第八講-機器人動力學(xué)-牛頓-歐拉方程

山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.6小節(jié)機器人的桿件的速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.6機器人的桿件的速度基本思路：

已知基座速度和各關(guān)節(jié)的相對速度，從基座速度開始，一步一步遞推出末端執(zhí)行器的速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度

機器人桿件的速度包括線速度和角速度，下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。如圖所示，設(shè)已知i桿件的速度為ωi和vi，i+1桿件繞Zi+1軸旋轉(zhuǎn)的角速度為。

山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度

則：在{i+1}坐標(biāo)系中表示的i+1桿件桿的角速度為：

在{i+1}坐標(biāo)系中表示的i+1坐標(biāo)系原點的線速度為：在{i+1}中表示的i+1桿的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原點的距離。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關(guān)節(jié)機器人如圖所示，計算以關(guān)節(jié)速度為函數(shù)的手尖處的速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度解：1、建立坐標(biāo)系，如圖：

2、求位姿矩陣：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度得：1桿在{1}中表示的速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度如果在基座坐標(biāo)系中表示，僅需乘以R03。則：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關(guān)節(jié)機器人的雅克比矩陣。解：由例1知：則：及山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的行數(shù)等于笛卡爾空間自由度，列數(shù)等于機器人的關(guān)節(jié)數(shù)。同理，我們可以求相對基座坐標(biāo)系的雅克比矩陣。所以：10山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的逆為：

當(dāng)手尖沿X方向以速度1m/s運動時，由雅克比逆矩陣可得：

當(dāng)θ2=0時，上式分母為零，兩關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大，它對應(yīng)機器人的奇異位置。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02第4章機器人操作動力學(xué)4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學(xué)方程4.3、機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述為什么要研究機器人的動力學(xué)問題？

1、為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，機器人的運動是作用于關(guān)節(jié)上的力矩與其他力或力矩作用的結(jié)果。

2、力或力矩的作用將影響機器人的動態(tài)性能。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述機器人動力學(xué)研究內(nèi)容：正問題：已知作用在機器人機構(gòu)上的力和力矩，求機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度，即：F=ma。反問題：已知機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求作用在各關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩，即：am=F。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述機器人動力學(xué)研究方法：目標(biāo)：根據(jù)機器人機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點、運動學(xué)和動力學(xué)原理，提出通用、快捷的建立動力學(xué)方程的方法。數(shù)學(xué)工具：矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。力學(xué)原理：動量矩定理、能量守恒定理、牛頓－歐拉方程、達(dá)朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述幾項假設(shè)：

1、構(gòu)成機器人的各桿件都是剛體，即不考慮桿件的變形。

2、忽略各種間隙等因數(shù)的影響。

3、暫不考慮驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)。15山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程

機器人動力學(xué)的特點：

1、串聯(lián)機器人由多個桿件經(jīng)關(guān)節(jié)軸串聯(lián)構(gòu)成，屬于多體動力學(xué)的研究范疇。

2、各桿件的速度、加速度是關(guān)節(jié)位置及時間的函數(shù)，隨機器人桿件構(gòu)形的不同而改變。

3、機器人動力學(xué)的計算復(fù)雜，多采用數(shù)值遞推的方法計算。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程我們知道：剛體運動

=質(zhì)心的平動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動其中：質(zhì)心平動：用牛頓方程描述。繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動：用歐拉方程定義。它們都涉及到質(zhì)量及其分布，我們先復(fù)習(xí)一下轉(zhuǎn)動慣量的計算。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程

如圖所示，設(shè)剛體的質(zhì)量為，以質(zhì)心為原點的隨體坐標(biāo)系下的慣量矩陣由六個量組成，表示為：一、慣量矩陣（張量）圖3.1式中：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程

