2019版數(shù)學題組訓練：第9章第2講 圓的方程及直線、圓的位置關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二講圓的方程及直線、圓的位置關系題組1圓的方程1。［2015新課標全國Ⅱ,7,5分］[理］過三點A（1，3），B（4,2)，C（1,-7）的圓交y軸于M,N兩點，則|MN｜=(）A。26 B。8 C。46 D.102。［2016天津，12，5分]已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0,5)在圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為3.[2016浙江，10,6分］已知a∈R,方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是,半徑是。

4.［2015新課標全國Ⅰ，14，5分][理]一個圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個頂點，且圓心在5.［2015江蘇,10,5分］[理］在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0）為圓心且與直線mx-y-2m—1=0(m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為.

6.［2017全國卷Ⅲ,20，12分][理］已知拋物線C：y2=2x,過點(2，0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1)證明：坐標原點O在圓M上；(2）設圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程。題組2直線與圓的位置關系7。［2015山東，9,5分]［理]一條光線從點（—2，-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+(y—2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為(）A?！?3或—35 B.-32或-23C.-54或—48。[2015重慶，8,5分］［理]已知直線l：x+ay—1=0(a∈R）是圓C:x2+y2—4x-2y+1=0的對稱軸。過點A(-4，a）作圓C的一條切線，切點為B,則|AB｜=()A。2 B。42 C。6 D.2109.［2014浙江，5，5分]已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A.—2B.-4 C.—6 D.-810.［2016全國卷Ⅰ,15,5分］設直線y=x+2a與圓C：x2+y2—2ay—2=0相交于A，B兩點，若｜AB｜=23，則圓C的面積為。

11。[2016全國卷Ⅲ，16，5分］［理]已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點,過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點.若|AB|=23,則｜CD|=。

12。[2015重慶,12,5分]若點P（1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為.

13.［2014重慶,13，5分][理]已知直線ax+y—2=0與圓心為C的圓(x—1）2+(y—a）2=4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a=。

14.［2016江蘇,18，16分］[理]如圖9—2-1，在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2，4)。（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；（3)設點T(t，0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍。圖9—2-115.［2015新課標全國Ⅰ,20，12分］已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x-2）2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1）求k的取值范圍;(2)若OM·ON=12,其中O為坐標原點,求｜MN｜。題組3圓與圓的位置關系16.[2016山東,7,5分］已知圓M：x2+y2—2ay=0（a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22.則圓M與圓N：（x—1)2+(y—1）2=1的位置關系是（)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離17.［2014湖南,6,5分]若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2—6x-8y+m=0外切,則m=(）A.21 B。19 C.9 D.—1118。［2013重慶，7,5分］［理]已知圓C1:(x-2）2+(y—3）2=1,圓C2：（x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1，C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+｜PN|的最小值為（)A.52—4 B。17—1 C.6-22 D。1719。[2013新課標全國Ⅰ,20，12分］［理]已知圓M：（x+1)2+y2=1，圓N:（x-1）2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(Ⅰ）求C的方程；(Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時，求|AB｜。A組基礎題1.［2017陜西省高三質(zhì)量檢測,5］圓：x2+y2—2x—2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是（）A。1+2 B。2C。1+22 D。2+22.[2017寧夏銀川市教學質(zhì)量檢測,3］已知圓C1:x2+y2=4，圓C2:x2+y2+6x-8y+16=0,則圓C1與圓C2的位置關系是()A.相離 B.外切 C。相交 D.內(nèi)切3。［2017遼寧省高三第一次質(zhì)量監(jiān)測，5］已知直線l：y=k（x+3)和圓C:x2+(y-1)2=1，若直線l與圓C相切，則k=（）A。0 B。3 C.33或0 D。34。［2017長春市高三二檢,4]圓（x-2)2+y2=4關于直線y=33x對稱的圓的方程是()A.（x—3)2+(y-1）2=4 B.（x—2)2+（y-2)2=4C。x2+（y—2）2=4 D.（x-1）2+（y-3)2=45。［2017武漢市四月模擬,10］已知圓C：（x—1）2+（y—4）2=10和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A,B,使得MA⊥MB,則實數(shù)t的取值范圍為()A.［-2，6] B.［—3,5］ C.[2，6] D。[3，5]6。[2017云南11校調(diào)考,15］已知動圓C過A（4，0）,B(0，—2）兩點,圓心C關于直線x+y=0的對稱點為M，過點M的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點,當圓C的面積最小時,|EF｜的最小值為。

7.［2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考，16］設圓C滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x—2y=0的距離為d。當d最小時，圓C的面積為.

