2019版文科數(shù)學(xué)大5.4 平面向量的綜合應(yīng)用 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§5.4平面向量的綜合應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題．2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題。主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點(diǎn)，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題。1．向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：?jiǎn)栴}類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1），b＝(x2，y2)，b≠0垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0,其中a＝（x1,y1)，b＝(x2，y2),且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝eq\f（a·b,｜a|｜b|）（θ為向量a，b的夾角），其中a，b為非零向量長(zhǎng)度問題數(shù)量積的定義｜a｜＝eq\r（a2）＝eq\r（x2＋y2），其中a＝（x,y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量)）向量問題eq\o(→，\s\up7（運(yùn)算)）解決向量問題eq\o(→，\s\up7(還原))解決幾何問題．2．向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．3．向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具,常與函數(shù)（三角函數(shù)）、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題．知識(shí)拓展1．若G是△ABC的重心，則eq\o（GA，\s\up6(→))＋eq\o（GB，\s\up6（→）)＋eq\o(GC，\s\up6(→）)＝0。2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量（A，B)與直線l垂直，向量（－B，A）與直線l平行．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×"）(1）若eq\o(AB，\s\up6（→）)∥eq\o(AC，\s\up6（→))，則A,B，C三點(diǎn)共線．(√）(2）在△ABC中,若eq\o（AB,\s\up6（→))·eq\o（BC，\s\up6(→）)<0，則△ABC為鈍角三角形．(×）(3）若平面四邊形ABCD滿足eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＝0，(eq\o（AB,\s\up6（→)）－eq\o(AD,\s\up6（→)))·eq\o(AC,\s\up6(→））＝0，則該四邊形一定是菱形．(√)（4)設(shè)定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq\o（OP,\s\up6（→）)·eq\o（OA，\s\up6（→)）＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是x＋2y－4＝0.(√)(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A（－2,－1)，B（0，10），C(8,0），若動(dòng)點(diǎn)P滿足：eq\o（OP，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6（→))＋t(eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AC,\s\up6（→))),t∈R，則點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0。(√）題組二教材改編2．［P108A組T5］已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(5，2),C(－1，－4)，則該三角形為(）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形答案B解析eq\o（AB，\s\up6（→））＝（2，－2)，eq\o(AC,\s\up6（→)）＝(－4,－8)，eq\o(BC,\s\up6（→）)＝(－6，－6），∴｜eq\o（AB，\s\up6(→))｜＝eq\r（22＋－22)＝2eq\r（2），｜eq\o（AC，\s\up6（→)）|＝eq\r(16＋64）＝4eq\r(5)，｜eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(36＋36）＝6eq\r（2）,∴|eq\o（AB，\s\up6(→））|2＋|eq\o(BC,\s\up6（→）)｜2＝|eq\o(AC，\s\up6(→））｜2，∴△ABC為直角三角形．3．［P113A組T1]平面直角坐標(biāo)系xOy中,若定點(diǎn)A(1,2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足eq\o（OP,\s\up6（→)）·eq\o(OA，\s\up6（→))＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是____________．答案x＋2y－4＝0解析由eq\o（OP，\s\up6(→))·eq\o（OA,\s\up6（→）)＝4，得(x,y)·(1,2）＝4，即x＋2y＝4。題組三易錯(cuò)自糾4．在△ABC中,已知eq\o（AB，\s\up6(→)）＝(2，3），eq\o（AC，\s\up6(→)）＝(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，則實(shí)數(shù)k的值為________________．答案－eq\f（2,3）或eq\f（11，3）或eq\f（3±\r(13)，2)解析①若A＝90°，則有eq\o(AB,\s\up6(→））·eq\o(AC,\s\up6(→）)＝0,即2＋3k＝0，解得k＝－eq\f(2，3）;②若B＝90°，則有eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o(BC，\s\up6（→))＝0，因?yàn)閑q\o（BC，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6(→））－eq\o(AB,\s\up6(→))＝（－1，k－3），所以－2＋3（k－3）＝0，解得k＝eq\f(11,3）；③若C＝90°，則有eq\o(AC,\s\up6（→）)·eq\o（BC,\s\up6(→))＝0，即－1＋k(k－3)＝0,解得k＝eq\f（3±\r（13）,2）.