慣量矩陣中的元素稱為慣量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指標(biāo)的元素稱為慣量積(Massproductsofinertia)。對于給定的物體，慣量積的值與建立的坐標(biāo)系的位置及方向有關(guān)；如果我們選擇的坐標(biāo)系合適，可使慣量積的值為零。這樣的坐標(biāo)系軸稱為主軸（Principleaxes）,相應(yīng)的慣量稱為主慣量。事實上，主慣量是慣量矩陣的三個特征值。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程平行軸定理（Parallel-axistheorem）:

已知相對于某一原點位于物體質(zhì)心坐標(biāo)系{C}的慣量張量，坐標(biāo)系{A}平行于坐標(biāo)系{C}，則相對于{A}坐標(biāo)系的慣量張量為：其中：為質(zhì)心相對于{A}坐標(biāo)系的坐標(biāo)。20山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程二、牛頓—歐拉方程我們假設(shè)機器人的每個桿件都為剛體，為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，運動桿件所需要的力或力矩是所需加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)；牛頓方程和用于轉(zhuǎn)動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅(qū)動力矩、負(fù)載力（力矩）、慣量和加速度之間的關(guān)系。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程

我們先研究質(zhì)心的平動，如圖4.1所示，假設(shè)剛體的質(zhì)量為，質(zhì)心在C點，質(zhì)心處的位置矢量用表示，則質(zhì)心處的加速度為；設(shè)剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度用表示，繞質(zhì)心的角加速度為，根據(jù)牛頓方程可得作用在剛體質(zhì)心C處的力為：圖4.1山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程

根據(jù)三維空間歐拉方程，作用在剛體上的力矩為：

圖4.1

以上兩式合稱為牛頓—歐拉方程。式中，M為作用力對剛體質(zhì)心的矩，為繞質(zhì)心的角速度和角加速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程三、加速度計算1、線加速度

如圖所示，設(shè)坐標(biāo)系i與i-1桿固聯(lián)，其原點加速度為ai-1,角速度為ωi-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，相對轉(zhuǎn)速為

。P為i桿上任意一點。15山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程Pi點的相對速度和加速度為：

Pi點的絕對加速度為：erk代入并化簡得：即：上述參數(shù)都是在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的。26山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程i+1坐標(biāo)系原點的加速度為：設(shè)i桿件質(zhì)心為ci,則其加速度為：2、角加速度

i桿的角加速度為：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程四、作用力和力矩

計算出每個桿件質(zhì)心的加速度后，我們可以應(yīng)用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質(zhì)心的慣性力和慣性力矩。根據(jù)牛頓-歐拉方程，有：28山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2機械人的牛頓—歐拉方程圖2構(gòu)件受力圖

如圖2所示，將第i個構(gòu)件Li作為隔離體進行分析，作用在其上的力和力矩有：

作用在i桿件上的外力和外力矩，i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩，以及i+1桿件作用在i桿件上的力和力矩。29山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程其中：

Fi+1,i—構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi+1,i—構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi-1,i—構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi-1,i—構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi—作用在第i個構(gòu)件Li上的外力簡化到質(zhì)心C處的合力，即外力的主矢。Mi—作用在第i個構(gòu)件Li上的外力矩簡化到質(zhì)心C處的合力矩，即外力的主矩。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅(qū)動力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i個構(gòu)件上的所有力化簡到質(zhì)心的總的合力為：它們都在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程相對于質(zhì)心的總的合力矩Mi為：

最后，為了便于遞推計算，重新安排力和力矩計算公式為：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

i桿件需要的關(guān)節(jié)力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量，即：牛頓-歐拉方程的遞推算法：由兩部分組成：首先，從1號桿到n號桿，向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后，再從n號桿到1號桿，向后遞推計算作用力和力矩，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。算法過程總結(jié)如下：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程向前遞推：i:0→6向后遞推：i:6→1慣性力慣性力矩條件：基礎(chǔ)桿件和各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度已知山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

