方法都能獨(dú)步得到的只是中間結(jié)

立地完成這件事,它是獨(dú)立的、果，任何一步都不能獨(dú)

區(qū)別

一次的且每種方法得到的都是立完成這件事,缺少任

最后結(jié)果，只需一種方法就可完何一步也不能完成這件

成這件事事,只有各個(gè)步驟都完

成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)

區(qū)別各類(lèi)辦法之間是互斥的、并列立的，“關(guān)聯(lián)”確保不

的、獨(dú)立的遺漏，“獨(dú)立”確保不

重復(fù)

通過(guò)具體問(wèn)題，

分析、比較、歸

問(wèn)題1,從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參

納出對(duì)排列的概

加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng).

念。發(fā)展學(xué)生數(shù)

分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名參加上午的活動(dòng)，

學(xué)算，數(shù)學(xué)抽

另1名參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：IS

象和數(shù)學(xué)建模的

第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；

核心素養(yǎng)。

第2步，確定下午的同學(xué)，只能從