B組提升題8。［2018洛陽市高三第一次統(tǒng)一考試,7］已知圓C：（x-1）2+y2=r2（r〉0）。設條件p：0<r<3，條件q:圓C上至多有2個點到直線x—3y+3=0的距離為1,則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C。充分必要條件 D。既不充分也不必要條件9。［2017遼寧省部分重點高中第三次聯(lián)考，5]若直線y=kx與圓(x—2）2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱，則點（k，b）所在的圓為()A。（x-12)2+(y+5）2=1 B。(x—12)2+(y—5)2C.（x+12)2+(y-5)2=1 D。(x+12）2+(y+5)210.［2017新疆維吾爾自治區(qū)第二次適應性檢測，8］設m,n∈R,若直線(m+1）x+(n+1）y-2=0與圓x2+y2=1相切,則m—n的最大值是(）A.22 B.23 C.3 D.211.［2017江西省南昌市第一次模擬，8］如圖9-2-2，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+1與圓x2+y2=4相交于A，B兩點,則cos∠AOB=()圖9—2—2A。510 B?！?10C。91012.［2017廣西南寧市第二次適應性測試,15]過動點M作圓:(x-2）2+（y-2）2=1的切線MN，其中N為切點,若|MN｜=|MO｜(O為坐標原點），則｜MN|的最小值是。

