同濟(jì)高數(shù)教案

1、理解概念，掌握表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中關(guān)系式。2、了解奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3、理解復(fù)合及分段概念，了解反及隱概念。4、掌握基本初等性質(zhì)及其圖形。5、理解概念，理解左右概念，以及存在左、右之間關(guān)系。6、掌握性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7、了解存在兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求，掌握利用兩個(gè)重要求方法。8、理解無窮小、無窮大概念，掌握無窮小比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求。9的的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；3、極限的概念極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；4、兩個(gè)重要極限；5、無窮小及無窮小的比較；6、函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：1、分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；2、左極限與右極限概念及應(yīng)用；3、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則的應(yīng)用；45§1.1 映射與一集合集合概念事物C….等表示.事物稱為集合aM集合表示:把集合.例如M是由元素具有某種PxM可表示為,a,???,a},1 2 n|x具有P}.?{(,)|,y,:N.N?{0,1,2,?????,n,?????}.N??{1,2,?????,n,?????}.R,.Z,Z?{?????,?n,?????,?2,?1,0,1,2,?????,n,?????}.Q.:AB,A.AB,AB記?B?ABABNZQR,?.規(guī)定空.、BABAB的并集、BABAB的交集、BABAB的差集IAIIA的余集合運(yùn)算的法則:、、C(1(2)結(jié)合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);(3)(4):C?BC.():、BAB中有序作為新元素,它們?nèi)w組成A與集合B,記為R?R?{(xxOy面上全體點(diǎn)R?R記作R2.區(qū)間和鄰域有限區(qū)間:(a,b)?{x|a<x<b}.x|a},x|x|}半開.ab的長(zhǎng)度.無限:[a,??)?{x|a?x},(??,b]?{x|x<b},(??,??)?{x||x|數(shù)軸上的表示:a中心的任何開a設(shè)開a的U(a,?)?{x|a??<x<a??}?{x||x?a|<?}.a鄰域的半徑.去心鄰域(,(,)?{x|0<|a|<}、映射映射的概念、YX中每個(gè)YyfXYf:X?Y,其中y稱為元素(在映射f下)的像,并記作y?f(x),而元素x稱為元素(在映射f下)的一個(gè)原像;集合X稱為映射f的定義域,記作D,即fD?X;fX中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記為R

,或f(X),即fR?f(X)?{f(x)|x?X}.f需要注意的問題:

?X;集合fY,即值域的范圍:Rf與之對(duì)應(yīng).

?Y;對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)每個(gè)x?X,有唯一確定的y?f(x)對(duì)每個(gè),元素x的像y是唯一的;而對(duì)每個(gè)

,元素y的原像ff的值域

YRf

?Y.f1f:RR?R,(2.ff

?RRf

?{y|y?0},它是R的一個(gè)真子集.對(duì)于Rf

中的元素y,除y?0外,它的原像不是唯一的.如y?42|2?2,|fX?,0)?Y與之對(duì)應(yīng).ff

Rf

?Y.在幾何上,這個(gè)映x軸的區(qū)間上.f:2

2

,],x.2fDf

2

]R2

?[?1,1].、單和雙:fXY的映Rf

YyXfXY上的映或X中任意兩個(gè)不同元素x1

2

1

fXYf2f？射fXY的單f

,有唯一的x?X,適合f(x)?y,于是,我們可定義一個(gè)從Rf

X的新映g:Rf

?X,對(duì)每個(gè)y?Rf

xg稱為f的逆映,記作f?1,其定義域D1

?R ,值域Rf

?X.才存在逆映存在逆映？設(shè)有兩個(gè)映射g:

