初中數(shù)學常用公式

初中數(shù)學常用公式、定理、結(jié)論大全常用定理，結(jié)論

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85(3)等比性質(zhì)如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100圓是定點的距離等于定長的點的集合

101圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

102圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

103同圓或等圓的半徑相等

104到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

105和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

106到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

107到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

108定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

109垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

110推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

111推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

112圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性。

113定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

114推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

115定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

116推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

117推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

118推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

119定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

120、①直線L和⊙O相交d＜r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d＞r

121切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

122切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

123推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

124推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

125切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

126圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

127弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角（補充）

128推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

129相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等（補充）

130推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項（補充）

131切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（補充）

132推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（補充）

133如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

134①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)

135定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

136定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

137定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

138正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n

139定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

140圓外切正n邊形的面積Sn=pr／2，p表示正n邊形的周長，r表示內(nèi)切圓的半徑。

141正三角形面積√3a／4a表示邊長

142如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4

143弧長計算公式：L=n兀R／180

144扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

實用工具:常用數(shù)學公式

公式分類公式表達式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程無實根

拋物線方程：一般形式：,頂點坐標；頂點式：，頂點（h,k）交點式：，其中表示拋物線與橫軸交點的橫坐標；直棱柱側(cè)面積S=ch圓柱側(cè)面積S=ch=2h弧長公式l=，n是圓心角的度數(shù)，扇形面積公式s=柱體體積公式V=sh圓柱體V=初中數(shù)學常用公式定理1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負整數(shù))和分數(shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．2、絕對值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．丨3.14－π丨＝π－3.14．3、一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最末一個數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字．如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個有效數(shù)字6，0．4、把一個數(shù)寫成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．5、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．6、冪的運算性質(zhì)：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n．⑥a－n＝，特別：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．④a＜0時，＝－a．8、一元二次方程：對于方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．注意：當△≥0時，方程有實數(shù)根．②若方程有兩個實數(shù)根x1和x2，并且二次三項式ax2＋bx＋c可分解為a(x－x1)(x－x2)．③以a和b為根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0．9、一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線．當k＞0時，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當k＜0時，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)．特別：當b＝0時，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過原點．10、反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象叫做雙曲線．當k＞0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當k＜0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因此，它的增減性與一次函數(shù)相反．11、統(tǒng)計初步：（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體．從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（2）公式：設(shè)有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么：①平均數(shù)為：；②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；12、頻率與概率：（1）頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為各組頻率。（2）概率①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；13、銳角三角函數(shù)：①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角，則∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1．0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越?。谟嘟枪剑簊in(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．hlα③特殊角的三角函數(shù)值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，sin60o＝cos30o＝，tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝．hlα④斜坡的坡度：i＝＝．設(shè)坡角為α，則i＝tanα＝．14、平面直角坐標系中的有關(guān)知識：（1）對稱性：若直角坐標系內(nèi)一點P（a，b），則P關(guān)于x軸對稱的點為P1（a，－b），P關(guān)于y軸對稱的點為P2（－a，b），關(guān)于原點對稱的點為P3（－a，－b）.（2）坐標平移：若直角坐標系內(nèi)一點P（a，b）向左平移h個單位，坐標變?yōu)镻（a－h(huán)，b），向右平移h個單位，坐標變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個單位，坐標變?yōu)镻（a，b＋h），向下平移h個單位，坐標變?yōu)镻（a，b－h(huán)）.如：點A（2，－1）向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標變?yōu)锳（7，1）.15、二次函數(shù)的有關(guān)知識：1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為：9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點()拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）()拋物線與軸相切；③沒有交點()拋物線與軸相離.（3）平行于軸的直線與拋物線的交點同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.（4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（5）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，則1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180o（n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于360o2、平行線分線段成比例定理：（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。如圖：a∥b∥c，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點A、B、C、D、E、F，則有（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。如圖：△ABC中，DE∥BC，DE與AB、AC相交與點D、E，則有：＊3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，則有：（1）（2）（3）4、圓的有關(guān)性質(zhì)：（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì)．注：具備①，③時，弦不能是直徑．（2）兩條平行弦所夾的弧相等．（3）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．（4）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．（5）圓周角等于它所對的弧的度數(shù)的一半．（6）同弧或等弧所對的圓周角相等．（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．（8）90o的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o，直徑是最長的弦．（9）圓內(nèi)接四邊形的對角互補．5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中垂線的交點．常見結(jié)論：（1）Rt△ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑；（2）△ABC的周長為，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則＊6、弦切角定理及其推論：OPBCOPBCA（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則（注：弧AC）推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角（作用證明角相等）如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則＊7、相交弦定理、割線定理、切割線定理：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。如圖①，即：PA·PB=PC·PD割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖②，即：PA·PB=PC·PD切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖③，即：PC2=PA·PB ① ②③8、面積公式：①S正△＝×(邊長)2．②S平行四邊形＝底×高．③S菱形＝底×高＝×(對角線的積)，④S圓＝πR2．⑤l圓周長＝2πR．⑥弧長L＝．⑦⑧S圓柱側(cè)＝底面周長×高＝2πrh，S全面積＝S側(cè)＋S底＝2πrh＋2πr2⑨S圓錐側(cè)＝×底面周長×母線＝πrb，S全面積＝S側(cè)＋S底＝πrb＋πr2初中數(shù)學公式大全1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85(3)等比性質(zhì)如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和⊙O相交d＜r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d＞r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積√3a／4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4