綜上所述，k＝－eq\f（2，3)或eq\f（11，3)或eq\f(3±\r(13),2）.5．在四邊形ABCD中，eq\o(AC，\s\up6（→)）＝(1,2），eq\o(BD,\s\up6（→)）＝（－4，2)，則該四邊形的面積為________．答案5解析依題意得eq\o(AC,\s\up6(→)）·eq\o(BD,\s\up6（→))＝1×（－4）＋2×2＝0，所以eq\o（AC，\s\up6（→)）⊥eq\o(BD,\s\up6(→）），所以四邊形ABCD的面積為eq\f（1，2)｜eq\o(AC,\s\up6（→)）|·|eq\o(BD，\s\up6(→)）|＝eq\f（1，2)×eq\r(5)×eq\r(20）＝5.6．拋物線M的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，準(zhǔn)線與曲線E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)A是拋物線M上一點(diǎn),若eq\o（OA，\s\up6（→))·eq\o（AF，\s\up6（→))＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________________．答案（1,2)或(1，－2）解析設(shè)拋物線M的方程為y2＝2px（p>0)，則其準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（p,2）.曲線E的方程可化為(x－3）2＋（y＋2）2＝16,則有3＋eq\f（p，2）＝4，解得p＝2，所以拋物線M的方程為y2＝4x，F(xiàn)(1，0）．設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（y\o\al（2,0),4），y0）)，則eq\o（OA，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（y\o\al(2，0），4）,y0))，eq\o（AF,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(y\o\al(2，0),4)，－y0)），所以eq\o(OA，\s\up6（→)）·eq\o（AF，\s\up6(→）)＝eq\f（y\o\al（2,0),4）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（y\o\al(2,0),4）))－yeq\o\al(2,0）＝－4，解得y0＝±2.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)或（1，－2）。題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用典例（1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°,E為CD的中點(diǎn)．若eq\o(AC，\s\up6（→））·eq\o（BE,\s\up6(→））＝1，則AB＝________。答案eq\f(1，2）解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F,則eq\o（BE，\s\up6（→））＝eq\o（FD,\s\up6(→))，∴eq\o（BE，\s\up6（→))＝eq\o（FD，\s\up6(→))＝eq\o(AD，\s\up6（→)）－eq\f(1,2）eq\o（AB，\s\up6(→)）,又∵eq\o（AC,\s\up6(→))＝eq\o（AD，\s\up6(→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→)），∴eq\o（AC,\s\up6（→))·eq\o(BE，\s\up6(→）)＝（eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o（AB，\s\up6(→))）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\o(AD,\s\up6（→））－\f（1,2)\o(AB，\s\up6（→）))）＝eq\o（AD，\s\up6（→))2－eq\f（1，2）eq\o（AD，\s\up6（→）)·eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（AD，\s\up6(→))·eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\f（1，2)eq\o(AB,\s\up6（→））2＝｜eq\o(AD，\s\up6（→)）|2＋eq\f（1，2）|eq\o(AD,\s\up6(→）)||eq\o(AB，\s\up6（→)）|cos60°－eq\f(1，2）｜eq\o（AB,\s\up6（→))|2＝1＋eq\f（1,2）×eq\f(1,2）|eq\o(AB,\s\up6(→））｜－eq\f(1,2)｜eq\o（AB,\s\up6（→）)｜2＝1。∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）－｜\o(AB,\s\up6(→))｜))|eq\o（AB，\s\up6（→)）｜＝0，又｜eq\o(AB，\s\up6(→))|≠0，∴｜eq\o(AB,\s\up6（→）)｜＝eq\f（1,2）。(2）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6(→)）＋λ（eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o(AC，\s\up6（→)）)，λ∈(0，＋∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的(）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心答案C解析由原等式，得eq\o(OP，\s\up6（→))－eq\o（OA，\s\up6（→))＝λ(eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(AC，\s\up6(→)))，即eq\o(AP，\s\up6(→)）＝λ（eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC,\s\up6（→）))，根據(jù)平行四邊形法則，知eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o(AC，\s\up6（→))是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量eq\o（AD,\s\up6（→）)的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心．

