微積分學(xué)習(xí)總結(jié)

習(xí)總結(jié)Documentnumber：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT§內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖區(qū)間定義域 不等定義 集合對應(yīng)法則法表達方法 圖象法初等函數(shù)解析法非初等函數(shù)單調(diào)函數(shù)的特性 奇偶性函數(shù) 有界性定義反函數(shù)重要的函數(shù) 存在性定復(fù)合函數(shù)符號函數(shù)：sgnx

0,1,

xxx0.幾個具體重要的函數(shù) 取整函數(shù)：fx[x]，其中[x]表示不超過 x的最大整數(shù).§內(nèi)容提要與釋疑解難

0,

x,x一、函數(shù)的概念定義:設(shè) 、B個數(shù)，個則f，對A中個數(shù) x，在B中都有唯一確定的實數(shù) y與x對應(yīng)，則稱對應(yīng)法則f是A上的函數(shù)，記為f:xy f:AB.yx對應(yīng)值記為

yf

A.其中 x叫做自變量，y又叫因變量，A稱為函數(shù) f的定義域，記為（f），f()f(x)x,稱為函數(shù)的值域，R（），Oxy下，集合(x,y)

yf(x),

稱為y=f(x圖形。是微積分基本一概念因為微積分是以函數(shù)為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。1、由確因素是域、對應(yīng)法則及值域而值域被域和對應(yīng)法則完全確故確兩素為域和對應(yīng)法則。從而在判斷兩是否為同一時只看這兩域和對應(yīng)法則是否相同至于自變量、因變量用什么字母用什么記都是無關(guān)緊要的。2、與達式區(qū)別達式指是解析式子是主形式而除了用達式來還可以用格法、圖象法等形式來把與達式等同起來。二、反函數(shù)定義 設(shè)

xD，若對 R(f)中每一個 y，都有唯一確定且滿足 y

xD與之對應(yīng)，則按此對應(yīng)法則就能得到一個定義在 （f）上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為 f的反函數(shù)，記作f1:Rf

Dx

f1

yRf由于習(xí)慣上用 x表示自變量，y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成 y

f1

xRf1、、可知域是原來值域值域是原來2、函數(shù) y=f(x)與 x=f-1(y)的圖象相同，這因為滿足 y=f(x)點（x,y）的集合與滿足 x=f-1(y)點(x,y)的集合完全相同，而函數(shù) y=f(x)與 y=f-1(x)圖象關(guān)于直線y對稱。

3若 yx的反函數(shù)是x=f1y，則 y

f1(y),

xf1f x.4、定理1（反函數(shù)存在定理）嚴格增（減）的函數(shù)必有嚴格增（減）的反函數(shù)。定義

yfuE,

xD，若D(f)，則 y過u成 x的函數(shù)，稱為由 yu

ux復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱為復(fù)合函數(shù)，記作 y

f((x))。復(fù)合函數(shù)的定義域為xx()E，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，x稱為內(nèi)函數(shù)，u)稱為外函數(shù)。1、在實際判斷兩個函數(shù) y

f(u),

函數(shù)，

yf的定義為，若為，則能成函數(shù)，則能函數(shù)。2在函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)，如 y=f(x),y=g(x),若 y=f(x)作為外函數(shù)，y=g(x)作為內(nèi)函數(shù)。則復(fù)合函數(shù) y

f，若 y

作為外函數(shù)， y

fx作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為 y=g(f(x))。3、我們要學(xué)會分析復(fù)合復(fù)合結(jié)構(gòu)既要會幾復(fù)合復(fù)合又要會把一個復(fù)合函數(shù)分拆成幾個函數(shù)的復(fù)合。四初等函數(shù)、冪、指、對、三角、反三角統(tǒng)稱為基本初等。大家一定要記住基本初等的定義域，域，會畫它們的圖象，并且要知道這些些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過原點與坐標軸的交點是什么以后我們由基本初等經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合運算所得到的統(tǒng)稱為初等。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如2fx,x0x2

y

u, u

x2復(fù)合而成。x, x0五具有某些特性的函數(shù)奇（偶）D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，y=f(xD函數(shù)，若對每一個x

x

fxf

fx

f

y=f(xD上的奇（偶）函數(shù)。（1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。（2）f(x為奇函數(shù)f(0)=0f(-0)=-f(0)f(0)=-f(0)f(0)=0.2．周期函數(shù)定義設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個非零常數(shù) T，使得對一切x

D，都有f(x+T)=f(xy=f(x為周期函數(shù)，Ty=f(x的一個周期。顯然，若T是f(x)的周期，則kTZ也是f（x）的周期，若周期函數(shù) f(x)的所有正周期中存f(x的基本周期，一般地，的周期是指的是基本周期。必須指出的是不是所有的周期f(xc（c為），因為對任意的實常數(shù) T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實數(shù)里沒有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù) f(x)=c沒有最小正周期。如果 f(x為周期函數(shù)，且周期為 ，任給xD，有 f(x)=f(x+kT，知

kTD

Z。所以D是無窮區(qū)間，即無窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。 單調(diào)函數(shù) 定義設(shè) y=f(x)為定義在 D上的函數(shù)，若對 D中任意兩個數(shù) x1,x2且 x1<x2,總有f1

f2

fx1

fx ，2則稱 y=f(x)為 D上的遞增（遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴格不等式f1

f2

f1

fx ，2則稱 y=f(x)為 D上嚴格遞增（遞減）函數(shù)。遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格遞增和嚴格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)。如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對應(yīng)于不同的x范圍有著不同的表達形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。注意分段函數(shù)不是由幾個函數(shù)組成的，而是一個函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來舉反例，常見的分段函數(shù)有符號函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。有界函數(shù)與無界函數(shù)定義 設(shè) yx為定義在 D上的函數(shù)，若存在常數(shù) ≤M，對一個x

