2020年上海市高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

期中數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共4小題，共12.0分）當(dāng)我們停放自行車(chē)時(shí)，只要將自行車(chē)旁的撐腳放下，自行車(chē)就穩(wěn)了，這用到了（）A.三點(diǎn)確定一平面 B.不共線三點(diǎn)確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面正方體被平面所截得的圖形不可能是（）A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形如圖正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

???????A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.△AEF的面積與△BEF的面積相等由一些單位立方體構(gòu)成的幾何圖形，主視圖和左視圖如圖所示，則這樣的幾何體體積的最小值是（）（每個(gè)方格邊長(zhǎng)為1）

A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）設(shè)a，b是平面M外兩條直線，且a∥M，那么a∥b是b∥M的______條件．已知直線a，b及平面α，下列命題中：①；②；③；④．正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____（注：把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．地球北緯45°圈上有A，B兩地分別在東經(jīng)80°和170°處，若地球半徑為R，則A，B兩地的球面距離為_(kāi)_____．如果一個(gè)球和立方體的每條棱都相切，那么稱(chēng)這個(gè)球?yàn)榱⒎襟w的棱切球，那么單位立方體的棱切球的體積是______．若三棱錐S-ABC的所有的頂點(diǎn)都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，則球O的表面積為_(kāi)_____．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=a，則它的5個(gè)面中，互相垂直的面有______對(duì)．

如圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形及四個(gè)正三角形構(gòu)成，將4個(gè)正三角形沿著其與正方形的公共邊折起后形成的四棱錐的體積為_(kāi)_____．

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖），∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_____．四面體的6條棱所對(duì)應(yīng)的6個(gè)二面角中，鈍二面角最多有______個(gè)．在平面中△ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比=，將這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，則類(lèi)比的結(jié)論為_(kāi)_____．

三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)．求證：空間四邊形B1EDF是菱形．

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，（如圖）E是棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D的中心．

（1）求三棱錐A1-D1EF的體積；

（2）求異面直線A1E與AB的夾角；

（3）求EF與底面A1B1C1D1所成的角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB，N是CC1的中點(diǎn)，M是線段AB1上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=λAB1．

（1）若，求證：MN⊥AA1；

（2）求二面角B1-AB-N的余弦值；

（3）若直線MN與平面ABN所成角的大小為θ，求sinθ的最大值．

平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體ABCD中棱AB，AC，AD兩兩垂直，那么稱(chēng)四面體ABCD為直角四面體．請(qǐng)類(lèi)比直角三角形中的性質(zhì)給出2個(gè)直角四面體中的性質(zhì)，并給出證明．（請(qǐng)?jiān)诮Y(jié)論1～3中選擇1個(gè)，結(jié)論4，5中選擇1個(gè)，寫(xiě)出它們?cè)谥苯撬拿骟w中的類(lèi)似結(jié)論，并給出證明，多選不得分，其中h表示斜邊上的高，r，R分別表示內(nèi)切圓與外接圓的半徑）直角三角形ABC直角四面體ABCD條件AB⊥ACAB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD結(jié)論1AB2+AC2=BC2結(jié)論2sin2B+sin2C=1結(jié)論3=結(jié)論4=結(jié)論5（2R）2=（AB2+BC2+CA2）

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：自行車(chē)前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上，

所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車(chē)穩(wěn)定．

故選：B．

自行車(chē)前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車(chē)穩(wěn)定，此時(shí)自行車(chē)與地面的三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上．

本題考查不同線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，屬于簡(jiǎn)單題．

2.【答案】C

【解析】【分析】

平面與正方體相交與不同的位置，可以出現(xiàn)不同的幾何圖形，不可能出現(xiàn)正五邊形

本題考查了用平面截正方體，明確幾何體的特征，是解好本題的關(guān)鍵．本題屬基礎(chǔ)題．

???????【解答】

解：如圖所示，平面與正方體相交與不同的位置，可以出現(xiàn)正三角形，正方形，正六邊形，不可能出現(xiàn)正五邊形，

．

故選：C．

3.【答案】D

【解析】?【分析】

?本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

連結(jié)BD，則AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，點(diǎn)A、B到直線B1D1的距離不相等，由此能求出結(jié)果．

【解答】

解：連結(jié)BD，

因?yàn)锳C⊥BD，AC⊥

，

則AC⊥平面BB1D1D

∴AC⊥BE，

由于BD∥B1D1，

易得EF∥平面ABCD，

又定值，定值

所以三棱錐A-BEF的體積為定值，

從而A，B，C正確．

∵點(diǎn)A、B到直線B1D1的距離不相等，

∴△AEF的面積與△BEF的面積不相等，

故D錯(cuò)誤．

故選：D．

4.【答案】C

【解析】解：通過(guò)主視圖和左視圖分析出原幾何體的形狀如圖所示，可知最少共有7個(gè)單位立方體．

則幾何體的體積最小值為7．

故選：C．

通過(guò)主視圖和左視圖分析出原幾何體的形狀，可以得到原幾何體的體積

本題考查由三視圖還原幾何體，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】充分不必要

【解析】解：證明充分性：若a∥b，結(jié)合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分條件；