引申探究本例(2）中,若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o（OP，\s\up6（→)）＝eq\o（OA,\s\up6(→））＋λeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\o（AB,\s\up6(→)）,｜\o（AB，\s\up6（→））|)＋\f(\o(AC，\s\up6(→））,|\o（AC，\s\up6(→))|))），λ∈（0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的________．答案內(nèi)心解析由條件，得eq\o（OP,\s\up6（→)）－eq\o（OA,\s\up6(→））＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\o(AB,\s\up6(→）），|\o（AB,\s\up6（→)）｜）＋\f（\o（AC,\s\up6（→)），|\o（AC，\s\up6(→)）|））)，即eq\o（AP，\s\up6（→)）＝λeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\o(AB,\s\up6(→)）,|\o（AB,\s\up6(→))|)＋\f（\o（AC，\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6（→））｜））),而eq\f(\o（AB，\s\up6（→）），|\o(AB,\s\up6(→）)|)和eq\f（\o（AC,\s\up6（→））,｜\o(AC,\s\up6(→）)|）分別表示平行于eq\o(AB,\s\up6（→）），eq\o（AC，\s\up6（→)）的單位向量，故eq\f(\o(AB,\s\up6(→））,|\o(AB，\s\up6(→))｜)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→）)，｜\o（AC，\s\up6（→)）|）平分∠BAC，即eq\o（AP,\s\up6（→））平分∠BAC，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心．思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法（1）坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．（2）基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練（1)在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up6（→))與eq\o（AC，\s\up6（→)）滿足eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\o(AB，\s\up6(→）),|\o(AB，\s\up6(→））|)＋\f(\o（AC,\s\up6(→)），｜\o（AC，\s\up6（→)）|）)）·eq\o(BC,\s\up6（→))＝0，且eq\f(\o(AB,\s\up6（→）),|\o(AB，\s\up6(→））｜）·eq\f(\o（AC，\s\up6（→）），|\o(AC，\s\up6（→）)｜)＝eq\f(1，2），則△ABC為（)A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．三邊均不相等的三角形答案A解析eq\f(\o（AB,\s\up6（→)）,｜\o(AB,\s\up6（→）)|），eq\f（\o(AC,\s\up6（→))，｜\o(AC,\s\up6(→)）|)分別為平行于eq\o（AB，\s\up6（→）)，eq\o(AC,\s\up6(→））的單位向量，由平行四邊形法則可知eq\f（\o(AB,\s\up6（→））,|\o(AB,\s\up6（→)）｜）＋eq\f(\o（AC,\s\up6(→）），｜\o（AC，\s\up6（→））|)為∠BAC的平分線．因?yàn)閑q\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\o（AB,\s\up6(→））,|\o（AB,\s\up6(→）)｜）＋\f(\o(AC，\s\up6（→）），｜\o（AC，\s\up6(→))｜）））·eq\o（BC，\s\up6(→)）＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC,所以AB＝AC.又eq\f(\o(AB，\s\up6（→)）,|\o(AB，\s\up6（→)）|）·eq\f（\o(AC，\s\up6（→)），|\o（AC，\s\up6(→)）|)＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f(\o（AB,\s\up6（→)),｜\o(AB，\s\up6（→））｜）))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(\o(AC,\s\up6(→))，|\o（AC,\s\up6(→))｜))）·cos∠BAC＝eq\f(1,2），所以cos∠BAC＝eq\f(1，2)，又0〈∠BAC〈π,故∠BAC＝eq\f(π,3），所以△ABC為等邊三角形．(2）(2017·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練)如圖，在平行四邊形ABCD中,AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G,H分別是AB，BC,CD,AD邊上的中點(diǎn)，則eq\o（EF,\s\up6（→))·eq\o(FG，\s\up6(→））＋eq\o（GH,\s\up6（→）)·eq\o(HE，\s\up6（→）)等于(）A.eq\f(3，2） B．－eq\f(3，2)C。eq\f（3，4） D．－eq\f(3，4）答案A解析取HF中點(diǎn)O，則eq\o（EF，\s\up6（→))·eq\o(FG，\s\up6（→))＝eq\o(EF，\s\up6(→）)·eq\o（EH,\s\up6(→)）＝eq\o(EO，\s\up6（→)）2－eq\o(OH，\s\up6(→））2＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)2＝eq\f(3，4），eq\o(GH，\s\up6（→)）·eq\o（HE，\s\up6(→))＝eq\o（GH，\s\up6(→））·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o（GO，\s\up6(→））2－eq\o（OH，\s\up6（→）)2＝1－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））2＝eq\f（3,4),因此eq\o(EF,\s\up6（→))·eq\o(FG，\s\up6（→）)＋eq\o(GH，\s\up6(→））·eq\o(HE，\s\up6(→))＝eq\f(3，2），故選A。