，都有則稱 f(x)為 D上的有界函數(shù)，此時，稱 N為 f(x)在 D上的一個下界，稱M為 f(x)在 D上的一個上界。由定義可知上、下界有無數(shù)個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。定義 設(shè) y=f(x)為定義在 D上的函數(shù)，若存在常數(shù) M>0，使得對每一個xD，都有則 f(x)為 D上的有界函數(shù)。幾何意義，若 f(x)為 D上的有界函數(shù)，則 f(x)的圖象完全落在直線y=-M與 y間。注意：直線 y=-M，y=M不一定與曲線相切定定yx定D，一MM，x D使0

f0

，則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。函數(shù)的延拓與分解有時我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來解決實際問題這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)開拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。y

fx,x,a，[-a,a]F(x，它是偶函數(shù)，[0,a]，使f xx)，F(xiàn)xf

x0,a,xF（x）f(x的偶延拓f(x的奇延拓，（x）a,a]，且在,a，（x）x)，fxaFx

x0fxa,0

這樣，f(x只要，F(xiàn)（x）就可以了。同樣，y=f(x),xa,b，可以構(gòu)造一個以ba）（x），在（ Fxf

xba,b）上，（x）=f(x，則有

fxnzf(x的周期延招，f(xF（x）就可以了。此外義在區(qū)間（-a,a）上的任何f(x都可以表示成個奇函數(shù)個偶函數(shù)和事實上fx

f

fx

f

fx2 2 設(shè)fxf

x

x

fx

x

x,1 2 2 2由奇偶函數(shù)的義知

(x

(x是偶函數(shù)

fx

fx1

f2

(x，

(x是唯存在

fx

gx1

gx,2其中g(shù)1(x)是奇函數(shù)，g2(x)是偶函數(shù)，于是fx

xg

x,

fxg

xg

xg

xg

x,1 2

2

1 2解得g

xf

xfx

fx，

gxf

xfx

f1 2 1 2 2 2§解題基本方法與技巧一、求函數(shù)定義域的方法若函數(shù)是一個抽象的數(shù)學(xué)表達式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實數(shù)組成的集（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號下應(yīng)大于或等于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且?底數(shù)大于零不為 1； （4）arcx1；

x或 csx，其（5）

nx，其

x2

k其2

xk

,k（6）若函數(shù)的表達式由幾項組成，則它的定義域是各項定義域的交集；（7）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。涉及到際問題除了還當確保際自變量取值全體組成的集合。對于抽象函數(shù)的定義域問題，要依據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條件。1求下列函數(shù)的定義域：3x3xx3（

y ； （

yarcsin

1x解（1）要使函數(shù)式子有意義，3xx30。 33化簡有33

xx x

0,33 33即 x xx 0.33 33解之，得定義域為

x0, 。（2）使函數(shù)式子有意義，2x1x1，即2x1x

2x1

1，化簡有12

21

1，

3

2111

1，3不等式各邊除以（2）有， 23

11

2，2各邊取倒數(shù)得， 3

1

213

1。例 2不清設(shè)

f1

x1x

，求 f(x)的定義域。解 要使函數(shù)式子有意義，必須滿足1 1

x1 x

即 x2x20

xR且

。注意：如果把1

x1x

化簡為

xx

1

，那么函數(shù)的定義域為x

1的一切實數(shù)，因此，求函數(shù)的定義變形式時需特別小心，避免出錯。例 3已知

f

ex2,

f

1x

x

0

并寫出它的定義域。解 由ex

1

n1x，由

x0，得1

1，即 x≤0，所以

x

x0。例 4設(shè) fx的定義域為[0，1]，試求fxafxa的定義域（a0）。解 要使 f(x+a)+f(x-a)有意義，必須滿足0x

a

ax1a,0x

a

ax1.當0a

時，由a1aax121

1a。當

時，由 a1—a，知定義域121不存在。、求函數(shù)值域的方法由定義域 x的范圍，利用不等式求出 f(x)的范圍；若 yfx有反函數(shù) xf1y，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；1x利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域例 5求下列函數(shù)值1x1x1x

yx

； （

yx

13； （

yx2x2

2x11x

11。解（1）令

t,

x1

，于是

x

1

tt1

55。2 2 2 4 42

1，即x

3時，

5。故函數(shù)

x

的值域是,5。2 4 4x1

13y

11xx1

4（2）由

x

(x+3)yx1x

y1

yx3

的反函數(shù)，而x13

的定義域是

1，故函數(shù)值域是。y1（3）由原函數(shù)式變形，得

y2

1x

2x

1，即

10。當 y-1=0，即 y時，x=0；當

1

y1 ， y224y120，即0y4y1。[04]。、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法例 6判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：（1）（

yx

； （ii）s

,1cos2t1cos2t

y x1； （ii） y 1 。1cos2tx21cos2t2t解（1）由 yx的定義域是[0，2t

s [0π]。知兩11cos2t

t

知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，故（i）（ii）數(shù)。（2）由 y

x1的定義域是x1的全體實數(shù)， y 1 的定義域是

1的全體實數(shù)，知兩x21 x1函數(shù)定義域不同，盡管當x是同一個函數(shù)。、求反函數(shù)方法

1時，

x1x21

1x

，知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，但（i）（ii）不步驟：1.從 yx中解出 xf1y).改寫成 y=f--1(x),則 y—1(x是 x—1y的函數(shù).7求下列函數(shù)的反函數(shù):1x2(1)y 1x23x 1x23x3x 1x23x 1x2