, f:1

?Z,2

?Y.gfXZ,1 2.,XZ,這gf,fo,即fog:X?Z,(fo.:gf:gR

fg,R?Dg

.,.,gffoggoffoggoffoggof.4gR?[?11]f:[?1,1]?[0,1],

f(u) .1u2gffoR?[01]1u2(fg)(x)f[g(x)]fx) 1sin2xD?R,f:D?RD,為y?f(x),x?D,x,y,DD

f

?D.f:f,xy,x.,D理解由它所確f.符:關(guān)系f也可改它字母,例如“就兩要素:從實(shí)到實(shí)總R此構(gòu)成要素

及f也相f就相同就不同.::一是對(duì)有實(shí)際背景,根據(jù)實(shí)際背景中變量實(shí)際意.求求y1x

x2

.要使有意,必須?0,2??4?0.解不等式得|x|?2.所||x|?2},D2]?[2,與多值:在中，對(duì)每個(gè),對(duì)應(yīng)值y總是唯一,這樣稱為單值yy不總是唯一法則了一個(gè)多值xy2?2?22?2?2y?rrxy有這方程了一個(gè)多值.r2x2,,,這.,2?2?2,“0, “?2?2且r2x2

yy(x)

“02?2?21且,1

yy(x) .r2x22表示主有三種:表格、圖形、解析(公式),表示r2x22{P(x,y)|y?f(x),x?D}Rf

表示.yx

x0.x x0Rf

?[0,??).1 x0.ysgnx0x0.1x0?(??,??),Rf

?{?1,0,1}.x.xx,[x].y?[x].DRf

?Z.5

[21,[]?3,[?1]??1,[?3.5]??4.[]07:,.。y2

0x1.1x

x1這是一個(gè)D?[01]?(0[0x0?x?1x

y

;當(dāng)x>1時(shí),y?1?x.

(1)12212

; f

12;f(3)?1?3?4.2幾種特性2(1),.K,,有1,則稱X上上KX11

1下方.KKX上下2 2K2

X上一個(gè)下圖2

上方.,,|),則稱X上;M,則稱X.圖形特點(diǎn)是,MyM之間.x||1例如x

f(x)1x

開區(qū)間(0,1)內(nèi)是無上(0,1)內(nèi)有下.這是因于M>1x0x1 1

11,使Mf(x1

)1M,x1上界.f(x1x

在(1,2)內(nèi)是有界的.(2)的單調(diào)性設(shè)yIIxxx<x1 2 1 21 2IIxxx

時(shí),恒有1 2 1 21 2Iy2,??,??.(3)D(,).一x?D,有..圖形y軸,圖形,?2?cosx?nxnsx非非.(4)周期性存一個(gè)正l有(x?l)?D,且f(x?l)?f(x)l.:,l函.:fff?1f.一,使得f?().這就說,f?1應(yīng)法完全由f應(yīng)法所確.?(?D?f?(?().fD調(diào)fff?1必f?1也調(diào).?f?1()?()?f?(關(guān)?x)是上?f1((?f1()(?f?1()上上于.復(fù)合:復(fù)合是復(fù)合映射概設(shè)定義域由下式確定y?f[g(x)],x?D

D上有定義且D1 1由復(fù)合定義域ug與f構(gòu)成復(fù)合通常記fg,即(fgf構(gòu)成的

fgDf函數(shù).

f

f例如,,的定義域?yàn)閇?1,1],

ug(x)2 在D

3]11x2

3,11],gf可構(gòu)成函數(shù)21x2y1x2

,x?D;nu和函數(shù)?22不能構(gòu)成函數(shù),這是因?yàn)閷?duì)任?R,?22均不在?arcsinu[?1,1多個(gè)函數(shù)的:函數(shù)的運(yùn)算D,D1義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:

,2

?D??,則我們可以定1 2和(差)f?g:(f積f?g: (ff:g

(f)(x)g

f(x)g(x)