引力對桿件作用的影響可以通過設(shè)置來實現(xiàn)，這里，G為引力常數(shù)。上面給出了關(guān)節(jié)型機器人的動力學(xué)計算方法，對于移動關(guān)節(jié)可以推導(dǎo)相應(yīng)的方程。對一些相對簡單的問題，用上述方法，也可能得到閉式解析結(jié)果。上述遞推算法是一種通用算法，可以用于任意自由度數(shù)的關(guān)節(jié)型機器人。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例圖3平面兩自由度機器人機構(gòu)例1如圖3所示的平面兩自由度機器人機構(gòu)。連桿L1質(zhì)心為C1，質(zhì)量為m1，驅(qū)動力矩為m1=[00m11]T，角速度為ω1=[00ω1]T,加速度為ε1=[00ε1]T;連桿L2質(zhì)心為C2，質(zhì)量為m2，驅(qū)動力矩為m2=[00m22]T，角速度為ω2=[00ω2]T,加速度為ε2=[00ε2]T，山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例

選取關(guān)節(jié)O和關(guān)節(jié)A處的轉(zhuǎn)角θ1和θ2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，可以寫出連桿L1的牛頓—歐拉方程為:連桿L2的牛頓—歐拉方程為:式中:重力驅(qū)動力矩山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例由以上幾式消去桿件間作用力，可解得:考慮質(zhì)心位置：求導(dǎo)得：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例另外：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例有：即：對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量，得：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例化簡可得：

上式即為各桿件關(guān)節(jié)的驅(qū)動力計算公式，它是一個以角加速度為變量、變系數(shù)的非線性動力學(xué)方程。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例以上兩式進一步寫成：式中：

系數(shù)是位置的函數(shù)山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例

例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設(shè)每個桿件的質(zhì)量集中于桿件的尾部，其大小為m1和m2。解：每個桿件的質(zhì)量中心矢量為：

由于點質(zhì)量假設(shè)，每個桿件相對質(zhì)心的慣性張量為零，即：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例應(yīng)用遞推公式有：向前：1桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例2桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓—歐拉方程實例取力矩的Z分量，得到關(guān)節(jié)力矩：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02稱為慣量陣，是離心力、科氏力等相關(guān)部分，為重力部分。特點：多變量、時變、非線性、強耦合。機器人機構(gòu)動力學(xué)方程

通常，機器人的動力學(xué)方程常寫為抽象的形式：其中：為廣義坐標(biāo)向量，為廣義力向量。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介

拉格朗日方程是基于能量項對系統(tǒng)變量及時間的微分而建立的。對于簡單系統(tǒng)拉格朗日方程法相較于牛頓—歐拉方程法更顯復(fù)雜，然而隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的增加，拉格朗日方程法建立系統(tǒng)運動微分方程變得相對簡單。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02—拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)的動能和位能之差即：4.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介系統(tǒng)拉格朗日方程為：

式中：

——系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)——作用在第i個廣義坐標(biāo)上的廣義力或廣義力矩——第i個廣義坐標(biāo)——第i個廣義速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介步驟：

1、速度分析，求出速度的平方。

山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介2、求系統(tǒng)動能3、求系統(tǒng)位能山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介4、計算拉格朗日函數(shù)山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介5、代入拉格朗日方程山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介作用在關(guān)節(jié)上的廣義力為：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介上式進一步寫成式中附錄資料：不需要的可以自行刪除防曬霜生產(chǎn)工藝配方油相

A

硬脂酸5％十八醇2.5％棕櫚酸異丙酯1.5％凡士林5％防腐劑適量B石蠟油6％硅油Gy-2603.5％防曬劑POS-21％VE適量ME-40適量水相A鈦白粉3.5％丙二醇3％B三乙醇胺1％二氧化鈦其透過率小于氧化鋅。對紫外線有散射作用,能減小紫外線對人體皮膚的幅射。覆蓋力優(yōu)良,增白皮膚。但涂抹性與透氣性均差。加入量大于等于５％時,增白色澤不自然,固選用百分3.5。丙二醇丙二醇在化妝品中作濕潤劑、保濕劑。三乙醇胺三乙醇胺在化妝品中還具有中和劑的作用，從而達(dá)到增稠和保濕的作用。硬脂酸