題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用典例（1）已知向量eq\o（OA，\s\up6(→)）＝（k,12)，eq\o（OB，\s\up6(→))＝（4，5)，eq\o（OC，\s\up6(→))＝（10，k），且A，B，C三點(diǎn)共線,當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線的斜率，則過點(diǎn)(2,－1）的直線方程為________________．答案2x＋y－3＝0解析∵eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\o（OB，\s\up6（→）)－eq\o（OA，\s\up6（→)）＝（4－k,－7),eq\o（BC,\s\up6(→)）＝eq\o（OC，\s\up6（→))－eq\o（OB,\s\up6(→））＝(6，k－5）,且eq\o（AB,\s\up6（→)）∥eq\o(BC,\s\up6（→)），∴（4－k）(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.（2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f（x2,4)＋eq\f(y2,3）＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o（OP，\s\up6(→))·eq\o(FP，\s\up6(→)）的最大值為________．答案6解析由題意，得F(－1，0)，設(shè)P(x0,y0）,則有eq\f（x\o\al(2，0)，4)＋eq\f（y\o\al（2,0）,3)＝1，解得yeq\o\al（2,0)＝3eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（x\o\al（2，0),4))），因?yàn)閑q\o(FP，\s\up6（→))＝（x0＋1,y0)，eq\o(OP,\s\up6（→））＝（x0,y0)，所以eq\o（OP，\s\up6(→)）·eq\o（FP，\s\up6(→）)＝x0（x0＋1)＋yeq\o\al(2，0）＝xeq\o\al（2，0）＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2，0），4))）＝eq\f（x\o\al(2，0),4）＋x0＋3，對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸方程為x0＝－2，因?yàn)椋?≤x0≤2，故當(dāng)x0＝2時(shí)，eq\o(OP，\s\up6（→））·eq\o(FP,\s\up6（→)）取得最大值eq\f(22，4）＋2＋3＝6.思維升華向量在解析幾何中的“兩個(gè)"作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．(2)工具作用:利用a⊥b?a·b＝0（a，b為非零向量），a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡(jiǎn)捷的方法．跟蹤訓(xùn)練(1）(2017·衡陽聯(lián)考)已知對(duì)任意平面向量eq\o（AB,\s\up6（→））＝（x，y)，把eq\o（AB,\s\up6（→））繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量eq\o（AP，\s\up6（→)）＝(xcosθ－ysinθ,xsinθ＋ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P。設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f（π,4)后得到點(diǎn)的軌跡是曲線x2－y2＝2，則原來曲線C的方程是（）A．xy＝－1 B．xy＝1C．y2－x2＝2 D．y2－x2＝1答案A解析設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P(x，y),則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4）后得到點(diǎn)P′eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2）x－y，\f(\r（2)，2）x＋y))，∵點(diǎn)P′在曲線x2－y2＝2上，∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,2）x－y))2－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2）,2)x＋y））2＝2，整理得xy＝－1。故選A.（2）(2017·安徽省安師大附中、馬鞍山二中階段性測(cè)試）已知點(diǎn)A在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9）＝1上，點(diǎn)P滿足eq\o（AP,\s\up6（→）)＝（λ－1)·eq\o（OA，\s\up6（→)）(λ∈R)（O是坐標(biāo)原點(diǎn))，且eq\o(OA,\s\up6(→)）·eq\o（OP,\s\up6(→）)＝72，則線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為________．答案15解析因?yàn)閑q\o（AP，\s\up6(→））＝(λ－1)eq\o（OA，\s\up6（→）），所以eq\o（OP，\s\up6(→）)＝λeq\o（OA，\s\up6（→）），即O，A，P三點(diǎn)共線，因?yàn)閑q\o（OA，\s\up6(→))·eq\o（OP,\s\up6（→））＝72，所以eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o（OP，\s\up6(→）)＝λ｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜2＝72，設(shè)A（x，y)，OA與x軸正方向的夾角為θ，線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度為｜eq\o(OP，\s\up6(→)）｜|cosθ｜＝｜λ｜｜x|＝eq\f(72｜x｜,|\o（OA，\s\up6（→)）|2）＝eq\f（72｜x|，x2＋y2)＝eq\f(72,\f(16,25)｜x｜＋\f（9，｜x|）)≤eq\f(72，2\r（\f（16×9,25))）＝15,當(dāng)且僅當(dāng)｜x|＝eq\f（15，4）時(shí)取等號(hào)．