,x?D\{x|g(x)?0}.11,),,偶f(x)?g(x)?h(x).分析如果f(x)?g(x)?h(x),則f(?x)?g(x)?h(x),于是g(x)1[f(x)f(x)],2

h(x)1[f(x)f(x)].2g(x1[f(xf(x)],2

h(x)1[f(xf(x)]2且 g(x)1[f(x)fg(x),2h(x)1[f(x)f1[f(x)fh(x).2 2初等基本初等冪?);指a?1);對(duì)y?loga

xa?1,特別當(dāng)y?lny?siny?cosy?tany?coty?secy?cscy?arcsiny?arccosy?arctany?arccotx.:x2yy=ch1x2yy=ch11y=shxy=1ex2y=1e-x2Oxcotx2cotx2:

shxexchxe

ex;2ex;2雙曲正切:

thxshxchx

ee

ex.ex雙曲yOy=thxsh(x?y)?shx?chy?chyOy=thxxch2x?sh2x?1;sh2x?2shx?chx;ch2x?ch2x?sh2x.下面證明sh(x?y)?shx?chy?chx?shy:exye(xy)2

sh(xy).反雙曲函數(shù):雙曲函數(shù)y?shy?chx(x?0)y?thx的反函數(shù)依次為y?arshy?archy?arthxy?arshxx?shyyarshxu2?2x?1?0.u,x21uxx21y?0,,x21uxx21yarshxln(x x2.x,.yarchxln(

x21),

yarthx1ln1x.2 1x§12 列極限??A?1A?A?2?8×2n?1An

3系列內(nèi)多?A?A?A????????A????1 2 3 nn無限增大（n趨于窮大）多無限增?在這個(gè)過中?多無限于An

也無限于某確定值就理解值在數(shù)學(xué)上稱上序（列） A?A?A?????A????當(dāng)n??時(shí)極限?

1 2 3 n列概念?果按照某個(gè)整n個(gè)確定xn

列序x?x?x?????

????1 2 3 n這列序就叫做{x}?其中第nx叫做列n n列{n }?1n1 2

2?3????3 4

n ??????n1{2n??2?4?8?????2n?????{1}?1?2n 2

1?1????4 8

1?????2n{(?1)n?1??1??1?1?????(?1)n?1?????{n(1)n1n

}?2?

1?4????2 3

n(1)n1n

?????

?2n?nn1n

1?(?1)n?1?2n

n(1)n1?n數(shù)列幾何意義x}可以看作數(shù)軸上依次取數(shù)軸上nxxxx1 2 3 n數(shù)列與函數(shù)?數(shù)列{x}可以看作自變量為正整數(shù)n函數(shù)?nx?fn數(shù)列極限通俗定義：對(duì)于數(shù)列{xn的n一般項(xiàng)xn

無限地接近于某一確定a是數(shù)列{x}n稱數(shù)x}收斂a?為m xa?限??n nnm

n 1?

10?

m

n)n11?nn1

n2n

n nn?1??xa|x?a|0?n n?{x}a???nNn>Nx式n?a|<?na{x}{x}收斂an nm xnn

ax?an?mnxa??0,????N?|x?|??.nn?1?

1?n?|x

1.n | n |n??|x?1|?11?n n 為???0N[1?N?|x

1?n | n |n

1?n?

0?n(n1)2|x

(1)n

1 1 ?|n

0

n1?|xn

1

1?為??0N[1?N?|x?0|?n

||

00

1

1 ?n1n(n1)23?|q|<1?1?q?2??????????0???>0?x?0|?|??0|?|?<??nn>log??1?N?[log ?|q|>0log

??1]?|q|時(shí)?有|1||1<??mn

qn10? 理1(性) {x}不能收斂?jī)蓚€(gè)不同?n?有m xnn

a及m xn

b?且a<b?義?ba2|xba |xba?n 2 n 2x baxn 2

ba?2? ?x}一切x都滿足n n等式|xn則稱{x}?樣M就說n{x}無n定理2(收斂) {x}收斂?那么{x}一定有n n?{x極限?1?存n整?xn

等式|x?1n??|x|?|(x?|xn n n

|? 1

|?????|x2

|1?|a|}{x}一切nx|x|n n這就證明了{(lán)x}有界?n3如果{x}收斂那n存在正整x?0x?0)?n na0情形證明?由極限定義?對(duì)20?N?,?Na2xaa?2n從而xan

a a220?{xx?0x?0)?{x}收斂那n n n na?0).x?0{xNxn n 1 1 n?3??N

?N?,N2

x?0取nN?max{N?N1 2

?xn

?0?3

?0n?a?0.? {x}n一個(gè)稱為{x}?n例如?{x}?1??1?1??1?????(?1)n?1???一為n{x?1?1?1(?1)2n?1 間2n關(guān)系) 如果{x}收斂于那么它一也收?且極也是na??設(shè)nk