0；（2） y ；（3） yx2x1x22x,x1x21y2,解（1y2,

y，知反函數(shù)y

， x

0,1。3x 1x233x 1x23x 1x2兩邊立方得33x 1x2x 1x22x1x2 32x33x1x33x1x2x3y,

(x1(x1x2)x1x22

1x2即y解之

12

y3。1 所以反

2

x3,x y,y,

x,x,（3）由

x y

反

y x

16,og y,2

og x,x2

16.五、求復(fù)合函數(shù)的方法。代入法某自變量用另表達式來替代這種構(gòu)復(fù)合方稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復(fù)合，關(guān)健搞清誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)。分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。例8

fx

x f11x2

x

f f f x f f f x n次1x1x21f211x2x21x212x2解 f

ffx

fx

x ，2 1

f2xfx3

fff

ffx2

fx2121f x22

x11112x2x212x213x2猜想 fn

x x 。1nx2時論已成立1nx2

fxk

x1k

成立，時，f

f

x1kx2x1kx2xkk1

1 x21k2時論成立

fxn

x 。1nx2例9

fx,x,x

ff。x

f

ff

f1，x

f

ff

f1。故f(f(x))=1。例10

fex,x,

xx,x

fx。解由f

x,xe

x1,x

x2

x（1）當x1時或x0,

2

x0,x

x1?；騲0,

x

1

x0,

, 0x 2.2x22 2x2（2）當x1時或x0,

2

x0,x

1

0。或x0,

xx

1

x0,x 2 xx

, x

得2、判斷奇偶函數(shù)的方法2偶函數(shù) f(x的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于原點對稱。奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。偶數(shù)個奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。一奇一偶的乘積為奇函數(shù)兩個奇函數(shù)復(fù)合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復(fù)合為偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)復(fù)合仍為偶函數(shù)。用定義.若 xx0，則 f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。例 11判斷下列函數(shù)的奇偶性：33x23x2

1x（

f x

； （

f x n ；1x（

f

1 13 1x23 13 1x23 1x23 1x2

（a>0,a≠1常數(shù)）解（1）

fx

1x2

fx，fx為偶函數(shù)（2）

f

fx

11

1x1x11x11

11

11

1知 f(x)為奇函數(shù)。（3）由

fx

1 1ax1 2

1 11 1 2ax

ax 11ax 2

a1ax

112ax

1a1ax

12

11a

12

1 1ax1 2

fx，知 fx為奇函數(shù)、周期函數(shù)的判斷與周期的求法周期函數(shù)周期的求法a（1）若 T為 f(x)的周期，則 ax+b的周期為 a

a0（2）若 fx的周期為 T1，gx的周期為 ，則 1fx2gx的周期為 T1，2的最小公倍數(shù)。周期函數(shù)的判斷方法。（1）用定義。（2）用周期函數(shù)的運算性質(zhì)。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期 例12求下列函數(shù)周期

x,cotx,x,cosx,其周期 T=π。（1）

f2tanx2

3

x； （3

f

xcos

x；（

f

xx。解（1）由

x的周期T2 1

12

tan

x的周期T3 2

313

。故f(x)的周期性期為 6π。 （2）由 f x n2xcos2x22n

xcos2x2112x22

11cos4x4

31cos4xf(x)4 4

24

1。2（3）

xnr

，T為任意整數(shù),由fT

f

rn

r

rn

r

nrr

f知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期T=1。例 13若函數(shù)

f

的圖形關(guān)于兩條直線 xa和 xb對稱（a），則 f(x)為周期函數(shù)。證 由條件函數(shù)的對稱性知fxfx

fax， （1）fbx， （2）故函數(shù)在a,b中點(a+b)/2處的值等于點 aba/2

bba處的函數(shù)值2從而猜想如果 f(x)為周期函數(shù)，則周期應(yīng)為

bbaabaa。 2 2 2事實上

f

f

b

f

b

f2ax所以 f(x)是以 2(b-a)為周期的周期函數(shù)。、單調(diào)函數(shù)的判斷方法利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。（1）兩個遞減（增）函數(shù)的復(fù)合是遞增函數(shù)，一個遞增、一個遞減函數(shù)的復(fù)合是遞減函數(shù)。例 14設(shè)x及f(x)為遞增函數(shù)證明：若x

f

（1）則

ff

x

（2）證 設(shè)x0為三個函數(shù)公共域內(nèi)的任一點，則

x 0

f0 0由（1）以及函數(shù) fx的遞增性知

f0

ffx ，0

0

f0從而

0

ff0同理可證

ff。0 0由 x0的任意性知，于是（2）式成立。九、函數(shù)有界性的判斷判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。例 15判斷下列函數(shù)是否有界：（

f

x1x2

； （

f

1,x2

0,1。解（1）由 fx的定義域是 。當x0

,f

x1x2xx1x2x

，當x0x2x1x2x1

,f00,

f01，2知xR,

f

1，所以 f(x)為有界函數(shù)。M111M111M1（

M0,x 0

1

fx0

MM1M.由無界函數(shù)的定義知f(在（0，1）上無界?！靸?nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖limxxx

f(x)Af(x)A 0limxxlimx

f(x)f(x)夾逼定理判斷函數(shù)極限存在準則單調(diào)有界定理函數(shù)極限與連續(xù)

