數(shù)列求和常用方法

關于數(shù)列求和常用方法第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一常用的公式有：(1)等差數(shù)列{an}的前n項和

Sn=

=

.(2)等比數(shù)列{an}的前n項和

Sn=

=

(q≠1)(3)12+22+32+…+n2=

.(4)13+23+33+…+n3=

.na1+dn(n+1)(2n+1)n2(n+1)21．公式法：直接應用等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等進行求和．常用求和方法第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一課堂互動講練考點突破公式法如果所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或者經(jīng)過適當?shù)淖冃嗡o數(shù)列可化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而可利用等差、等比數(shù)列的求和公式來求解．第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一(2010年高考陜西卷)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.【思路點撥】利用a1，a3，a9成等比數(shù)列，可求公差d，從而得出an.例1第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一例2第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一倒序相加法是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一例3第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一裂項相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；例4【思路點撥】由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.對于{bn}，利用裂項變換，便可求得Tn.第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一錯位相減法對于形如{anbn}的數(shù)列的前n項和Sn的求法(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)，可采用錯位相減法．具體解法是：Sn乘以某一個合適的常數(shù)(一般情況下乘以數(shù)列{bn}的公比q)后，與Sn錯位相減，使其轉化為等比數(shù)列問題來解．第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一(2010年高考課標全國卷改編)設等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝128.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【思路點撥】利用公式求得an，再利用錯位相減法求Sn.例5第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一

6.并項法

將數(shù)列的每兩項(或多次)并到一起后，再求和，這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和.例六：Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一當n是偶數(shù)時，Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］=-3-7-…-(2n-1)=.當n是奇數(shù)時，Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］=1+5+9+…+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1(n∈N*).第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期一1．注意對以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的時候有局限性，只有與首、末兩項等距離的兩項之和是個常數(shù)時才可以用．(2)裂項相消法用得較多，一般是把通項公式分解為兩個式子的差，再相加抵消．在抵消時，有的是依次抵消，有的是間