是{x}一?n因?yàn)閧x}收斂于???>0? ?N+??N?|x|??n n?n于是|x ?k nk就xnk k

a?討論??|x?a|??是否xn

0 n 0?a(n??)?2?{x}?{x}?n n?3?? ??? ?41??1?1??1?????(?1?§13 函、函義函自變量幾種xx0

??0xxx)x??0 0 0 0xxx)x??0 0 0 0x絕對(duì)值x小于零且絕對(duì)值x????x大于零且絕對(duì)值x????自變量趨于值時(shí)函?xx0

?xx0

Amxx

x 00

? A?或?xx0

一某一正)0(給正?xx0

一度(比?某一正)有0保證x0

1點(diǎn)x0

某一去心鄰域內(nèi)有存給正(不論它多么正x滿足不等式0<|x?x?對(duì)應(yīng)都滿足不等式 ?0那么A叫做x?x0

mxx0

f(x0mxxf(x?0?|x?x|f(x)?A|???00:1?

xx0

cc?為?0?|x?x0xx0

cc??

xx0

xx?0此?0 0為?0?|x?x|??xx0

0 0xx?01?x1?要使|(???只要x?2? 為

2

??當(dāng) 0?|x?1|???時(shí)? 有|f(x)?A|?|(2x?1)?1|?2|x?1|?????1?x1x212?x1

x1??當(dāng)時(shí)?

x212??1|????0?要使|(|??只要|x?1|?

|x1? 因?yàn)?????0? 當(dāng) 0?|x?1|???時(shí) ? |(?|x212|??|x1x212?x1

x1單側(cè)極限?yy1?x?1A0

左極限?

f(x)A或(x ??A?xx 000A0

?

mxx0

f(x)A(x ??A?0?1??0

0

???--m

f(xA?x?0 0xx0m

f(xA???0x??0 0xx0mxx0

f(x)A

mxx0

f(x)Amxx0

f(x)A?5

x

x0f(x)0

x0x1

x0這是因?mx0

f(x)mx0

(x1?mx0

f(x)mx0

(x?mx0

f(x)mx0

f(x)?2一正任意給定的正x滿足不等式值f(x)都滿足不等式則常A叫做?記為mx

f(x)Amxf(x)A???0?X?0??類似地可定義mx

f(x)A

mx

f(x)A?結(jié)論?

mx

f(x)A

mx

f(x)A

mx

f(x)A?mx

f(x)AyyA(x)A??OXx6?

10?

xx|f(x)101|

?|(???x1?x x||??X10?|?X?f(x)10|

1? x x|10?xx

1y ?1x??

x

f(xc?、極限性質(zhì)1(極限唯性)

xx0

f(x)?2(極限局部界性)得0?|x?x有0 0|f(x)|?M??10?|x?x有0 0|f(x)?A|???1?|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?x0

0?|x?x|?}?03())???當(dāng)00?|x?x0???

f(xA?A?0?|x?x?有xx 2 00f(x)AA?AAf(x)?f(x)A2 2 23??x?0 0f(x)1A?2推論 x0

一且A?0)?0??1x??04()?{x}x0?xn

n?x(?N?)?0

0)}且nm

f(x)m

f(x)?n

n xx0??0??0?0?|x?x有0 0|f(x)?A|???x?x(??0??N??N?|x?x|??n 0 n 0xn

?x(?N??N0

?x|?n 0

)?A|???n即§14 無窮小、無窮小f(x)(或x??)零?稱00零{x}稱n?

10?

1?xx x

(x1)0?x1

1 0?