144弧長計算公式：L=n兀R／180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2148平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2（還有一些，大家?guī)脱a充吧）

實用工具:常用數(shù)學公式

公式分類公式表達式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程沒有實根，有共軛復數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圓心坐標

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h代數(shù)部分第一章有理數(shù)及其運算1自然數(shù)及其運算11自然數(shù) 零的符號是“0”,它表示沒有數(shù)量或進位制上的空位 除0之外,任何自然數(shù)都是由若干個“1”組成的,“1”是數(shù)個數(shù)的單位,稱作自然數(shù)的單位 自然數(shù)的全體：0,1,2,3,4,…,n…,叫做自然數(shù)的集合,簡稱自然數(shù)集 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù);不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)12自然數(shù)的運算1加法:求和的運算叫做加法2減法:減法是加法的逆運算3乘法:同一個自然數(shù)的連加運算,就叫做乘法4除法:除法是乘法的逆運算,零不能做除數(shù)13自然數(shù)的運算性質(zhì) 用字母表示任一個自然數(shù),來說明對于任何自然數(shù)的運算普遍成立的運算規(guī)律和運算特征即它們的共同性質(zhì),并簡稱為運算通性或運算律1加法交換律:a+b=b+a2加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)3乘法交換律:a·b=b·a4乘法對加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c5加法結(jié)合律:(a·b)·c=a·(b·c)6自然數(shù)0和1的運算特征14乘法運算及指數(shù)運算律 求同一個數(shù)得連乘運算,叫做乘方運算 a^n中,a叫做底數(shù),自然數(shù)n叫做指數(shù),乘方的結(jié)果a^n叫做冪(讀作“a的n次冪”或“a的n次方”) 零的n次方總等于零,1的n次方總等于1 同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,只是指數(shù)相加指數(shù)運算律(一) 同底數(shù)冪相乘,指數(shù)相加,底數(shù)不變,即a^m·a^n=a^(m+n),指數(shù)運算律(二) 乘積的冪,等于各因數(shù)的冪的乘積,即(a·b)^n=a^n·b^n指數(shù)運算律(三) 冪的乘方,指數(shù)相乘,底數(shù)不變,即(a^m)^n=a^(mn)指數(shù)運算律(四) 同底數(shù)冪相除,指數(shù)相減,底數(shù)不變,即a^m/a^n=a^(m-n)其中m>n,a!=0 兩個同底數(shù)(不為0)、同指數(shù)的冪相除,其商等于1a^0=1(a!=0)分數(shù)的意義與特點 a/b·b=(a·1/b)·b=(b·1/b)·a=1·a=a a/b=am/bm(m!=0) a/b=(a/b)/(b/n)(n!