題型三向量的其他應(yīng)用命題點(diǎn)1向量在不等式中的應(yīng)用典例已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，2）,若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≥2,,x≤1，，y≤2)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o（OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6（→））的取值范圍是（)A．［－1，0] B．[0，1］C．［1，3］ D．[1，4]答案D解析作出點(diǎn)M(x，y）滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，設(shè)z＝eq\o(OA,\s\up6(→））·eq\o（OM，\s\up6（→）），因?yàn)锳(－1，2),M(x，y）,所以z＝eq\o(OA,\s\up6(→））·eq\o(OM，\s\up6(→））＝－x＋2y,即y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1，2)z。平移直線y＝eq\f（1，2）x，由圖象可知，當(dāng)直線y＝eq\f（1，2）x＋eq\f（1,2）z經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)時(shí),截距最大，此時(shí)z最大，最大值為4，當(dāng)直線y＝eq\f（1,2）x＋eq\f(1,2)z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截距最小，此時(shí)z最小，最小值為1，故1≤z≤4，即1≤eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o（OM,\s\up6(→））≤4。命題點(diǎn)2向量在解三角形中的應(yīng)用典例在△ABC中,角A，B,C的對(duì)邊分別是a，b，c,若20aeq\o(BC,\s\up6(→)）＋15beq\o(CA,\s\up6（→）)＋12ceq\o（AB，\s\up6(→））＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(）A.eq\f（4，5） B.eq\f（3，4)C。eq\f(3，5) D.eq\f（\r（7),4）答案C解析∵20aeq\o（BC，\s\up6(→）)＋15beq\o（CA,\s\up6(→))＋12ceq\o(AB,\s\up6(→)）＝0,∴20a(eq\o(AC,\s\up6（→)）－eq\o（AB，\s\up6（→)）)＋15beq\o（CA,\s\up6(→))＋12ceq\o（AB,\s\up6（→))＝0，∴（20a－15b）eq\o（AC，\s\up6（→))＋(12c－20a)eq\o(AB，\s\up6（→)）＝0,∵eq\o(AC，\s\up6(→））與eq\o（AB，\s\up6(→)）不共線，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（20a－15b＝0，,12c－20a＝0，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(b＝\f（4，3)a，，c＝\f（5,3）a,)）∴△ABC最小角為角A,∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f（\f(16,9）a2＋\f（25,9)a2－a2，2×\f（4,3)a×\f(5，3）a）＝eq\f(4,5)，∴sinA＝eq\f（3，5)，故選C。思維升華利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時(shí)通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化．跟蹤訓(xùn)練(1）函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且eq\o（OM，\s\up6(→))·eq\o（ON，\s\up6（→））＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______．答案3解析由圖象可知，Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）,1）），Neq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(xN,－1)）,所以eq\o（OM，\s\up6(→））·eq\o（ON，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，1）)·(xN，－1)＝eq\f（1,2）xN－1＝0，解得xN＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2－\f（1，2）））＝3。(2)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥x,，x＋y≤2,,x≥a，））若eq\o（OA,\s\up6(→))＝(x,1)，eq\o(OB,\s\up6(→)）＝(2，y）,且eq\o（OA，\s\up6（→））·eq\o（OB,\s\up6(→））的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是________．答案eq\f（1，8）

解析因?yàn)閑q\o（OA,\s\up6（→）)＝（x,1），eq\o（OB，\s\up6(→）)＝(2，y),所以eq\o(OA,\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6(→）)＝2x＋y,令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示（含邊界）,觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)C（1,1）時(shí)，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)F(a,a）時(shí)，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝eq\f(1,8).三審圖形抓特點(diǎn)典例已知A，B，C，D是函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f（π，2）)）一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π，6),0）），B為y軸上的點(diǎn),C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，由eq\o（CD，\s\up6（→））在x軸上的投影為eq\f（π，12），則ω，φ的值為（)A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2,φ＝eq\f（π,6）C．