證明必要性：若b∥M，結(jié)合a∥M，且a，b是平面M外，則a，b可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．

故a∥b是b∥M的“充分不必要”

故答案為：充分不必要．

判斷由a∥b能否得到b∥M，再判斷由b∥M能否得到a∥b即可．

本題考查空間線面平行，線線平行之間的關(guān)系，充分條件和必要條件，屬于簡(jiǎn)單題．

6.【答案】④

【解析】解：對(duì)于①若b⊥α，a⊥b，則a?α或a∥α；

對(duì)于②，a⊥b，b∥α則a也可與α平行；

對(duì)于③a?α?xí)r，不成立；

對(duì)于④，根據(jù)兩條平行線中有一條垂直于平面，則另一條也垂直于平面，故正確

故答案為④．

對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷，不成立可列舉反例驗(yàn)證說(shuō)明．

本題的考點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)及推論，主要考查線、面的位置關(guān)系，注意掌握反例排除．

7.【答案】R

【解析】解：地球表面上從A地（北緯45°，東經(jīng)80°）到B地（北緯45°，西經(jīng)170°），

A，B兩地都在北緯45°上，對(duì)應(yīng)的緯圓半徑是，經(jīng)度差是90°．

∴AB=R，得球心角是．

∴A，B兩地的球面距離是．

故答案為：．

由于甲、乙兩地在同一緯度圈上，計(jì)算經(jīng)度差，求出甲、乙兩地對(duì)應(yīng)的AB弦長(zhǎng)，以及球心角，然后求出球面距離．

本題考查球面距離及其他計(jì)算，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：球和立方體的每條棱都相切，則球的直徑為立方體的面對(duì)角線長(zhǎng)度，

∴單位立方體的棱切球的半徑為，

則球的體積為．

故答案為：．

由題意畫(huà)出圖形，求得球的半徑，再計(jì)算體積得答案．

本題考查空間想象能力，球的體積計(jì)算，是基礎(chǔ)題．

9.【答案】20π

【解析】【分析】

本題考查三棱錐、球、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．從而△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=AC=2，進(jìn)而能求出球O的半徑R，由此能求出球O的表面積．

【解答】

解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，

∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，

∴BC==2，

∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．

∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=AC=2，

∴球O的半徑R==，

∴球O的表面積S=4πR2=20π．

故答案為：20π．

10.【答案】5

【解析】解：底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCD

PA?平面PAB，PA?平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，

可得：面PAB⊥面PAD，

BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，

CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；

故答案為：5

先找出直線平面的垂線，然后一一列舉出互相垂直的平面即可．

本題考查平面與平面垂直的判定，考查棱錐的結(jié)構(gòu)，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：由已知中由一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形及四個(gè)正三角形構(gòu)成

故該棱錐的底面面積S=2×2=4

側(cè)高為正三角形的高

則棱錐的高h(yuǎn)==

故折起后形成的四棱錐的體積V==

故答案為：

由已知中正四棱錐的展開(kāi)圖為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形及四個(gè)正三角形，我們可以分別計(jì)算出棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可求出折起后形成的四棱錐的體積．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱棱的體積，其中根據(jù)已知條件，計(jì)算出棱錐的底面面積，及結(jié)合正四棱錐中（其中h為棱錐的高，H為棱錐的側(cè)高，a為底面的棱長(zhǎng)）求出棱錐的高，是解答本題的關(guān)鍵．

12.【答案】2+

【解析】解：DC=ABsin

45°=，BC=ABsin

45°+AD=+1，

S梯形ABCD=（AD+BC）DC=（2+）=+，

S=S梯形ABCD=2+．

故答案為：2+

求出直觀圖中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利與用平面圖形與直觀圖形面積的比是，求出平面圖形的面積．

本題考查斜二測(cè)畫(huà)法，直觀圖與平面圖形的面積的比例關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

13.【答案】3

【解析】解：將三棱錐的頂點(diǎn)，向下壓到與底重合，側(cè)面的3個(gè)二面角都是180°，

將這個(gè)頂點(diǎn)稍稍提高一點(diǎn)點(diǎn)，離開(kāi)底面，

此時(shí)3個(gè)側(cè)面的二面角都是鈍角．

故答案為：3．

通過(guò)定性分析，對(duì)四面體取特殊情況可以得到鈍二面角的個(gè)數(shù)

本題考查利用極限思想，通過(guò)定性分析來(lái)解決問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題．

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了類(lèi)比推理，將平面中的性質(zhì)類(lèi)比到空間．

三角形的內(nèi)角平分線定理類(lèi)比到空間三棱錐，根據(jù)面積類(lèi)比體積，長(zhǎng)度類(lèi)比面積，從而得到．解：在平面中△ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比=，