1 }?nn1

n1?0??(??很0????1 一(?具有A0充分必條件?證明?設(shè)

mxx0

fA0?|x?x0|f(x)?A|???令0

f(x)?A???A一個(gè)無窮小之和?A是常數(shù)?0

時(shí)是|f(x)?A|?|?|?因0

時(shí)?0?0?0?|x?x0|?|??或|f(x)?A|???A0

時(shí)?簡(jiǎn)要如果??0?00?|x?x有?0反之如果??有有0f(x)?A|???A是0

是0

果0

A0

?情形? 如?為1x

1

10

1x31?2x3

2 2x3

x2x3

x

2x3 2(??0(0(mx

f(x)?()?0???“函作mxx

f(x)

(mx

f(x)?提示?

mxx

f(x)?x ?有0?mxx(x

f(x)

mxx(x

f(x)?2證明

1 ?x1x1?M?0?1M

?0?|x?1|??|1x

M?1 ?x1x1?|1

M?x1?x1 x| M?xx

f(x)

xx0

?101?

yx1

?2)一?1f(x

為1f(x)

為?簡(jiǎn)證明?xx0時(shí)?

f(x0

1?當(dāng)x M 0有f(x)1M

?當(dāng)x 時(shí)?0|1f(x

M?1f(x)

0

?f(x)?

M1?????0?x ?xx0f(x)M1?|1

0?x? f(x)?)??0x0 0x?0 00§1?6 極限運(yùn)算法則定理1 限個(gè)和也是?例xsinx都是x也是?及是兩個(gè)??0?0?00 1 20?|x?x|?0?|x?x|?|?|??0 1 0 2取?min{0?|x?x????1 2 0???0

????0??0?0?當(dāng)0 2 10?|x?x|?0 12???0?0?0?|x?x|??0 2 2 0 22?min{0?|x?x??1 2 02 2?時(shí)2 2 0?2 ??ux一去心鄰域{|?}內(nèi)?0 0 1?M?0?0?|x?x|?

??0?0 1 0??0?0?|x?x|??2 0 ??min{0?|x?x??有1 2 0|u??|?M????1arctanx1arctanxx x?1 與乘積?2 限個(gè)乘積定理3 果limflimg那么lim[f?limf?limg?A?B?limf?limf?limg?

f()

fAg()

B為limflimg(x)?B?根據(jù)極限與關(guān)系?有f(x)?A???g(x)?B???f?g(x)?(A?(B??(A?f)?g(A??lim[f?g??limf?limg??A?B推論1 如果limf存在?而c?則lim[cf(x)]?climf推論2 如果limf存在?而n正整?lim[f(x)]n?[limf定理4 設(shè)有{xn

}和{yn

}?如果m xnn

A

mn

yB?n那么

m (x

)AB?n n n

m (x

)AB?n n n(3)(n?1?2?

xA?y0

m nnn ny Bn5 ???1?mx1

(2x1)?? mx1

2x)mx1

2xm

2m

x12111?P(x)a0

xn

axn11

a xn1

a?mnxx0n

?

mx

()m a0xx00

xn)

mx

(axn1)1

mx

(an1

m anxx0na(

a(

a)?axn?ax?a0xx0

1xx0

n 00 10 n 0a0

xn

axn11

a?mnxx0n

P(x)P(x)?02?mx2

?25x3?

m

(x31)m

2x

3

x (25xx m

3

1

m

7?m

x22 5

x2x

3m22

10

33x

x2下寫法是否正確？

m 3

7?m

m

x2 5x

221033

x2m

m

7?m

m

x2 5x

x2 (22 10

33?mx3

?x29?

x3

1 m 1 1?m

9

m

m

m

6x34?mx1

?4?

x25x4125140?x1

213mx1

2x3

???下寫法是否正確？m

m

1?x1

m

0討論?有理函數(shù)

P(x)?xxQ(x)0示?Q(x0

m

P(x)?0?0 0

Q(x)0Q(x0P(x0

m

P(x)?0 0 0? 式)去?0 0 0

3422?73523解? 用3母?限?m

3422

342x 3

3?7352

753 7x 3

3x22x1?2325解? 用3母?限?1m1

221

32x

300?232

215 2x 37

2325?x3x22x1解

3x22x10?所以2325m

2325?x3x22x1?