13。［2018湖北省月考，20]已知圓N：（x—1）2+y2=1，點P是曲線y2=2x上的動點,過點P分別向圓N引切線PA,PB（A,B為切點)。（1）若P(2，2),求切線的方程;（2）若切線PA，PB分別交y軸于點Q，R，點P的橫坐標大于2，求△PQR的面積S的最小值。答案1。C設過A，B，C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所求圓的方程為x2+y2-2x+4y—20=0，令x=0,得y2+4y-20=0,設2。（x-2）2+y2=9設圓心為（a，0)（a〉0),則圓心到直線2x—y=0的距離d=|2a-0|4+1=455,得a=2,半徑r=(a-0)3.（-2，—4）5由題意可得a2=a+2，解得a=—1或a=2.當a=—1時，方程為x2+y2+4x+8y-5=0,表示圓，故圓心為(—2,-4)，半徑為5。當a=2時,方程不表示圓.4.(x-32）2+y2=254由題意知，圓過橢圓的三個頂點（4，0）,（0,2）,(0,—2)，設圓心為(a,0)，其中a>0,由4—a=a2+4，解得a=32，所以該圓的標準方程為(x-32)5.(x—1）2+y2=2因為直線mx-y-2m—1=0（m∈R）恒過點(2,-1),所以當點（2,-1）為切點時，半徑最大，此時半徑r=2,故所求圓的標準方程為（x-1）2+y2=2。6.（1）設A（x1,y1),B（x2,y2)，l：x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=又x1=y122，x2=y222,故x1x因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1·y2x2=-44=-1，所以OA(2)由(1）可得y1+y2=2m，x1+x2=m(y1+y2）+4=2m2+4。故圓心M的坐標為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m由于圓M過點P(4，-2），所以AP·BP=0，故(x1-4)（x2—4）+(y1+2)(y2+2)=0，即x1x2-4（x1+x2）+y1y2+2（y1+y2）+20=0.由（1)可得y1y2=—4,x1x2=4.所以2m2-m—1=0,解得m=1或m=—12當m=1時,直線l的方程為x—y—2=0,圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為10，圓M的方程為（x—3）2+（y-1）2=10.當m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0，圓心M的坐標為（94,-12），圓M的半徑為854，圓M的方程為(x—94)2+(y+17。D圓(x+3)2+(y-2)2=1的圓心為（-3,2)，半徑r=1。作出點(—2，—3）關于y軸的對稱點(2，—3）。由題意可知,反射光線的反向延長線一定經(jīng)過點（2,—3）。設反射光線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y-(—3)=k(x-2),即kx—y-2k—3=0。由反射光線與圓相切可得|k(-3)-2-2k-3|1+k2=1，即|5k+5｜=1+k2,整理得12k2+25k+8.C由題意得圓C的標準方程為（x-2)2+(y-1)2=4,所以圓C的圓心為(2,1)，半徑為2.因為直線l為圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上,則2+a-1=0,解得a=-1,所以｜AB|2=｜AC|2-|BC｜2=（-4—2）2+（-1-1)2-4=36，所以|AB|=6,故選C。9.B圓的標準方程為(x+1）2+(y—1）2=2—a，圓心C（-1,1），半徑r滿足r2=2-a,則圓心C到直線x+y+2=0的距離d=21+1=2,所以r2=4+2=2—a,解得a=—4.故選B10.4π圓C的方程可化為x2+（y-a）2=a2+2,可得圓心的坐標為C（0，a)，半徑r=a2+2,所以圓心到直線x—y+2a=0的距離為|-a+2a|2=|a|2，所以(|a|2)2+(3)2=（11.4設圓心到直線l:mx+y+3m-3=0的距離為d,則弦長|AB|=212-d2=23,解得d=3，即|3m-3|m2+1=3，解得m=—33,則直線l12.x+2y-5=0由題意，得kOP=2-01-0=2,則該圓在點P處的切線方程的斜率為—12,所以所求切線方程為y-2=—12(x-1），即13.4±15依題意,圓C的半徑是2，圓心C（1，a）到直線ax+y—2=0的距離等于32×2=3，于是有|1·a+a-2|a2+1=3,即a14.圓M的標準方程為（x—6)2+(y-7）2=25，所以圓心為M（6，7)，半徑為5。（1)由圓心N在直線x=6上，可設N(6，y0）.因為圓N與x軸相切,與圓M外切，所以0〈y0<7,圓N的半徑為y0，從而7-y0=5+y0，解得y0=1.因此，圓N的標準方程為(x—6）2+(y—1）2=1.(2）因為直線l∥OA,所以直線l的斜率為4-02設直線l的方程為y=2x+m，即2x—y+m=0，則圓心M到直線l的距離d=|2×6-7+因為BC=OA=22+42而MC2=d2+（BC2)2所以25=(m+5)25+5，解得故直線l的方程為2x-y+5=0或2x—y—15=0.(3)設P(x1，y1),Q(x2,y2）。因為A(2,4）,T（t，0),TA+TP=TQ，所以x因為點Q在圓M上,所以（x2-6)2+（y2-7)2=25③。將①②代入③，得(x1—t-4）2+(y1-3）2=25。于是點P（x1,y1）既在圓M上,又在圓［x-(t+4）］2+（y-3）2=25上,從而圓（x-6）2+（y-7)2=25與圓[x-（t+4）］2+（y-3）2=25有公共點，所以5-5≤[(t+4)-解得2-221≤t≤2+221.因此，實數(shù)t的取值范圍是[2-221，2+221］。15。(1)由題設，可知直線l的方程為y=kx+1。因為直線l與圓C交于兩點，所以|2k-解得4-73所以k的取值范圍為（4-73,(2)設M(x1，y1)，N(x2,y2)。