將這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，

則類(lèi)比的結(jié)論為根據(jù)面積類(lèi)比體積，長(zhǎng)度類(lèi)比面積可得：，

故答案為：．

15.【答案】

證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，

∴四邊形B1BGF為平行四邊形，則BG∥B1F，

由ABCD-A1B1C1D1為正方體，且E，G分別為BC，AD的中點(diǎn)，

可得BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE，BG=DE，

則B1F∥DE，且B1F=DE，

∴四邊形B1EDF為平行四邊形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，

∴四邊形B1EDF是菱形；．

【解析】由題意畫(huà)出圖形，取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，可證四邊形B1BGF為平行四邊形，得BG∥B1F，再由ABCD-A1B1C1D1為正方體，且E，G分別為BC，AD的中點(diǎn)，可得BEDG為平行四邊形，得BG∥DE，BG=DE，從而得到B1F∥DE，且B1F=DE，進(jìn)一步得到四邊形B1EDF為平行四邊形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四邊形B1EDF是菱形；

本題考查正方體內(nèi)線段之間的關(guān)系，空間四邊形的證明，屬于簡(jiǎn)單題．

16.【答案】解：（1）由題意知，==??h=×（×2×1）×1=；

（2）∵A1B1∥AB，∴∠EA1B1或其補(bǔ)角即為異面直線A1E與AB所成角，

在△EA1B1，A1E=EB1=，A1B1=2，

∴cos∠EA1B1===，

∴異面直線A1E與AB所成角為arccos；

（3）取A1D1中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)MF，

∵M(jìn)F∥A1A且A1A⊥平面A1B1C1D1，∴MF⊥平面A1B1C1D1，

∴∠FEM即為EF與底面A1B1C1D1所成的角，

MF=AA1=1，ME=

∴tan∠FEM===，

∴EF與底面A1B1C1D1所成的角的大小為arctan．

【解析】（1）對(duì)三棱錐A1-D1EF換底，換成以F為頂點(diǎn)，△A1D1E為底的三棱錐，求出底面△A1D1E的面積和對(duì)應(yīng)的高，得到所求的體積；

（2）找到異面直線A1E與AB所成的角，在△EA1B1內(nèi)由余弦定理求出；

（3）找出直線EF與底面A1B1C1D1所成的角，再計(jì)算大?。?/p>

本題考查三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，求異面直線所成的角，直線與平面所成的角，屬于中檔題．

17.【答案】解：（1）取AA1中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)MD和ND，

∵λ=，∴M為AB1中點(diǎn)，又D為AA1中點(diǎn)，∴MD∥B1A1，

∵B1A1⊥AA1，∴MD⊥AA1，

同理ND⊥AA1，∴AA1⊥平面MND，∴MN⊥AA1；

（2）取AB中點(diǎn)E，A1B1中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EN、EF、FN，

則EN⊥AB，EF⊥AB，∠FEN即為二面角B1-AB-N的平面角，

設(shè)AB=2a（a＞0），則EF=4a，EN=FN=a，

∴cos∠FEN==，

即二面角B1-AB-N的余弦值為；

（3）設(shè)AB=2a（a＞0），M到平面ABN的距離為d，

則S△ABM=λ=λ??2a?4a=4λa2，

S△ABN=?2a?a=a2；

由等體積法，V三棱錐N-ABM=V三棱錐M-ABN，即?S△ABM?a=?S△ABM?d，

可得d=λa，

而MN==2a，

∴sinθ==?=?=?≤?=，

當(dāng)且僅當(dāng)=，即λ=時(shí)，等號(hào)成立，

即sinθ的最大值為．

【解析】（1）取AA1中點(diǎn)D，通過(guò)線線垂直證明AA1⊥平面MND，從而得到MN⊥AA1；

（2）取AB中點(diǎn)E，A1B1中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EN、EF、FN，則∠FEN即為二面角B1-AB-N的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．

（3）利用等體積法，求出M到平面ABN的距離及MN的長(zhǎng)度，從而表示出sinθ關(guān)于λ的函數(shù)，求出最大值．

本題考查通過(guò)線面垂直證明線線垂直，二面角的求法，以及線面角的正弦值的表示，屬于中檔題．

18.【答案】解：記△ABC、△ABD、△ACD、△BCD的面積依次為S1、S2、S3、S，

平面BCD與AB、AC、AD所成角依次為α、β、γ，

點(diǎn)A到平面BCD的距離為d，r，R分別表示內(nèi)切球與外接球的半徑，內(nèi)切球的球心為O，直角三角形ABC直角四面體ABCD條件

AB⊥ACAB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD結(jié)論1AB2+AC2=BC2

結(jié)論2

sin2B+sin2C=1sin2α+sin2β+sin2γ=1

結(jié)論3

=

結(jié)論4

=結(jié)論5

（2R）2=（AB2+BC2+CA2）（2R）2=AB2+A