單側(cè)極限與雙側(cè)極限函數(shù)極限與數(shù)列極限——歸結(jié)原則。關(guān)系定理 函數(shù)極限與無窮小無窮大與無窮小無窮小的階——高階、同階、等價。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大（小）值定零值點定理（根的存在介值定理函數(shù)連續(xù)定義mxx0

f(x)

f(x

m y00 x0可去間斷點第一類間斷點 跳躍間斷點間斷點分類第二類間斷點§內(nèi)容提要與釋疑解難一、函數(shù)極限的概念mx

f(x)

A一個常數(shù)

0,X,

f(x)A

。mx

f(x)

A:把 1中“x

X”。mx

f(x)

A:把 1中“x

”換成“x

X”。定理 mx

f(x)

Amx

f(xA

mx

f(x)A.mxx0

f(x)

A

f(x

x 的某空心鄰域內(nèi) 0

0

有定義，若存在一個常數(shù) ，0

0,0

x 0

，都有

f(x)A

。mxx0

f(x)A:

f(x

x 的某左半鄰域 0

U(x

)內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù) ，0000,

0,

xx 0時，都有 0

f(x)A

。此時也可用記號

f(x0

0

f(x)表示左極限值 ，因此可寫成 0mxx0

f(x)

f(x0

0m xx0

f(x)

f(x )00mxx0

f(x)

A

f(x

x 的某右半鄰域 0

U(x

)內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)0

0，當 0

x 8時，都有 0

f(x)A

f(x0

0或

f(x)表示右 0極限 A因此可寫成

m0xx0

f

fx0

0m

f(x)

f x 。 xx0定理 mxx0

f

Amxx0

fA

mxx0

fxA.該定理是求分界點兩側(cè)表達式不同的分段函數(shù)在該分界點極限是否存在的方法，而如果在 x0的左右極限存在且相等，則在該點的極限存在，否則不存在。mxx0

f(x):

0,0

xx0

時，都有

f(x)M

。此時稱

xx時，0f(x是無窮大量。而mxx0

f(x，只要把公式中“

f(x)M

”改成“

f(x)M

mxx0

f(x，只要把上式中“f(x)

”改成“

f(x)M”。mx

f(x):

0

xX時，都有

f(x)M。讀者同理可給出

mx

(f(x(定義。注： mxx0

f(x)

A（常數(shù)）與

mxx0

f(x)的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極 限不存在，但還是有個趨于無窮大的趨勢因此，給它一個記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個常數(shù)。mxx0

f(x0

f(x

xx0

是無窮小量這里的

x可以是常數(shù)，也可以是0,。定理 mxx0

f(x)

)

f(x)

A(x)。其中 mxx0

(x)0。

0,

,x0(xx

,時，都有

f(xM，稱

f(x)x

x時是有界量。0設(shè) mxx0

f(),mxx0

g(x)0，（這里

x可以是常數(shù)，也可以是0

，以后我們不指出都是指的這個意思） （1）若

mxx0

f(x)g(x)

0，稱

f(x

xx時是0

g(x)的高階無窮小量，記作 f(x)

f(x)(g(x))(x

x).。0（2）若

mxx0

g(x)

c(常數(shù)0，稱

f(x)x

x時是g(x的同價無窮小量。0（3）若0

f

1，稱

f

x時是0

的等價無窮小量，記作

f

x，0此時（2）式也可記作

f

x。0（4）若m

f(x)

c()0(k

，稱

f

x時是x的 k無窮小量。xx0

xk 0 00等價無窮量的作，此，若0

f

1記作

f~g

x)，0f均為f均大為大量；如果f(x),g(x)既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價量。例如xx0

f

0，

f~A(x

x。0：A，若 A=0， f()不可能和0等價。無窮小量的性質(zhì)：

1

(x),,m

x無窮小量，則0（

cc

(x)0.x 1 1 2 2 m m0cc1

,cm

均為常數(shù)。（

0

1

(x)m

(x)0。

f

x時是量，0

x0

，xx0

f(x)(x)0。無窮量的無窮量是無窮量。則無窮是無窮量。無窮小量無窮則若

f

1 0；xx0

xx0

f(x)若

f(x)0,

0,

0(

,f(x)

1 。則xx則0

0 xx0

f(x)1

xx0

f(x)

f(x

),f(x)0

x 0用語言可寫為定義設(shè)

f(x)x 0

U(x 0

0,

x 0

時，都有f(x)

f(x )0

f(x)

x0

y

x0

0

f(x)x

x 0若 xx0若 xx0

f(x)f(x)

f(xf(x

,0),0

(x)(x)

x 0x 0理f(x)x 續(xù)0

f(x)x 0果 f(x)

x 0

xx 0

f(x)的間斷點。間斷點的分類：

xx0

f(x)

),但f(x

x0

xf(x0若x

x 0

f(x

f(x)

x0

使

f(x

xx 0數(shù) F(x)使F(x)

xx 0

xx 0

F(x)

f(x

f(x)x

x 0也具有這種性質(zhì)，從而達到了我們的目的。如 f(x)

sinxx

,x

f(x)

x

sinxx

1，

nx,

0,f(x)

,知f(x)

,

F(x)

xx

0.F

x0F

f

nx,

0,雖然F(x與f(x

，又如

f(x

,

x0.sinx

nx,

0,x

f(x)x0 x

1

f(0)知

f(x)