ω＝eq\f（1，2）,φ＝eq\f（π，3) D．ω＝eq\f（1,2），φ＝eq\f(π,6）eq\x(E為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，C為圖象最低點(diǎn))eq\o（→，\s\up7(作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)M)，\s\do5(D,B兩點(diǎn)對(duì)稱）)eq\x（CD和MB對(duì)稱)eq\o(→，\s\up1(\o（→）,\s\do2（\s\up3（CD))在x軸上,的投影是\f（π,12)）)eq\x（BM在x軸上的投影OF=\f(π,12))eq\x（AF＝\f（π,4）)→eq\x(T＝π）→eq\x(ω＝2)eq\o(→，\s\up7(y＝sin（2x＋φ）),\s\do5(和y＝sin2x圖象比較）)eq\x（\f（φ,2)＝\f(π,6))→eq\x(φ＝\f(π，3))解析由E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,作點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)M,作MF⊥x軸,垂足為F，如圖．B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，由eq\o(CD，\s\up6（→））在x軸上的投影為eq\f(π,12),知OF＝eq\f(π,12）.又Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π,6)，0）)，所以AF＝eq\f（T，4）＝eq\f(π，2ω）＝eq\f(π,4),所以ω＝2.同時(shí)函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）圖象可以看作是由y＝sinωx的圖象向左平移得到，故可知eq\f（φ，ω)＝eq\f(φ，2）＝eq\f（π，6)，即φ＝eq\f（π，3）.答案A1．（2018·株州模擬)在△ABC中，（eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o(BA，\s\up6（→）))·eq\o（AC,\s\up6(→）)＝｜eq\o（AC,\s\up6（→）)|2,則△ABC的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析由(eq\o（BC,\s\up6(→))＋eq\o（BA，\s\up6(→)）)·eq\o(AC，\s\up6(→))＝|eq\o（AC,\s\up6（→）)｜2，得eq\o(AC,\s\up6(→））·（eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o(BA，\s\up6(→)）－eq\o（AC,\s\up6(→)））＝0，即eq\o(AC，\s\up6(→）)·(eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6（→）)＋eq\o（CA,\s\up6（→)）)＝0，2eq\o(AC,\s\up6(→)）·eq\o（BA，\s\up6（→))＝0，∴eq\o（AC，\s\up6(→）)⊥eq\o(BA，\s\up6(→)），∴A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到｜eq\o(AB，\s\up6（→））｜＝｜eq\o(AC,\s\up6（→）)｜,故△ABC一定是直角三角形．2．已知點(diǎn)A（－2,0）,B（3，0),動(dòng)點(diǎn)P（x，y)滿足eq\o(PA，\s\up6(→））·eq\o（PB,\s\up6(→）)＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線答案D解析∵eq\o（PA,\s\up6（→）)＝(－2－x，－y),eq\o(PB,\s\up6（→）)＝（3－x，－y)，∴eq\o（PA，\s\up6(→))·eq\o（PB，\s\up6（→)）＝（－2－x）(3－x）＋y2＝x2，∴y2＝x＋6,即點(diǎn)P的軌跡是拋物線．3．已知向量m＝（1，cosθ)，n＝（sinθ，－2），且m⊥n，則sin2θ＋6cos2θ的值為（)A。eq\f（1，2） B．2C．2eq\r（2） D．－2答案B解析由題意可得m·n＝sinθ－2cosθ＝0，則tanθ＝2，所以sin2θ＋6cos2θ＝eq\f(2sinθcosθ＋6cos2θ，sin2θ＋cos2θ）＝eq\f(2tanθ＋6，tan2θ＋1)＝2.故選B。4．（2017·長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)）在△ABC中,D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up6（→))＝eq\f(1,3）eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\f(1，2)eq\o(AC,\s\up6（→）），則eq\f(S△BCD,S△ABD）等于（)A.eq\f(1，6) B。eq\f（1，3)C。eq\f(1,2) D.eq\f（2，3）答案B解析如圖,由已知得點(diǎn)D在△ABC中與AB平行的中位線上,且在靠近BC邊的三等分點(diǎn)處，從而有S△ABD＝eq\f（1,2）S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,3)S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2)－\f(1,3)）)S△ABC＝eq\f（1，6)S△ABC，所以eq\f(S△BCD,S△ABD）＝eq\f(1，3)。5．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，8）＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(EF1,\s\up6（→））·eq\o（EF2，\s\up6(→)）的最大值、最小值分別為（)A．9,7 B．8，7C．9,8 D．17，8答案B解析由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（－1,0)，F(xiàn)2（1，0),設(shè)E(x，y）（－3≤x≤3），則eq\o(EF1，\s\up6（→））＝（－1－x,－y），eq\o(EF2,\s\up6(→)）＝（1－x，－y），所以eq\o（EF1，\s\up6（→）)·eq\o(EF2，\s\up6(→）)＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f(8，9)x2＝eq\f(x2，9）＋7,所以當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(EF1，\s\up6(→))·eq\o（EF2,\s\up6(→)）有最小值7,當(dāng)x＝±3時(shí)，eq\o（EF1,\s\up6(→))·eq\o（EF2，\s\up6（→)）有最大值8，故選B.6．