將y=kx+1代入圓C的方程(x-2）2+（y-3）2=1,整理得(1+k2)x2—4(1+k）x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2，OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=4k(1+由題設可得4k(1+k)1+k2+8=故圓C的圓心（2,3)在l上,所以|MN｜=2。16。B由題意知圓M：x2+（y—a)2=a2，圓心（0,a)到直線x+y=0的距離d=a2，所以2a2-a22=22，解得a=2.圓M、圓N的圓心距17.C圓C1的圓心是原點（0,0),半徑r1=1,圓C2:（x—3)2+（y—4）2=25-m，圓心C2（3,4），半徑r2=25-m,由兩圓外切，得|C1C2｜=r1+r2=1+25-m=5,所以m=18。A兩圓的圓心均在第一象限,先求|PC1｜+｜PC2|的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C'1(2,—3）,則(｜PC1|+|PC2｜）min=｜C’1C2|=52,所以（|PM｜+|PN|)min=52-（1+3）=52—4。故選A。19。由已知得圓M的圓心為M（-1，0），半徑長r1=1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑長r2=3.設圓P的圓心為P（x,y），半徑為R.（Ⅰ）因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以｜PM｜+|PN|=（R+r1)+(r2—R)=r1+r2=4。由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點,長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓（左頂點除外),其方程為x24+y23=1(x（Ⅱ）對于曲線C上任意一點P（x，y),由于｜PM｜—｜PN｜=2R—2≤2，所以R≤2,當且僅當圓P的圓心為（2,0）時，R=2。所以當圓P的半徑最長時,其方程為（x—2）2+y2=4。若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得｜AB｜=23.若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知,l不平行于x軸，設l與x軸的交點為Q,則|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0），所以可設l：y=k(x+4）.由l與圓M當k=24時，將y=24x+2代入x24整理得7x2+8x-8=0，解得x1，2=-4±6所以|AB｜=1+k2｜x2—x1|=當k=—24時,由圖形的對稱性可知|AB|=18綜上,|AB｜=23或｜AB|=187A組基礎題1。A將圓的方程化為(x-1）2+(y-1)2=1,即圓心坐標為（1，1),半徑為1，則圓心到直線x-y=2的距離d=|1-1-2|2=2，故圓上的點到直線x—y=2。B易知圓C2的標準方程為（x+3）2+(y-4）2=9，則圓C1與C2的圓心的距離為32+42=5，又兩圓半徑之和為2+3=5,所以圓C1與圓3.D因為直線l與圓C相切,所以圓心C到直線l的距離d=|-1+3k|1+k2=1，即｜—1+3k｜=1+4.D解法一圓與圓關于直線對稱，則圓的半徑相同,只需圓心關于直線對稱即可.設所求圓的圓心坐標為（a，b)，則b-0a-2×33=-1,b+02=33×a+22,解得解法二由于兩圓關于直線對稱，因此兩圓心的連線必與該直線垂直，則兩圓心連線的斜率為-3,備選項中只有選項D中的圓心與已知圓的圓心連線的斜率為-3,選D。5.C當MA，MB與圓相切時,|CM|=(5-1)2+(t-4)2=20，由題意,圓C上存在兩點使6.23依題意知，動圓C的半徑不小于12|AB|=5，即當圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑,此時點C是線段AB的中點,即點C(2，—1），點M的坐標為(1，—2），且|CM｜=(2-1)2+(-1+2)2=2<5，所以點M位于圓C內(nèi)，當點7。2π設圓C的圓心為C(a，b），半徑為r,則點C到x軸、y軸的距離分別為｜b|，｜a｜.由題設知圓C截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，圓C截x軸所得的弦長為2r,故r2=2b2,又圓C截y軸所得的弦長為2，所以r2=a2+1,從而得2b2—a2=1.又點C(a，b）到直線x—2y=0的距離d=|a-2b|5,所以5d2=(a-2b）2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2—2（a2+b2）=2b2—a2=1，當且僅當a=b,2b2-a2=1B組提升題8。C圓C：（x—1）2+y2=r2的圓心（1,0）到直線x—3y+3=0的距離d=|1-3當0〈r<1時,直線在圓外,圓上沒有點到直線的距離為1；當r=1時，直線在圓外,圓上只有1個點到直線的距離為1;當1<r〈2時,直線在圓外,此時圓上有2個點到直線的距離為1；當r=2時，直線與圓相切,此時圓上有2個點到直線的距離為1；當2〈r<3時，直線與圓相交，此時圓上有2個點到直線的距離為1。綜上，當0<r<3時，圓C上至多有2個點到直線x—3y+3=0的距離為1，由圓C上至多有2個點到直線x-3y+3=0的距離為1可得0〈r<3，故p是q的充要條件，故選C。9.A由題意知直線y=kx與直線2x+y+b=0互相垂直,所以k=12.又圓上兩點關于直線2x+y+b=0對稱，故直線2x+y+b=0過圓心(2,0）,所以b=—4,結(jié)合選項可知，點（12，-4）在圓（x-12）2+(y+5）10。A依題意得，圓心(0,0)到直線（m+1)x+(n+1）y—2=0的距離等于圓的半徑1，于是有2(m+1)2+(n+1)2=1，即(m+1）2+(n+1)2=4,設m+1=2cosθ，n+1=2sinθ，則m-n=（m+1)—（n+1)=2cosθ—2sinθ=22cos（θ+π4)≤22,當且僅當cos（11。D解法一因為圓x2+y2=4的圓心為O