。設(shè) F(x) x,

x0.F(x

x0F(x

f(x

0處，兩個函數(shù)值不同，知F(x與

f(x

0不同，其余點函數(shù)值處處相同。（2）若 xx0

f(x)

f(x0

0).xx0

f(x)

f(x0

0

f(x0

0)

f(x0

0，稱

xx 0

f(x)的跳躍間斷點，稱

f(x0

f(x0f(x的跳躍度。（1）（2）兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點。（3）若

x 處，左、右極限至少有一個不存在，我們稱0

xx為f(x)的第二類間斷點。0若xx

f(x)

，我們也稱

xx 為0

f(x型間斷點，類間斷點。0在種類型的函數(shù)極限：（

x

f(x

（

x

f(x

（

x

f(x

（

xx0

f(x)（

xx0

f(x

（

xx0

f(x)與數(shù)極限相類的一，我們以只要作適當修改就可以了。

xx0

f(x，其類型極限的相1（一）若極限

xx0

f(x存在，則一個極限。0 02（）若極限內(nèi)有界。

xx0

f(x存在，則存在

x 域0

U(x

)0

f(x

U(x )0

xx0

f(x存在，

f(x

x 0

f(x在其定義域。性質(zhì) 3

xx0

f(x)

xx0

g(x)

B,A

B，則存在

x的某空心鄰域0

U(x,00 0

，使0xU(x,00 0

時，都有

f(x)

g(x)。性質(zhì) 4（局部保號性）

xx0

f(x)

A0，則對任何常數(shù)

0

A0，存x的某空心鄰域0

U(x000

，使得對一切

xU(x000

，都有

f(xf(x0成立。性質(zhì) 5（不等式）若

xx0

f(x)A,

xx0

g(x)

，且存在

x的某空心鄰域0

U(x,00 0

，使得對0一切 xU(x,00 0

)，都有

f(x)

g(x),AB。性質(zhì) 6（復(fù)合函數(shù)的極限）若

xx0

(x)u,0

uu0

f(u)A

，且存在

x的某空心鄰域00U(x00

,，當

xU(x000

,時，(xu0

，則 xx0

f[(x)]uu0

f(u)A 。性質(zhì) 6是求極限的一個重要方法法，即f((x))(xuxx uu

f(u)A 。0 xx,(x)u 00 0性質(zhì) 7（函數(shù)極限的則）若

xx0

f(x)與xx0

g(x)

存在，則函數(shù)f(x)g

f(xg(xcf(x)(c為常數(shù))在x

x時極限均存在且0（

limf(x)g(x)xx0

xx0

f(x)

xx0

g()；（

limf(x)g(x)xx0f

xx0

f(x)xx0

g(x)；（

xx0

(x)Cxx0

f(x

xx0

g(x0,在xxgx 0

時的極限存在，且有（

xx0

f(x)g(x)

0xx0xx0

f(x)。g(x)極限的重要。的式。性質(zhì) 8（則（ ）

xx0

f(x存在的要是：limxn

x0

xn極限0

f(xn

都存在且等。若存在個數(shù)xx

,limx=x,且

f(x)

f(x)

B,ABn n n n

0 n n

n

n n存在 n

xn

x,lim0n

f(xn

不存在，則

nx0

f(x0

不存在。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法。、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)

f(x)x

x處連續(xù)，即0

mxx0

f(x)

f(x0

極限的1-5可得到函數(shù)在xx00連續(xù)局部有界性，局部保號性，等式等，只把U(x00

U(x0

)即可，讀者自己敘述出來。極限的函數(shù)的

f(xg(x)x

x0f(x)g(x),

f(x)g(x),cf(x)(c為常數(shù))

f(x)(g(x

0)x

x。g(x) 0 02若

(x)x0

,y

f(u)u0

(x0

yf((x))x

x0mxx0

f((x))

f((x0

))

f(mxx0

(x))在質(zhì)2的極限函數(shù) f要mxx0

(x)u0

,y

f(u)

u,0

mxx0

f((x))

f(mxx0

(x))。(x),x證設(shè)g(x)

xg(x)x

處連續(xù)，又y

f(u)u

g(x)0u,xx, 0 o 000 0處連續(xù)，由性質(zhì)2mxxo

f(g(x))

f(mxxo

g(x))。x

x,要求x0

x有g(shù)(x)(x0

mxxo

f((x))

f(mxxo

(x))。一個函數(shù)2函數(shù)極限的一個重要方法。極限函數(shù) f函數(shù)極限函數(shù)極限。定理 函數(shù)在定六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理 定理

f(xb

f(x在b一定存在

x,x1

f(x)M,1

f(x2

m

xa,b，都有mf(x)M。推論 1

f(x)上連續(xù)，則

f(x)上有界。定理（根的存在定理或零值點定理）若函數(shù)

f(x)上連續(xù)，

f(af(b0，則至少存在一點

af()0。推論 1若函數(shù)

f(x)上連續(xù)，且

f(a)

f(b),c為介于f(a),

f(b之間的任何常數(shù)，則至少存在一點

af()c。推論 2若函數(shù)

f(x)上連續(xù)，則

值域R(f)m,M。這幾個定理非常重要，請大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會運用這些定理去解決問題。利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號與外函數(shù)的可交換性及等價量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。

sinx

1.

1x)x

e.x0

xx)

x01x)

1x)x

1x)x

e1.x0 ex1

x0

x0t 1

x0x0

設(shè)exx

1tt0

t)

t

t)t

1.

ax1

ex

1

a(a

1為常數(shù)).x0 x

x

xlna6

x)b

1

ebx

1xbb(b為常數(shù)b0.x0 x

x

bx) xx0

arcsinxx

設(shè)arcsinx

tt

tsint

t

1sint

1.x0

arctanxx

設(shè)x

t

tt

t

tsint

cost

111.

