2019版數(shù)學(xué)大江蘇專版：第十一章 統(tǒng)計(jì)11.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§11。2用樣本估計(jì)總體考情考向分析主要考查平均數(shù)、方差的計(jì)算以及莖葉圖與頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用;題型以填空題為主，難度為中低檔題．1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)．（2）決定組距與組數(shù)．（3)將數(shù)據(jù)分組．（4）列頻率分布表．(5）畫頻率分布直方圖．2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1）頻率分布折線圖：如果將頻率分布直方圖中各個(gè)相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái),那么就得到頻率分布折線圖．(2）總體分布的密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．3．莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù),葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．4．標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1）標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．(2）標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f（1，n）[x1－\x\to（x)2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to(x）2］）。(3）方差：s2＝eq\f(1,n)［(x1－eq\x\to（x))2＋（x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x）)2］(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to（x)是樣本平均數(shù))．知識(shí)拓展1．頻率分布直方圖的特點(diǎn)（1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f（頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f（頻率,組距).（2)在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比．(3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀．2．平均數(shù)、方差的公式推廣（1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to（x），那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x）＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2。題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）（1）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．（√）（2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．（×)(3）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．（√）（4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．（×）（5）在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．（√)(6)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(×)題組二教材改編2．[P58例4]如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2，2.5）范圍內(nèi)的居民有________人．答案25解析0.5×0.5×100＝25.3．［P56練習(xí)T3]一個(gè)容量為32的樣本,已知某組樣本的頻率為0。25,則該組樣本的頻數(shù)為_(kāi)_______．答案8解析設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n，32)＝0.25，∴n＝32×eq\f（1,4)＝8。4．［P71練習(xí)T1]已知一組數(shù)據(jù)4。7,4.8，5.1,5.4，5。5,則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案0.1解析eq\x\to（x）＝eq\f(4.7＋4。8＋5。1＋5.4＋5.5,5)＝5。1，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝eq\f(4。7－5。12＋4.8－5.12＋5。1－5.12＋5.4－5.12＋5。5－5。12，5）＝0.1.題組三易錯(cuò)自糾5．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是［17.5，30］，樣本數(shù)據(jù)分組為［17.5,20),［20,22.5)，[22.5,25),[25,27.5)，[27。5，30］．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是________．答案140解析由頻率分布直方圖,知200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22。5小時(shí)的頻率為1－(0。02＋0。10）×2。5＝0.7,則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22。5小時(shí)的人數(shù)為200×0。7＝140。6．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n,平均數(shù)為eq\x\to(x),則m，n,eq\x\to（x）的大小關(guān)系為_(kāi)_______．(用“<”連接)答案n〈m〈eq\x\to（x）解析由圖可知,30名學(xué)生得分的中位數(shù)為第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)（分別為5，6）的平均數(shù)，即m＝5.5；又5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故n＝5；eq\x\to（x）＝eq\f（2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)≈5.97.故n〈m<eq\x\to（x).題型一莖葉圖的應(yīng)用1．(2017·江蘇淮陰中學(xué)月考)如圖所示是一次歌唱大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為85，則a2＋b2的最小值是________．答案32解析方法一根據(jù)題意，有eq\f(4＋a＋6＋b＋7，5）＝5,得a＋b＝8，則b＝8－a，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64，其中a，b滿足0≤a≤9，0≤b≤9，即0≤a≤9，0≤8－a≤9，即0≤a≤8且a是整數(shù),令f(a）＝2a2－16a＋64，顯然當(dāng)a＝4時(shí),f(a）取得最小值，這個(gè)最小值是32.方法二同解法一可得a＋b＝8，則8≥2eq\r(ab)，故ab≤16，而a2＋b2＝（a＋b)2－2ab≥64－32＝32，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)等號(hào)成立．2．空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡(jiǎn)單AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0~50為優(yōu);51~100為良；101～150為輕度污染;151~200為中度污染;201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如下．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為_(kāi)_______．(該年有365天）答案146解析該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為eq\f（2，5）,由此估計(jì)該地全年AQI大于100的頻率為eq\f（2，5）,估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365×eq\f（2，5）＝146。