線性離散系統(tǒng)與變換詳解演示文稿

線性離散系統(tǒng)與變換詳解演示文稿當(dāng)前1頁，總共79頁。優(yōu)選線性離散系統(tǒng)與變換當(dāng)前2頁，總共79頁。6.1概述在連續(xù)控制系統(tǒng)中，所有傳遞的信號(hào)（控制信號(hào)、反饋信號(hào)、偏差信號(hào)）都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)；而在離散控制系統(tǒng)中，上述信號(hào)不是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，而是時(shí)間上離散的脈沖序列或數(shù)碼，即離散信號(hào)。離散信號(hào)通常是按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行采樣而得到的，這樣的信號(hào)又稱為采樣信號(hào)。當(dāng)前3頁，總共79頁。通常把用采樣開關(guān)（采樣器）將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。把用模-數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D）將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字序列形式并用數(shù)字計(jì)算機(jī)或控制器進(jìn)行控制的離散系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。當(dāng)前4頁，總共79頁。圖6-1為典型的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)原理圖連續(xù)偏差信號(hào)瞬時(shí)脈沖幅值實(shí)現(xiàn)脈沖序列轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)圖6-1典型的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)原理圖當(dāng)前5頁，總共79頁。圖6-2為典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理圖圖6-2典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理圖當(dāng)前6頁，總共79頁。圖6-3為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖理想采樣開關(guān)圖6-3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當(dāng)前7頁，總共79頁。離散控制系統(tǒng)廣泛應(yīng)用的主要原因：

（1）由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置易于通過改變計(jì)算程序而靈活地實(shí)現(xiàn)控制規(guī)律的改變（如自適應(yīng)、最優(yōu)化、智能控制等），從而可以大大地提高控制系統(tǒng)的性能；

（2）采用高靈敏度的控制元件，可以提高系統(tǒng)的控制精度；

（3）離散信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力；

（4）用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)被控對(duì)象，以提高設(shè)備的利用率。當(dāng)前8頁，總共79頁。6.2采樣過程與采樣定理一、采樣過程二、采樣定理

采樣信號(hào)的拉氏變換采樣信號(hào)的頻譜采樣定理三、信號(hào)保持當(dāng)前9頁，總共79頁。一、采樣過程采樣過程，即按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，將其變換為在時(shí)間上離散的脈沖序列的過程。把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又稱采樣開關(guān)。當(dāng)前10頁，總共79頁。圖6-4采樣過程采樣器每隔時(shí)間T瞬時(shí)閉合一下立即打開，閉合的時(shí)間為τ，當(dāng)信號(hào)x(t)加在輸入端時(shí)，在輸出端得到的是開關(guān)閉合瞬時(shí)輸入信號(hào)x(t)的幅值，在開關(guān)打開的時(shí)間內(nèi)，輸出端沒有信號(hào)。圖6-4采樣過程當(dāng)前11頁，總共79頁。圖6-5采樣信號(hào)的調(diào)制過程圖6-5采樣信號(hào)的調(diào)制過程當(dāng)前12頁，總共79頁。實(shí)際脈沖序列數(shù)學(xué)表達(dá)式:當(dāng)實(shí)際脈沖持續(xù)時(shí)間h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期T0時(shí)，實(shí)際脈沖序列可近似用平頂脈沖序列表示。當(dāng)前13頁，總共79頁。其中表示發(fā)生在nT0時(shí)刻單位強(qiáng)度脈沖表示發(fā)生在nT0時(shí)刻強(qiáng)度為ε(nT0)脈沖當(dāng)脈沖持續(xù)時(shí)間h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小于周期T0，同時(shí)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于用以描述數(shù)字控制系統(tǒng)中具有連續(xù)工作狀態(tài)部分慣性的時(shí)間常數(shù)時(shí)，式中表示發(fā)生在t=nT0時(shí)刻的具有單位強(qiáng)度的理想脈沖，即當(dāng)前14頁，總共79頁。從物理意義上講，上述采樣過程可以理解為脈沖調(diào)制過程。采樣器是一種理想脈沖發(fā)生器，通過它將連續(xù)函數(shù)調(diào)制成理想脈沖序列。當(dāng)前15頁，總共79頁。二、采樣定理1、采樣信號(hào)的拉氏變換2、采樣信號(hào)的頻譜3、采樣定理當(dāng)前16頁，總共79頁。1、采樣信號(hào)的拉氏變換當(dāng)前17頁，總共79頁。2、采樣信號(hào)的頻譜由于采樣信號(hào)x*(t)只描述了x(t)在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，所以X*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)x(t)在采樣間隔之間的信息。因此，采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比要發(fā)生變化。研究采樣信號(hào)的頻譜，目的是找出X*(s)與X(s)之間的相互聯(lián)系。當(dāng)前18頁，總共79頁。圖6-7連續(xù)信號(hào)的頻譜通常連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜|X(jω)|是單一的連續(xù)頻譜，如圖6-7所示。其中ωmax為連續(xù)頻譜的最大截止頻率；當(dāng)前19頁，總共79頁。離散信號(hào)x*(t)的頻譜則是以采樣角頻率ωs為周期的無窮多個(gè)頻譜之和，如圖6-8所示，其中n=0時(shí)，|X(jω)|為采樣頻譜的主頻譜，其余頻譜（n=±1,±2,…）都是由于采樣而引起的高頻頻譜。當(dāng)前20頁，總共79頁。圖6-8離散信號(hào)的頻譜根據(jù)采樣角頻率ωs的大小，采樣頻譜可能有兩種情況：一種是采樣角頻率ωs大于兩倍的連續(xù)頻譜的最大截止頻率ωmax，即ωs≥2ωmax，此時(shí)，采樣信號(hào)的頻譜不會(huì)發(fā)生重迭，如圖6-8(a)所示；另一種情況是當(dāng)ωs＜2ωmax時(shí)，采樣信號(hào)的頻譜相互發(fā)生重迭，如圖6-8(b)所示。圖6-8離散信號(hào)的頻譜當(dāng)前21頁，總共79頁。圖7-7離散信號(hào)的頻譜當(dāng)ωs≥2ωmax時(shí)，如果用一個(gè)如圖6-8（a）虛線所示的低通濾波器濾掉|ω|>ωmax的高頻分量，那么在濾波器輸出端便可得到|X(jω)|的連續(xù)頻譜，除了幅值變化1/T倍外，頻譜形狀沒有畸變，從而可以將原信號(hào)恢復(fù)出來。當(dāng)ωs<2ωmax時(shí)，就是采用低通濾波器也無法恢復(fù)原信號(hào)。綜上所述，可以歸納出一條重要結(jié)論，即采樣定理。