0(k

0常數(shù)).x xk

xk0(aax

1常數(shù),k為常數(shù)).若

xx0

u(x)axx0

v(x)b(a,b均為常數(shù)),則xx0

u(x)V(

xx0

eV(x)u(

exe

V(x)u(

=x=

V(x)limx

u(

eb

elnab

ab即 xx0

u(x)v(x)

ab。即的 x成f(x)，x

xo

f(x)0，結(jié)論依然成立。利用上述重要極限，我們可以得到下列對應(yīng)的重要的等價無窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當x0，sinx~ ~ ex

1~ ax1

xlna(a

0,a1,常數(shù)).1x)b1~0,),arcsinx~

arctanx

cosx

x2.2注：上式中的x可換成

f(xx

x時，0

f(x)0.結(jié)論依然成立。例如sin

f(x)

f(x)(若x

x0

f(x)0)。

xx0

f(x)

常數(shù))

f(x)

A(x

x).0§ 解題基本方法與技巧等價量替換定理，若（1）

f(x)

f(x),g(x)~1

g(x),h(x)1

h1

x)；0

f (x)g1

(x)

f(x)g(x)

f (x)g1

(x)

A(或).xx0

h(x)1

xx0

h(x)

xx0

h(x)1

f(x)g(x)

f (x)g1

(x)

f(x)

g(x)

h(x)1

A111

A(或),xx0

h(x)

xx0

h(x)1

f1

g1

h(x)即

f(x)g(x)

f(x)g1

(x)

A(或).xx0

h(x)

xx0

h(x)1、母中的因式可用它的簡單的等價的量來替換以便化簡容易計算。但替換以后要存或為無窮大。需要注意的是、中加減的項不能替換應(yīng)解因式用因式替換等價量來替換。夾逼定理

mxx0

f(x)

mxx0

g(x)

A在

x 0

U(x

,)，使得對一切000x0(

,0

f(x)h(x)

g(x0

mxx0

h(x)A。定理（在。

f(x

U(x

)，0

mxx0

f(x)存

f(x

(,a)內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），mx

f(x)存在。

x,0

函數(shù)定理以。達(LHospital)則I 設(shè)mxx0在

f(x),mxx0x 0

g(x)0；0 U(x )，當xU(x )時，0 0 0

f(xg(x都存且

g(x)0；mxx0

f(xg(x)

或

mxx0

f(x)g(x)

mxx0

f(xg(x)

A(或).

(Ll)，設(shè)（1）mxx0

f(x),mxx0

g(x)；

x 0

U(x )，當xU(x )時，0 0

f(xg(x都存

g(x)0；mxx0

f(xg(x)

或

mxx0

f(x)g(x)

mxx0

f(xg(x)

A(或).

xx 0

x,0

x,0

,

時，（作相應(yīng)的修改，結(jié)論依然成立。在用洛必達法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡，或把較復(fù)雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達到簡化，再利用洛必達法則。利用洛必達法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達法則的條件，若滿足洛必達法則的條件，結(jié)果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復(fù)使用洛必達法則，但只能用有限次。注：洛比達法則是第三章內(nèi)容。、函數(shù)極限的類型

f(x)是初等函數(shù)，x 0

f()的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知mxx0

f(x)

f(x).0若

mxx0

f(x)

,mxx0

g(x)

B，則AB

AB0（

m

f(x)g(x)

, 0

AB,A,Bxx0

" " 0

A0,B0, " ", AB,

A,BB,（

mxx0

f(x)g(x),

AA0

,對于因式中含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時，一般放在分子、否則利用洛必達法則很繁，或求不出來。（3）

mxx0

AB,(f(x)g(x))

AB,A、B中有一個是,另一個是,A、B異,A、B,當A

,且A、B同號時，mxx0

fxgx.這時，把

fx,gx化成分式，通分化簡，化成“ 0或“，再利用洛必達法則。0 AB

A常數(shù)0,B常數(shù),

","

ABAB0（

xx0

xgx

"0

A,B0,

AB,

AB

A

時，我們有兩種方法求該未定式的極限，一種方法利用重要極限limx0

1x1來計算，另一種方法，x化為以 e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則xfx1gx

1

lim

fx1gx0.法一

fgx0

lim

10

f x1

fx1

ex0 .xx成

xx0"。0

lnfx0 1 0

x

xx0

xgx1

limxx0

eln

xgx

limxx0

egxfx

gx .兩種方法，我們利用法一方（ii）當A,

0時，（iii）當A,

0時這時，只有化成以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則。即xx0

f(x)g(x)(00)(0

xx0

eg(x)f(

x

g(x)f(x)(0)(0)

ex

f(x)(1 g(x)

)(.A0

或A0

時不屬于未定式，因為

g(x)lnf(x)()xx0xx0

f(x)g(x)(0)f(x)g(x)(0)

xx0xx0

eg(x)f(eg(x)f(x)

exx

g(x)f()

ee

0。。求函數(shù)極限的種重要方法（1）極限的則算（ 2）（ 3）（ 4）洛必達法則。對于未定式的極限，先用等價量替換或變量替換或極限的四則運算化簡，再利用洛必達法則求極限。很多情況下，這幾種方法常常綜合運用。1

11111x2

xarcsinx.x3

1 3解limx0

xarcsinxx3

0）=0 x0

3x

(0)0 x0

x2)26x

2(2x)