思維升華莖葉圖的優(yōu)缺點(diǎn)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒(méi)有任何信息損失,第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較煩瑣．題型二頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用典例（2017·北京）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30)，[30,40)，…，［80，90],并整理得到如下頻率分布直方圖：(1）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40，50）內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為（0.02＋0.04)×10＝0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0。6＝0.4，所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0。4。（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0。01＋0.02＋0.04＋0。02)×10＝0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0。9－5＝5,所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100）＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0。02＋0.04）×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40,所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2,所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2.思維升華(1）準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率,不要和條形圖混淆．(2)在很多題目中，頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1，是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布．跟蹤訓(xùn)練（1）某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中,對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元,則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為_(kāi)_______萬(wàn)元．答案10解析設(shè)11時(shí)至12時(shí)的銷售額為x,因?yàn)?時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元,由題意得eq\f(0.1，0.4）＝eq\f（2.5,x），得x＝10。（2)某校對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體檢，現(xiàn)將高三男生的體重(單位：kg）數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成六組，并繪制頻率分布直方圖（如圖所示）．已知圖中從左到右第一、第六小組的頻率分別為0。16,0。07，第一、第二、第三小組的頻率成等比數(shù)列，第三、第四、第五、第六小組的頻率成等差數(shù)列，且第三小組的頻數(shù)為100,則該校高三年級(jí)的男生總數(shù)為_(kāi)_______．答案400解析因?yàn)榈谝弧⒌诙?、第三小組的頻率成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則第三小組的頻率為0.16q2；又第三、第四、第五、第六小組的頻率成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,從而得第六小組的頻率為0.16q2＋3d＝0.07.又因?yàn)榱M頻率之和為1，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0.16q2＋3d＝0。07，,0。16＋0.16q＋0。16q2＋0.16q2＋d＋0。16q2＋2d＋0。07＝1.)）由圖知q>0，d〈0，得q＝1.25,d＝－0。06，得第三小組的頻率為0。25，則該校高三年級(jí)的男生總數(shù)為100÷0。25＝400。題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征典例（1)（2013·江蘇）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為_(kāi)_______．答案2解析eq\x\to（x)甲＝eq\f(1,5）(87＋91＋90＋89＋93）＝90，eq\x\to（x)乙＝eq\f(1，5）(89＋90＋91＋88＋92)＝90，seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1,5)［(87－90)2＋(91－90）2＋（90－90)2＋（89－90）2＋（93－90）2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)［(89－90)2＋（90－90)2＋(91－90)2＋(88－90）2＋(92－90)2]＝2。(2)甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖：①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；②根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)．解①由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲:10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分,14分．eq\x\to(x）甲＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16，5)＝13；eq\x\to（x）乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14，5)＝13,seq\o\al（2，甲)＝eq\f（1,5)[(10－13）2＋(13－13)2＋（12－13)2＋(14－13）2＋（16－13）2]＝4；seq\o\al（2,乙)＝eq\f(1,5）［(13－13）2＋（14－13)2＋（12－13)2＋(12－13)2＋（14－13)2］＝0。8.②由seq\o\al(2,甲)〉seq\o\al（2，乙），可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定．從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)則無(wú)明顯提高．思維升華平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大?。櫽?xùn)練某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b），（a，eq\x\to(b)），(a,b）,（eq\x\to(a)，b),（eq\x\to(a），eq\x\to（b))，(a，b），(a，b）,（a，eq\x\to（b）），（eq\x\to(a)，b)，（a,eq\x\to(b))，(eq\x\to（a），eq\x\to(b）），（a,b），(a,eq\x\to（b))，（eq\x\to(a），b），(a，b)，其中a，eq\x\to(a）分別表示甲組研發(fā)成功和失??；b，eq\x\to(b）分別表示乙組研發(fā)成功和失?。?）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品,則給該組記1分，否則記0分．試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率．解（1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?，1,1,0,0,1，1,1，0，1，0，1，1，0,1,其平均數(shù)eq\x\to(x）甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2，3）；方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f（1,15）eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(2，3))）2×10