(2018·四川涼山州一診)若直線ax－y＝0(a≠0）與函數(shù)f(x)＝eq\f（2cos2x＋1，ln\f(2＋x，2－x))的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B，且點(diǎn)C(6，0），若點(diǎn)D（m，n）滿足eq\o(DA,\s\up6（→))＋eq\o（DB，\s\up6(→）)＝eq\o(CD,\s\up6（→)），則m＋n等于(）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析因?yàn)閒（－x）＝eq\f（2cos2－x＋1,ln\f（2－x，2＋x)）＝eq\f(2cos2x＋1,－ln\f（2＋x，2－x）)＝－f（x),且直線ax－y＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線與函數(shù)f（x)＝eq\f(2cos2x＋1,ln\f(2＋x,2－x）)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又eq\o（DA，\s\up6(→）)＝（xA－m，yA－n)，eq\o(DB,\s\up6（→）)＝(xB－m，yB－n)，eq\o（CD，\s\up6(→）)＝（m－6，n），由eq\o(DA，\s\up6(→）)＋eq\o(DB,\s\up6(→)）＝eq\o(CD,\s\up6（→)），得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0,所以m＋n＝2，故選B。7．在菱形ABCD中，若AC＝4，則eq\o(CA，\s\up6(→))·eq\o（AB，\s\up6（→））＝________。答案－8解析設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴eq\o（CA,\s\up6（→)）·eq\o（AB,\s\up6(→)）＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8。8．已知｜a｜＝2|b|,|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋｜a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是________．答案eq\f(2π，3）解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b｜2cosθ＝0，∴cosθ＝－eq\f（1,2）。又∵θ∈［0，π］，∴θ＝eq\f(2π，3).9．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OC，\s\up6（→))＋2eq\o（OB,\s\up6(→)）＝0，則△AOC與△ABC的面積之比是________．答案1∶2解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，∴eq\o(OA，\s\up6(→)）＋eq\o（OC，\s\up6(→))＝2eq\o(OD，\s\up6(→)），∴eq\o（OD，\s\up6(→)）＝eq\o(BO，\s\up6(→）),∴O為BD的中點(diǎn),∴面積比為高之比．即eq\f(S△AOC,S△ABC）＝eq\f（DO,BD）＝eq\f(1，2）.10．如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心,C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（eq\o(PA，\s\up6（→))＋eq\o(PB,\s\up6(→））)·eq\o（PC，\s\up6（→))的最小值為________．答案－eq\f(9,2）解析∵圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，∴eq\o（PA,\s\up6(→)）＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO，\s\up6(→))，∴(eq\o（PA，\s\up6(→）)＋eq\o(PB,\s\up6（→))）·eq\o(PC，\s\up6（→))＝2eq\o（PO,\s\up6(→)）·eq\o(PC,\s\up6(→）)，∵|eq\o（PO,\s\up6（→）)|＋｜eq\o(PC,\s\up6(→))｜＝3≥2eq\r(｜\o（PO,\s\up6(→))｜·|\o（PC，\s\up6(→））｜）,∴｜eq\o(PO,\s\up6（→）)｜·|eq\o（PC，\s\up6(→）)｜≤eq\f(9，4），即（eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB，\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6（→））＝2eq\o(PO,\s\up6（→))·eq\o(PC，\s\up6（→)）＝－2｜eq\o（PO,\s\up6(→)）｜·｜eq\o（PC,\s\up6(→)）|≥－eq\f(9，2)，當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(PO，\s\up6(→））｜＝｜eq\o（PC，\s\up6（→）)｜＝eq\f（3，2)時(shí),等號(hào)成立,故最小值為－eq\f（9,2）.11．已知點(diǎn)P（0,－3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上,點(diǎn)M滿足eq\o(PA,\s\up6(→)）·eq\o（AM，\s\up6（→）)＝0，eq\o(AM,\s\up6（→))＝－eq\f(3，2）eq\o(MQ,\s\up6（→）)，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解設(shè)M（x，y）為所求軌跡上任一點(diǎn)，設(shè)A（a,0），Q（0，b)(b＞0），則eq\o（PA，\s\up6(→))＝(a，3），eq\o(AM,\s\up6（→)）＝（x－a,y)，eq\o（MQ，\s\up6(→)）＝(－x，b－y)，由eq\o(PA,\s\up6(→)）·eq\o(AM,\s\up6（→）)＝0，得a(x－a）＋3y＝0。