1。62求解 x0

1cos x)cosxcosxcos x cosx)

.cosxcosxcos x)0

x0

1cosx ,cosxx,cosx1x21

~2,

1cos

~ 1 xx2x

x x2 ,1cosx~ ,2 2原x0

2xx2

2。未定式，用變量替換，用洛必法則極限。3

1tanx11xx0

xx)x2

tnxnx x011sinx

xx)x

1tanx

1sinxxxln(1x)x 1tanxsinx(1cosx)1sinxcosxx0，

sinx

x21tanxx,1cosx1tanx

~

cosx

1，得原式

xx 2

1x2 (0)x0

2xx)

4x0ln(1x)x01

2x

1

x)

1。4x0

1 1x

2x0 x 2例 4

1x2

cosx .解 原式

x0 (x(x(xx2)x( 1x2 cosx)

x2x)1x

cosx，x01x2cosx由x0時，x~x, ~1x2cosx原式

1x

cos

1

1x

cos

(0)x0

2(x

x2)

2x

x2x3 01

2x

(0)

1

2cos

133.2x0

2x3x2 0

2x

26x

2 2 4例 5

x

xsinsin2x.x4

1x2解 原式x0

xxx3

xlimx0x3

(0)0

x

1cosx(3x2 0

)x

2 1.3x2 6例 6

x3x)(1

x).x1

x)n1

1x11n解法

x

nxx)nx

(0)n0 x

1，故nx3xnx原式1x3xnx

1

1

=1111.x1

1

1

1

2 3 n 解法二1

tt0

, 1 1t31t)(1n1t)t t t 1 1 t

2 3 n 1由n1t)1t)n

n(t)

n

0，得原式

t0

tn1

n!.例 7

ex0

x)xx

.2x)

2ln(1x)2e2e xx解法一原式xx0

e xe2xx0 x

1,x0

2x)x

20,知e2x2

1

2x)x

2,得e2x01

2x)xx1

2e2x0

x)x(0)x2 02e2

1x

xe2

e2

1 e2.x0 2x

x0

xx

x01x1解法二 原式

e2e

2xx

(0)

2x)e x

21

xx)例 8

(1x0 x

x0cot2

xx).

0 x0 x2解 原式(cos2

x(

sin2

x2cos2

sin2

x2cos2xx0 x2

sin2

x0

x2sin2

x0 x4由

xcos

(sin

cosx)2x0 x x0 x原式2

xcos

(0)2

cos

cos

x

2

sinx2.x0 x3 0

x

3x2

3x0 x 3例 9

x

cos(sinx)cosx.x4解 原式x0

2sinsinx2x

sinsinxx2由x時

xx2

x2

，,

xx2

sinxx2 原式

2x2

x2

1

x

sinxxx0 x4

2x0 x

x31x200

sinx

x

( )

1cos

2

1.x1x0 xx1

x0 x

0 x

3x

x03x2 6例

x

3x2x2x2

2

x).1解 原式

t1(

2 1)12t11ttx t12t11tt22 1t22 12 1t22 1

)1(11)1.2t0

2 2 4例

x1

xx).解 原式1x1

tt0

t)

tt0

limt0

t

()

1tt01t2

t0

0.例

x

ex2.x100解 原式設(shè)1

t50

( )次洛必達法則

50!0.x2 tet tet例 13

x0

x

1)x2. (sinx1)1 解法一原式 x0

x

1x

x x2elimsinxx0e

cosx1

lim

1x22 (0) 1ex0 x3

(0)

x

3x2

ex03x2

e6.sinx

cosx1x 0

lnsinxlnx0

lim

x x

xeeelimeee

cosxnx解法二

x0

()x2 0

limx0 x

(0)

x0 2

x

2x2sinxlim

xcosxnx0

cosxxnxcosxx 1

ex02

2xe1e

0

ex

6x2

x0 6x e 6.例

lim(sinxx

cosx)x.解 原式令x

1tcost)tt0

t

eln(sin2tcost)tlim

cost)

lim2cos2tsintet0lim

1x

()et0n2tco

e2.例

ln(x)x0 1 x

xlnln1解 x)(0)

e xx0例 求

x0

xsinx.

x0

x

lim

xlnx解 x0

xsinx00

ex0

ex0lnx

1x 1

x0xex0

x1e

x2

x0

e0

1.例

(ex

e2

enx)1.xx0 nx解 (exx0

e2

enxn

1)x)

1tf(xt)dt例 18

f(x

x0

f(0)

f(0)2，求0 .解 10

tf(xt)dt

uxu0x

f(u)1x

1xuf(u)dux2 0

x0 x

xuf(u)duo

(0)

xf(x)

f(x)

=1

f(x)

f(0)

1f(0)2x0

0

3x2

x0

3x0 x 3 3例

2xsinx.x3xcosx分析 因為

2x

()

cos

，所以洛必達法則不適用，宜改用其它方法。

x3xcosx 21sinx

x解 式x3

x 1cosx

230

2.3例

excosx.x

exsinx，所以不用洛必達法則 .解 式

11ex

cos

1

1.x1

1sinxex

10用求若f(x

Axk

o(xk

A0常數(shù)(x0),則f(x)~

Axk，x0

f(x)Axk

x0

Axk

o(xkAxk

x0

1o(xk))1.A xk以求當

x0時，若則x

f(x)g(x)

x

AxkBxm

,A,B,

kkm,k例 21

4x4

cosxx4

x2e 2.解 由于cos

x2e 2

x22!

x o(x4

x22

1x4

o(x4),1(14!