axnaxn1a0 1

n?xb

xmbxm1b0 1 m?0aaxn1a a

nm?0 1

n0

nmxb

bxm1b b0 1

0

nm8

sinx?x? ?不存在?故關(guān)于商運(yùn)算法則不能應(yīng)?x1x界x x所以limsinx0?x x定8(復(fù)合運(yùn)算法則) 設(shè)是由與f[g(xx000

某去心鄰域內(nèi)定義?若x

g(x)u0

u

fA

0x

f[g(x)]limuu0

f(u)A?定8(復(fù)合運(yùn)算法則) 設(shè)是由?f[g(x)]x0

?若)? x則0 0 0 0 0mxx0

f[g(]muu0

f(u)A?|?}?0 0 0?|??0??0 0上述??0?00?|x?x|?有0 0 1 0 10取??min{而0 1 0 00?注?0把

g()u

g()或m g()xx0

xx0

xmu

fu)Amu

f(u)A可類似結(jié)果?0 0 0)?09mx3

x29?x3y

x29x3

y

uu

x2x3

u?u

x296?

x29m ?6x36

x3

x3

x3

u6§1?7極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極準(zhǔn)則Ix}、{y}及{zn n n(1)y?x?z(n?1?2?3????)?n n n(2)mn

yan

mn

za?n那么數(shù)列{xn

}mn

a?n

mn

an

mn

zaNn

?0?1

時(shí)?有1|y? n

2

2

?a|?N?max{Nn

?N}?則1 2?有|y?a|???n

?a|???n即?n

?a???ny?x?z有n n n?xn

?z?a???n n即

?a|???n了m xnn

a?N有|y及n

?a|???n有n

?a???n由條件(1)?有a???y

?xn n

?a???n即

?a|???nxnn

a?BD1OxCABD1OxCAx0 0當(dāng)|x|?M時(shí)有定義?I及I?稱為夾逼?下面根據(jù)I?

limsinx1?x0 xxx?0x的圓為單位圓??圓心角?

)?顯然sin2Bn??因?yàn)镾 ?S ?S ??AOB

?AOD所以1sin11tan2 2 2即 sin不等號(hào)各邊都除以sinx?就有x1sinxx

1 cosxx或 cosxx1?x注意此不等式當(dāng)?

cosx1

limsinx1?2 x0 x0 x簡(jiǎn)要證明?0x)?2顯然BC?AB?AD?因此sinx?x?tanx?x從而cosxx1x

(此不等式當(dāng)x?0時(shí)也成立)?cosx1

limsinx1?x0

x0 x應(yīng)注意的問題?在極限limsin(x)中?只要?(x)是無窮小?就有l(wèi)imsin(x)1?(x)u

(x)limsinu1?(x)

u0 usinx1

limsin(x)1(?(x)?0)?x0 x

(x)x?x0 x?x

sinx 1

sinx

1 1?x0 x

x0 x

cosx

x0 x

x0cosx1cosx?x0 x2?1cosx2

?

2sin22x2

12

xsin22xx0

x0

x0

(2)2sinx21lim 211?2x x 2 2 2 21 sinx2

21

1? 2x0 x 2

2 2 2?

}件nx1

?x????2 3

?x ?????n n?1就稱

}是增加的? n

}件nx1

?x????2 3

?x ?????n n?1

}??n

}n

?x ??N??n n?1?一定有界?但那時(shí)也指出?有界不一定II?II幾何解釋?根據(jù)準(zhǔn)則II?m

1)n?n nx1)n{x}?n n n按牛頓二項(xiàng)公式?有1111)112)

111)12) 1n1?n n n

n n n) 1

12

n)?

n1 n

n1比較xn

? xn?1

x

n

的n?1

還多了最后一項(xiàng)?其值大于0?因此x?n

?n?1{x}?n個(gè)同時(shí)還?因?yàn)閤n

展開式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)用較大的1x111111

1

1

112n

3

1 3?n

2 22

2n1

112

2n1根據(jù)準(zhǔn)則II?{x}必enm1)ne?n n

m

1)xee是xxe?2?????xxe?m1()]

um(]u

e?為?令u

um()]

m1

e?(x)

(x)

u uxmx

1)x

e

m(x

e(?(x)?0)?(xx(x?

