相似三角形證明技巧專題

3．如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長線上一點(diǎn)，∠D=∠ECA.求證：AD·EC=AC·EB.（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對(duì)邊相等，用等線替代思想解決）4．如圖，AD為△ABC中∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD2FC=·FB。（此題四點(diǎn)共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5．如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FG·EF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。）6．如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FM∥BE交DE于M.求證：FM=CF.(注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)7．如圖，△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CE∥AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連接FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2FG=·FE.8．如圖，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,求證：DC2=DE·DF.9．如圖，ABCD為直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。AD=BD，過E作EF∥AB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;(2)AF2=AE·EC.10．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11．已知，CE是RT△ABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點(diǎn)P,連接AP,作BG⊥AP,垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE2=ED·EP.(注：此題要用到等積替代，將CE2用射影定理替代，再化成比例式。)七、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等．若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明．可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪．例1如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF⊥AB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG/FA＝FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)． A E FG B 圖5D C H1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似．找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，□ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC＝3：1，S?FBE＝18，求：(1)BF：FD(2)S?FDADF圖6E C2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理．由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積．例3如圖7在△ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于N．求：AN：AB的值； E A N M B D C說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡．當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡．例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G．求證：AG2＝AF×FC D E CGGF AB說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩個(gè)三角形相似．、例5如圖在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長． A E F B DM C說明：要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似．再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長．例6如圖10過△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E．過點(diǎn)D作DM∥FC交AB于點(diǎn)M．(1)若S△AEF：S四邊形MDEF＝2：3，求AE：ED；(2)求證：AE×FB＝2AF×ED CEED A F M B 圖例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DF?AC=BC?FE例6：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。二、作延長線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG2=CF?BF例8．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，ADAF31，連E、F交AC于G．求AG：3．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖（10）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1.⑴請(qǐng)你探究：ACCDABDB，1111ACCDABDB錯(cuò)誤!未指定書簽。是否都成立？⑵請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問ACCDABDB一定成立嗎？并證明你的判斷.證：QC證：QCPEBQDP．（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；10．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求證：AB2＝AE?AC．EABDC11．學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件。（1）“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個(gè)直角三角形相似”。3（2）在圖8中，聯(lián)結(jié)AP．當(dāng)AD，且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為x，2S△APQy，其中S 表示△APQ的面積，S 表示△PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并S △APQ △PBC△PBC寫出自變量的取值范圍；D A D A D P PPQC B（Q） CB C圖8 圖9 圖10 Q FGDC16．如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，F(xiàn)GDC寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的長．第22題圖E17.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(8，6)，C(0，6)，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形OABC，此時(shí)直線OA、直線BC分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．四邊形OABC的形狀是當(dāng)90°時(shí)，BP的值是；BQBP①如圖2，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求的值；BQ②如圖3，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求△OPB的面積．18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為；（2）請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時(shí)菱形的邊長；溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助哦?。≦）CBAOxPAC（圖3）yBQCBAOxPABC（圖2）yCBAOyx（備用圖）（第10題）19．正方形ABCD邊長為4，M、N