硬脂酸用于護膚品中起乳化作用，從而使其變成穩(wěn)定潔白的膏體。十八醇化妝品中作為基質(zhì)原料中的乳化劑、增稠劑應(yīng)用棕櫚酸異丙酯具有優(yōu)良的保濕和滋潤皮膚作用。皮膚對本品的吸收性很好，能在皮層內(nèi)與毛囊有效接觸，滲入皮層深處，并將化妝品中的活性組分帶入，充分發(fā)揮有效成分的作用。作為化妝品溶劑及皮膚保濕劑、滲透劑。凡士林凡士林作為一種傳統(tǒng)的化妝品原料,它在皮膚角質(zhì)層表面形成一種隔離膜,具有防止皮膚表面水份減少的作用,保護皮膚免受外界剌激。因而它是一種極好的保溫劑和護膚品。它對皮膚無剌激,無過敏。石蠟油石蠟油又稱礦物油，由于礦物油具有低致敏性及不錯的封閉性，有阻隔皮膚的水分蒸發(fā)的作用，所以常在乳液或乳霜中等護膚品種常被當(dāng)作順滑保濕劑來使用。硅油Gy-260硅油可提高膏體的透氣性、亮度、涂抹性。ＧＹ一２６０比２０１硅油更理想。與基質(zhì)配伍性比２０１硅油強。能在膏體表面形成極薄的膜,且不易腐敗,因而可適量減少防腐劑用量。并能有助于防曬性的提高。防曬劑POS-2能有效阻擋UVA和UVB。VE維生素E本身是一種很好的抗氧化劑，它可以進入皮膚細(xì)胞具有抗自由基鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。從理論上優(yōu)于氧化物歧化酶（SOD），在皮膚應(yīng)用于預(yù)防角質(zhì)化。vE是保護皮膚不受紫外線損傷和減少皮膚水份損失的活性組分”。ME一40能否得到穩(wěn)定細(xì)膩的膏體,乳化劑是關(guān)鍵,只依靠自生皂化的乳化力是不夠的。ME一40(C11H23O2)其用量在0.4一.7%就能得到極好的乳化效果,對膏體色澤無影響。工藝溶解A料溶解B料70-75℃水相升溫升溫油相加B料80-90℃保溫滅菌20分鐘降溫75℃75℃攪拌加三乙醇胺65℃50-55℃加A料乳化（75±2℃）攪拌30分鐘冷卻50℃加香精攪勻冷卻40℃攪勻出膏靜置24H包裝出庫膏體研磨機均值攪拌機乳化機化妝品反應(yīng)釜劑型與包裝防曬霜為涂抹化妝品即我們采取的劑型為取乳狀液物質(zhì)。防曬霜的包裝材質(zhì) 材質(zhì)PE（聚乙烯） 壁厚 0.40（mm）尺寸60-160（mm） 適用范圍 管徑30-50mm包裝類型 化妝品軟管附錄資料：不需要的可以自行刪除防曬霜生產(chǎn)工藝配方油相

A

硬脂酸5％十八醇2.5％棕櫚酸異丙酯1.5％凡士林5％防腐劑適量B石蠟油6％硅油Gy-2603.5％防曬劑POS-21％VE適量ME-40適量水相A鈦白粉3.5％丙二醇3％B三乙醇胺1％二氧化鈦其透過率小于氧化鋅。對紫外線有散射作用,能減小紫外線對人體皮膚的幅射。覆蓋力優(yōu)良,增白皮膚。但涂抹性與透氣性均差。加入量大于等于５％時,增白色澤不自然,固選用百分3.5。丙二醇