探析中求銳角三角函數(shù)值之策略

第⑥解：設(shè)b=2k（k≠0）則a=k∵∠C＝90?∴c==k∴sinA===，cosA===，tanA===b:當(dāng)已知直角三角形兩邊（或三邊）之比時(shí)如圖⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函數(shù)值。解：設(shè)a=2m（m≠0），則c=3m∵∠C＝90∴b==∴sinA===，cosA===，tanA===c:當(dāng)已知直角三角形某一個(gè)銳角三角函數(shù)值時(shí)如圖⑥所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90?，若tanB＝eq\f(3,5)，求∠A的三角函數(shù)值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanB＝eq\f(3,5)∴tanB==,設(shè)b=3t（t≠0），則a=5t∴c==∴sinA===，cosA===，tanA===3、找“替身”法解題策略：當(dāng)一個(gè)銳角的三角函數(shù)值不易求出時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求與它相等角（替身）的三角函數(shù)值，使問題得以順利解決。（1）如圖⑦所示，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，則tanD的值為(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),4)分析：由題目條件可知△ACD≌△AED，則∠D=∠B。由于∠D的三角函數(shù)值不易求出，而∠B正好在Rt△BCH中，易求出它的三角函數(shù)值，從而求tan∠D轉(zhuǎn)化為求tan∠B，問題被輕松解決。如圖⑧所示，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，則sin∠ABD的值是(D)AD⌒⌒AC=A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)AD⌒⌒AC=分析：因?yàn)锳B是⊙O的直徑，且CD⊥AB，所以=，則∠ABC=∠ABD，求sin∠ABD轉(zhuǎn)化為求sin∠ABC。因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90?。因?yàn)锽C＝6，AC＝8，所以AB=10，則sin∠ABC=，問題輕松解決。如圖⑨所示，∠1的正切值等于。分析：tan∠1=tan∠2=如圖⑩所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是。分析：連接AF、BF,易判斷出△AFB為直角三角形，且∠APD=∠ABF，所以tan∠APD=tan∠ABF=2圖⑦圖⑧圖⑨圖⑩4、構(gòu)造法解題策略：將所求銳角放入構(gòu)造的直角三角形中，從而求出它的三角函數(shù)值的方法叫做構(gòu)造法。構(gòu)造直角三角形常用方法有“作垂直”、利用勾股定理逆定理判斷、直徑所對(duì)的圓周角是直角等等。⑴、如右圖所示，已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，P是AB延長線上一點(diǎn)，BP＝2，求cosP的值。解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C∵OC⊥AB于點(diǎn)C∴AC=BC=AB=4∵PB=2∴PC=PB+BC=6在Rt△OAC中，∠ACO=90?∴OC==3在Rt△PCO中，∠PCO=90?∴PO==3∴cosP==⑵、如圖11所示，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosC的值為(D)B.C.D.分析：把∠C放入Rt△AHC中，因?yàn)锳H=1，CH=4，所以AC=，cosC=⑶、如圖12所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為((B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(2\r(5),5)分析：連接CH，易判斷△AHC是直角三角形，∠AHC=90?。因?yàn)锳C=，CH=，所以sinA==⑷、如圖13所示，已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC＝4，則sinB的值為。分析：作直徑AE，連接CE。因?yàn)锳E是直徑，所以∠ACE=90?，CE==2，sinB=sinE=圖11圖12圖1319解直角三角形應(yīng)用?？蓟拘汀癆AS”型如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AB=m，則BC=m?cosα+m【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,解Rt△ABD，易求出AD和BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD+CD即可解決問題?！窘獯稹窟^點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D在Rt△ABD中，cosα=BDAB，sinα=ADAB則BD=m?cosα，AD=m?sinα。在Rt△ADC中，tanβ=ADCD則CD=m?sinαtanβ，BC=BD+CD=m?cosα問題1：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的長．“ASA”型如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，則AD=n【分析】本題利用BD+CD=n這個(gè)等量關(guān)系，設(shè)AD=x，列出關(guān)于x的方程即可解決。【解答】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，則BD=xtanα在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=x∵BD+CD=n∴xtanα+x∴x=n?問題2：如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、60°，此時(shí)熱氣球C處的高度為CD，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，AB=100米，求高度CD。母子型類型1：如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AD=m，則BC=m【分析】解Rt△ABD，易求出BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD-CD即可解決問題?！窘獯稹吭赗t△ABD中，tanα=ADBD，則BD=m在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=mtanβ∴BC=BD-CD=mtanα=m問題3：校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載。某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)C，再在筆直的車道m(xù)上確定點(diǎn)D，使CD與m垂直，測得CD的長等于21米，在m上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的長（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段對(duì)校車限速為40千米/小時(shí)，若測得某輛校車從A到B用時(shí)2秒，這輛校車是否超速？說明理由．類型2：如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，則AD=n【分析】本題利用BD-CD=n這個(gè)等量關(guān)系，設(shè)AD=x，列出關(guān)于x的方程即可解決?！窘獯稹窟^點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，則BD=xtanα在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=xtanβ∵BD-CD=n∴xtanα-x∴x=n問題4：如圖，為測量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體AB的高度為。問題5：如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45