1)x8

0(x4)

1x4(x12

0)，所以

x

cosxx4

x2e

x

x12x4

1.12對于求

xx 時的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令0

xx0

t，變成求

t0時的t的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。利用求函數(shù)極限。例

x0

x[1].x解 11

1

1,

0x1x

x11.x xx

x由

x)

1，

x1

1.x0

x0

x0

x例

.xsinxsintdt0

"，用法則，limx

xsinxsinxdt0

sin

不存在。，用方法，解 對數(shù)?n，有

0

t

n0

2n，當

x(n

時，成立不等式

2n (

2(n.xxt0n x n由

2n

2n

,

2(n

2(n

2 2.根據(jù)夾逼定理知原式= .x

(n

n(n

x

n n 注：這里

2n(n是x的函數(shù)，是分段函數(shù)，即

f(x)

2n(n

,n

(n1).利用定義證明函數(shù)極限的存在利用函數(shù)極限定義證明函數(shù)極限與利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復(fù)了，一般情況，能不用盡量不用。除非要求用定義證，且考研出這種題的可能性較小。n1xn1x

n1xx(n1n1xx(n1x)n1(n1x)n2(n1x) 1

nN。n1xn1x證 不n1xn1x

x

1，

1

x，n1xn1n1xn1x

0，

1，由

1

x(0x

，只要x

,,0x

，有

，由定義知

x0

1。注：這里用了公式

(ab)(a

an2bbn1)an

an1bab

an1bab

bn

an

bn。至于用函數(shù)極限的單調(diào)有界定理求函數(shù)極限的可能性更小。這種題型考的可能性更大，因為這種題型更能考察考生運用無窮小量階的比較和洛必達法則分析問題，解決問題的能力。例25xx1

7x42)a

x]b0，數(shù) a,b.解令 t,當x

0，于是原式

[(

72)a

1]

(17t5)a 1 t0 t5 t

t t0

t5a tt0

t15a7t2t5)at

1b0，由t0

0，知分子當 t0時，是分母的同階無窮小量，所以 t0

t15a7t5)a

0.1

0,

a1,即51 1原式

t0

7t5)51t1(7t5)5

11

t0

1(7t2t5)51t7tlimtt0

74) 。5t05例設(shè)x0

x)(axx2

bx2

2，求常數(shù)a,b.解limx0

x)x2

bx2

(0)0 x

11

(a2bx2x

2，由2x

0，知分子是分母的同階無窮小量，得

1

a2bx

01a.x0

1 12bx

x0x 1 有a

x

1x2x

(0)0 x

x)22

2

12 ，解得b5故2

1,b5。2xx2 x27試確定常數(shù)k1

c

時,arcsin(

x)

xk。題意

x

c 1.arcsin( xarcsin( x2 xx)于arcsin(

x)=arcsinx2 xxxx2 xxx2 xxx

~xx2 xxx2 xx

(x),2x 1 1 1 2 x123x2arcsin( x2 xarcsin( x2 xx)1所以

2

x2

xk1,x cxk

x cxk

2cx 1x2x必有k

1,111f11f(x)1x

c

,2

1.2例 28已知x0 x2

c,c為常數(shù)，求常數(shù) a和 ，使

0時，

f~

axk.解 x0 x

c，由x111f1x

0，知(x0

0,1111f(x)x111f(x)1x

f(xxf(x)

0，從而limx0 x

xx2x2( 1 f(x)x1

limx0

f(x)2x3

c(，得limx0

f(x2cx3

f(x

2cx3,

2c.例 29確定常數(shù)a,b,c的值，使

axsin

c0，x0xb

t3)dtt解 由

0,

0,

知分子分有l(wèi)im

axsin

(0)

acos

acosx

c0，x0

t3) 0x dt0 t

x

x3))x

x0 x2且xx0

0,acosx0aax0

故abc1,2xx0

ln(1t3)dtt

b

ln(1t3)dt0t

（1）b0,b0，（1）

b0.xx0

ln(1t3)dtt

b

ln(1t3)dtt

0

ln(1t3)dtt

。故b0。例30設(shè)

f(xx0

f(x)

4

f(0),f(0),f(0)。x01cosx分析：這里表面上沒有字母常數(shù)，實際上f(0),f(0),f(0)

就是待求的字母常數(shù)。解法一由

f(x)

f(x)

4

f(x)

2.x01cosx

x0 x22

x0 x2由x0

得x0

f(x)0

f(0f(x)在xx0

f(x)x2

0)0

f(x)2x

2。由x0

2x得x0

f(x)0

f(0f(x)在xlim

f(x)

1

f(x)

f

1f(0)2，f(0)4，

x0 2x

2x0 x 2

f(0)

f0

f(x)

2

f0，f42x 0 2 2x0

x0

f(0)

x0

f(x

f(x在x0

x0

f(x)

f(0)。解法二由limx0

f(x)x2

2，x0f(0)f(0)x0

f(0)x2!x2

x20(x2)

2由x0

0,得

x0

f(0)x

f(0)x22!x2

0(x2)

x0

f(0)

f(0)2!x

xo(x)2又

x

f(0)

f(0) ( (

0

f(0)。于是x0f(0)

x02 x0

xo(x)2x

2

f(0)2

f(0)4.若xn n

x,0

xn

x,0

n

f(x)n

n

f(x)n

B,A

B,則極限 xx0

f(x不存在。例極限

x

sinx.xn

2n,xn

,n