(11)x?xxx??tm

(11)x

(11)t

1 1?txxt

t t

te或 m 11)xm

(11)x(1)

[m 11)x1e1?xx

x x

x x§1?7 無窮小的比較一、無窮小的比較定義 設(shè)某一極限過程,與都是無窮小,且

C（C）若

0，則稱是比高階的無窮小，記成

o(a)

(此時(shí)，也稱是比低階的無窮小)．若

0，則稱與是同階無窮小，特別地，若C

1與

~．

x0

sinx

1即x

x(x0)；x0

1cosx22

1即1cosx

x2(x0)．2定理1 與是等價(jià)無窮小的充分必要條件為o()證（略）定理2 設(shè)

a,

；證

a

a

．lim

tan2x求 ．x0

sin5xx0

2x~

2x,5x

5x,

tanxx求 ．x0

x0x~

x,1cosx~

1x2,2x0,x1

xnx

xnx

xnxx

xnx~ x，1cosx

x21)~2

xe

1~

xn1x1~ n§1?8 函數(shù)一、函數(shù)連續(xù)性變量增量?設(shè)變量u從它一u變到終值uu?u

就叫做變1 2 2 1uuu?u?u?2 1x0

?xxx??xy)??xy的0 0 0 0)?0 0y?f(x)x0

??x

)即0 0 0mx

y0?mxx0

f(x)f(x)?0x0

?

m

ym [f(xx)f(

)]0x0

x0 0 00 0mx

0

mxx

[f(x)f0

)]00

mxx0

f(x)

f(x)?0等價(jià)2?x0

如任意給正著正適合不等式|<0)|<??0x0

??mxx0

f(x)f

)?x ?0 0mxx0

f(x)f

)?x ?0 0?x?x?0 0?一?叫做該?或者說函該?包括端?端是指?端是指?1?? (?????)x0

且xx

P(x)P(x)?00?

f(x)

x?x?x?x2

x2

x)?2????y???

x

0???nxx?x?、斷點(diǎn)斷?x0

某去心鄰域下列三種情形之?x0

沒?雖然x0

xx

?0x0

xx0

xx0

0x0

x0

?x?

2

x2xx2

x?2

sin1x

sin1的間斷?x值?11sin1的x振蕩間斷?3

x2的間斷?x1因x2

2所給x1

x

x1該的可去間斷?4?設(shè)

f(x

x11

x1?x1因x?

f(x)x1x1

f1?2

x

f(x)

f?f(1)?1???5?

x

x0?f(x)x1

x0x0mx0

f(x)mx

(x1)1?mx

f(x)mx

(x?mx

f(x)mx

f(x)?

mx

f(x)????:?x0

?0)0?0)?x?0 0???、相等者相等者和振蕩間顯然?§1?9 一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0

連續(xù)?則函數(shù)

f

(當(dāng)g(x)0時(shí))0在點(diǎn)x0

也連續(xù)?f(x)?g(x)連續(xù)性的證明?因?yàn)閒(x)和g(x)在點(diǎn)x0

連續(xù)?所以它們?cè)邳c(diǎn)x0

有定義?從而f(x)?g(x)在點(diǎn)x0

也有定義?再由連續(xù)性和極限運(yùn)算法則?有m [f()g(]

f()m g()f(x)g(x)?xx0

xx0

xx 0 00義? 點(diǎn)x0

連續(xù)?xcosx3x和xcosseccsctancotx在其有定義的區(qū)、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix

上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)?那么它的反函數(shù)?f?()也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy

}上單調(diào)增加(或單調(diào)x減少)且連續(xù)?證明（略）?2?y?sinx在區(qū)間[2 2y?arcsinx在區(qū)間[?1?1]上也是單調(diào)增加且連續(xù)的?同樣?y?arccosx在區(qū)間[?1?1y?arctanx在y?arccotx總之?反三角函數(shù)arcsin、arccosarctan、arcc