①由eq\o（AM，\s\up6(→))＝－eq\f（3,2)eq\o(MQ，\s\up6(→)）,得(x－a，y）＝－eq\f(3，2)(－x，b－y）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,2)x,\f(3，2)y－b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a＝\f(3，2)x，，y＝\f(3,2)y－\f（3,2）b，))∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f（x,2），，b＝\f（y，3）.）)∵b＞0，∴y＞0，把a(bǔ)＝－eq\f(x，2)代入到①中，得－eq\f（x,2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（x,2））)＋3y＝0，整理得y＝eq\f(1，4）x2(x≠0）．∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y＝eq\f(1，4)x2(x≠0)．12．(2018·酒泉質(zhì)檢）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b，c，且滿足（eq\r（2）a－c)eq\o(BA，\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6（→））＝ceq\o(CB，\s\up6(→））·eq\o（CA,\s\up6（→）)。(1）求角B的大小；（2）若｜eq\o（BA，\s\up6（→））－eq\o(BC,\s\up6(→）)|＝eq\r（6)，求△ABC面積的最大值．解(1)由題意得(eq\r(2）a－c）cosB＝bcosC。根據(jù)正弦定理得（eq\r(2）sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以eq\r（2)sinAcosB＝sin（C＋B),即eq\r（2）sinAcosB＝sinA，因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA〉0.所以cosB＝eq\f（\r(2），2），又B∈(0,π），所以B＝eq\f（π,4)。(2）因?yàn)椋黣q\o（BA，\s\up6（→））－eq\o（BC，\s\up6（→))|＝eq\r(6),所以|eq\o(CA，\s\up6（→）)|＝eq\r(6）.即b＝eq\r（6)，根據(jù)余弦定理及基本不等式，得6＝a2＋c2－eq\r(2）ac≥2ac－eq\r（2)ac＝（2－eq\r（2)）ac（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)），即ac≤3(2＋eq\r(2）)，故△ABC的面積S＝eq\f(1,2）acsinB≤eq\f(3\r(2)＋1，2），即△ABC的面積的最大值為eq\f(3\r(2)＋3，2）.13．已知O是平面上的一定點(diǎn)，A,B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o（OP，\s\up6（→)）＝eq\o(OA，\s\up6(→)）＋λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB，\s\up6（→）），｜\o（AB，\s\up6（→)）｜c(diǎn)osB)＋\f（\o(AC，\s\up6(→)),｜\o（AC,\s\up6(→）)|cosC））），λ∈（0,＋∞），則（)A．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心B．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心C．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心答案D解析由條件，得eq\o(AP，\s\up6(→）)＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\o（AB,\s\up6(→）)，|\o(AB，\s\up6（→)）｜c(diǎn)osB)＋\f（\o（AC，\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→)）|cosC)）），從而eq\o（AP,\s\up6（→)）·eq\o（BC，\s\up6（→))＝λeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6（→）)·\o(BC,\s\up6(→）），｜\o（AB，\s\up6(→))|cosB)＋\f（\o（AC,\s\up6(→))·\o（BC，\s\up6（→）),|\o（AC,\s\up6(→）)｜c(diǎn)osC）))＝λ·eq\f(｜\o(AB，\s\up6（→））｜｜\o（BC,\s\up6(→))｜c(diǎn)os180°－B,|\o（AB，\s\up6（→)）｜c(diǎn)osB)＋λ·eq\f（｜\o（AC,\s\up6(→）)|｜\o（BC，\s\up6(→))｜c(diǎn)osC，｜\o(AC，\s\up6（→）)｜c(diǎn)osC)＝0，所以eq\o（AP,\s\up6(→））⊥eq\o（BC，\s\up6(→）)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心．14．(2018·北京市豐臺(tái)區(qū)二模）已知O為△ABC的外心，且eq\o（BO,\s\up6（→)）＝λeq\o（BA，\s\up6（→））＋μeq\o(BC，\s\up6(→))。(1）若∠C＝90°,則λ＋μ＝________；(2）若∠ABC＝60°，則λ＋μ的最大值為________．答案(1）eq\f（1,2)（2)eq\f(2，3）解析(1）若∠C＝90°，則O為AB邊的中點(diǎn),eq\o（BO，\s\up6(→））＝eq\f(1，2)eq\o（BA，\s\up6（→)），即λ＝eq\f(1,2),μ＝0，故λ＋μ＝eq\f(1,2)。(2）設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c,因?yàn)镺為△ABC的外心，且eq\o(BO，\s\up6(→））＝λeq\o(BA,\s\up6（→)）＋μeq\o(BC,\s\up6（→）），所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\o（BO，\s\up6(→)）·\o(BA,\s\up6（→）)＝λ\o（BA,\s\up6（→））2＋μ\o(BA，\s\up6(→））·\o（BC,\s\up6（→））,,\o（BO,\s\up6(→)）·\o（BC，\s\up6(→)）＝λ\o（BA，\s\up6(→)）·\o（BC,\s\up6(→）)＋μ\o（BC,\s\up6（→))2，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）c2＝λc2＋\f(1，2）μac，，\f(1，2)a2＝\f(1，2）λac＋μa2，））化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\