圖6-8離散信號(hào)的頻譜當(dāng)前22頁，總共79頁。3、采樣定理為了使采樣后的信號(hào)不丟失原連續(xù)信號(hào)的信息，或者說為了能將采樣后的離散信號(hào)x*(t)恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)x(t)，必須滿足：采樣頻率ωs大于或等于兩倍連續(xù)輸入信號(hào)x(t)頻譜的上限頻率ωmax，即ωs≥2ωmax

在控制工程實(shí)踐中，一般總?cè)ˇ豷>2ωmax,，而不取恰好等于2ωmax的情形。當(dāng)前23頁，總共79頁。三、信號(hào)保持（1）在離散控制系統(tǒng)中，把離散脈沖序列較準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。從數(shù)學(xué)上說，保持器的任務(wù)是解決各采樣點(diǎn)之間的插值問題。當(dāng)前24頁，總共79頁。三、信號(hào)保持（2）在滿足采樣定理的條件下，采用理想濾波器濾去各高頻分量，保留主頻譜，就可以無失真的復(fù)現(xiàn)采樣器的輸入信號(hào)。理想濾波器實(shí)際上是不存在的。工程上，通常只能采用接近于理想濾波器的低通濾波器來近似代替。當(dāng)前25頁，總共79頁。圖6-9零階保持器的輸出特性

零階保持（滯后）圖6-9零階保持器的輸出特性當(dāng)前26頁，總共79頁。圖6-10零階保持器的頻率特性

圖6-10零階保持器的頻率特性圖當(dāng)前27頁，總共79頁。圖6-10零階保持器的頻率特性

當(dāng)前28頁，總共79頁。6.3Z變換和Z反變換Z變換是從拉氏變換引伸出來的一種變換方法。利用Z變換可將描述離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解過程大為簡化。因此，Z變換成為分析離散控制系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。當(dāng)前29頁，總共79頁。6.3Z變換和Z反變換一、Z變換的定義二、Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理3、超前定理4、初值定理5、終值定理6、位移定理三、Z反變換當(dāng)前30頁，總共79頁。一、Z變換的定義(1)由連續(xù)函數(shù)x(t)得拉氏變換為設(shè)x(t)的采樣信號(hào)為x*(t)，則其拉氏變換式為當(dāng)前31頁，總共79頁。一、Z變換的定義(2)在上式中，e-Ts是s的超越函數(shù)，不便直接運(yùn)算。為了便于應(yīng)用，令變量z=eTs（6-16）將式（6-16）代入式（6-15）中，則采樣信號(hào)x*(t)的Z變換定義為當(dāng)前32頁，總共79頁。一、Z變換的定義(3)Z變換是拉氏變換的一種變形。Z變換只是表示了連續(xù)信號(hào)在采樣時(shí)刻的特性，并不能反映采樣時(shí)刻之間的特性。上式中Z[x(t)]是為了書寫方便，并不意味著對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)取Z變換，而是仍指采樣信號(hào)x*(t)的Z變換。當(dāng)前33頁，總共79頁。例6-1求單位階躍函數(shù)l(t)的Z變換。當(dāng)前34頁，總共79頁。例6-2求指數(shù)函數(shù)e-αt的Z變換。當(dāng)前35頁，總共79頁。例6-3當(dāng)前36頁，總共79頁。對(duì)于任意G(s)，只要它為s的有理函數(shù)，且分母多項(xiàng)式能夠分解因式時(shí)，都可以通過部分分式法，將其分解為部分分式，然后求出相應(yīng)的Z變換式。附錄中列出了常用時(shí)間函數(shù)的Z變換和拉普拉斯變換式，利用此表可以根據(jù)給定的時(shí)間函數(shù)或拉普拉斯變換式直接查出對(duì)應(yīng)的Z變換。當(dāng)前37頁，總共79頁。二、Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理3、超前定理4、初值定理5、終值定理6、位移定理當(dāng)前38頁，總共79頁。1、線性定理Z變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和迭加性。當(dāng)前39頁，總共79頁。2、滯后定理(平移定理)若函數(shù)x(t-mT)比函數(shù)x(t)右移（滯后）m個(gè)采樣周期，且x(t)的Z變換為X(z),則有滯后定理說明，原函數(shù)在時(shí)域中滯后m個(gè)采樣周期，相當(dāng)于其Z變換乘以z-m。顯然，算子z-m有明確的物理意義：z-m代表時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)滯后m個(gè)采樣周期。當(dāng)前40頁，總共79頁。3、超前定理(正偏移定理)若函數(shù)x(t+mT)比函數(shù)x(t)左移（超前）m個(gè)采樣周期，且x(t)的Z變換為X(z)，則超前定理說明，原函數(shù)在時(shí)域中超前m個(gè)采樣周期，相當(dāng)于其Z變換乘以zm。當(dāng)前41頁，總共79頁。4、初值定理當(dāng)前42頁，總共79頁。5、終值定理當(dāng)前43頁，總共79頁。6、復(fù)數(shù)位移定理當(dāng)前44頁，總共79頁。三、Z變換方法1、級(jí)數(shù)求和法2、部分分式法3、留數(shù)計(jì)算法當(dāng)前45頁，總共79頁。2.部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為有理函數(shù)，即將X(s)展成部分分式形式可得由拉氏反變換可知,的時(shí)間函數(shù)為當(dāng)前46頁，總共79頁。可得,Ｘ(s)的Z變換為的Z變換為例6.3、6.4當(dāng)前47頁，總共79頁。3.留數(shù)計(jì)算法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及其全部極點(diǎn)pi（i=1,2,3…)為已知，則連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換可由留數(shù)計(jì)算法求得例6.5、6.6當(dāng)前48頁，總共79頁。四、Z反變換當(dāng)前49頁，總共79頁。2.部分分式法與應(yīng)用部分分式法求拉氏反變換相似。與它對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為式中Z變換為所以x(t)的Ｚ變換為可得當(dāng)前50頁，總共79頁。例6.11、6.123.留數(shù)計(jì)算法由反演積分法推導(dǎo)出，參見胡壽松（第四版）教材。例6.13、6.14、6.15根據(jù)的極點(diǎn)分布情況，（1）極點(diǎn)不同時(shí)，當(dāng)前51頁，總共79頁。五、連續(xù)系統(tǒng)的離散化方程－差分方程差分方程是用來描述離散化系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。對(duì)于一般的離散系統(tǒng)，如果它的Z變換可以寫成當(dāng)前52頁，總共79頁。則根據(jù)Z反變換，它的差分方程可以寫成如下例6.16、6.17當(dāng)前53頁，總共79頁。六、用Z變換法求解差分方程用Z變換法求解差分方程，與用拉氏變換法求解微分方程類似。采用Z變換法求解差分方程的實(shí)質(zhì)是將差分方程變換成以z為變量的代數(shù)方程，通過該代數(shù)方程，獲得差分方程的解。當(dāng)前54頁，總共79頁。六、用Z變換法求解差分方程設(shè)x(k)的Z變換為Z[x(k)]=X(z)，則x(k+1)的Z變換為同樣，當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，則有例6.18、6.19當(dāng)前55頁，總共79頁。6.4脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義2、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)）3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)前56頁，總共79頁。1、脈沖傳遞函數(shù)定義當(dāng)前57頁，總共79頁。1、脈沖傳遞函數(shù)定義系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比。脈沖傳遞函數(shù)求解步驟：1）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s).2）根據(jù)拉氏變換，求脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t).3）計(jì)算例6.20當(dāng)前58頁，總共79頁。2、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（串聯(lián)時(shí)的Z傳遞函數(shù)）當(dāng)前59頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)前60頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)前61頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)前62頁，總共79頁。當(dāng)前63頁，總共79頁。當(dāng)前64頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)當(dāng)前65頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)當(dāng)前66頁，總共79頁。3、閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)當(dāng)前67頁，總共79頁。6.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、[s]平面到[z]平面之間的映射二、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件三、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法當(dāng)前68頁，總共79頁。一、[s]平面到[z]平面之間的映射當(dāng)前69頁，總共79頁。一、[s]平面到[z]平面之間