=0) 分數(shù)有一個重要的基本性質(zhì)：一個分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為零的數(shù),分數(shù)的值不變22分數(shù)的運算及運算律加、減法 a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd乘法 a/b·c/d=ac/bd除法 (a/b)/(c/d)=(a/b)·(d/c)=ad/bc乘方 (a/b)^m=(a/b)·(a/b)…(a/b){m個括號}=(a^m)/(b^m)分數(shù)加法的交換律是a/b+c/d=c/d+a/b3有理數(shù)的意義31相反意義的量 在研究兩者的總效果時,可以互相抵消或一部分抵消32正數(shù)和負數(shù)、相反數(shù) 帶有正號的數(shù)叫做正數(shù)(“+”號也可省略不寫); 帶有負號的數(shù)叫做負數(shù) 負數(shù)與正數(shù)合并時,其結(jié)果可以相消或部分抵消 數(shù)零,既不是正數(shù),也不是負數(shù) 對任一個數(shù)a,總能有一個數(shù)-a,使它們可以相消,像這樣只是符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù) 零的相反數(shù),仍是零33有理數(shù)、數(shù)軸 整數(shù)包括正整數(shù)、負數(shù)和零 分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù) 整數(shù)和分數(shù),統(tǒng)稱為有理數(shù) 全體有理數(shù)組成的集合,稱為有理數(shù)集合 全體整數(shù)組成的集合,稱為整數(shù)集合 全體自然數(shù)組成自然數(shù)集合 有理數(shù)可以用一條直線上的點來表示 規(guī)定了原點、正方向和單位程度的直線叫做數(shù)軸 對于任一個有理數(shù),在數(shù)軸上都可以有一個確定的點表示它 正數(shù)和負數(shù),可表示“相反意義”的量,而數(shù)零是它們的界限 互為相反數(shù)的一對數(shù),在數(shù)軸上總是表示到原點距離相等的一對點零與它們的相反數(shù)都用原點表示34絕對值 一個有理數(shù)在數(shù)軸上所對應的點至原點的距離叫做絕對值 一個正數(shù)的絕對值是它本身; 一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù); 零的絕對值是零4有理數(shù)的運算41有理數(shù)的加法與減法加法 符號相同的兩個有理數(shù)相加,只要將兩數(shù)的絕對值相加,符號仍取原來的符號兩個符號相反的有理數(shù)相加,將較大的絕對值減去較小的絕對值,符號取絕對值較大的加數(shù)的符號減法 減法是加法的逆運算 減法法則是減去一個數(shù),等于加上這個有理數(shù)的相反數(shù) 在有理數(shù)范圍內(nèi),減法運算也是暢通無阻的42代數(shù)和 含有加減運算的式子,都能轉(zhuǎn)化成井含有加法運算的式子,我們稱它為“代數(shù)和” 去括號法則：去掉緊接正號后面的括號時,括號里的各項都不變;去掉緊接負號后面的括號時,括號里的各項都要變號添括號法則：緊接正號后面添加括號時,括號到括號里的各項都不變;緊接符號后面添加括號時,括到括號里的各項都要變號43有理數(shù)的乘法與除法乘法 異號(一負一正)兩有理數(shù)相乘,將絕對值相乘,符號取負 兩個負有理數(shù)相乘,將絕對值相乘,符號取正 乘法法則：將絕對值相乘,積的符號是：同號得正,異號得負 當負乘數(shù)有奇數(shù)個時,成積為負;當負乘數(shù)有偶數(shù)個時,成積為正; 只要有一個乘數(shù)為零,那么乘積必定是零除法 除法法則：將絕對值相除,商的符號是：同號相除得正,異號相除得負 零除以任一個非零有理數(shù),其商仍為零 零不能作除數(shù) 任一個非零有理數(shù)x,除1所得的商1/x,叫做這個數(shù)x的倒數(shù) 非零有理數(shù)x與1/x互為倒數(shù),其特征性質(zhì)是x·1/x=1 零沒有倒數(shù) 除以一個非零有理數(shù),就等于誠意這個數(shù)的倒數(shù)a/b=a·1/b=a/b44有理數(shù)的乘方 非零有理數(shù)的乘方,將其絕對值乘方,而結(jié)果的符號是：正數(shù)的任何次乘方都取正號;負數(shù)的奇數(shù)乘方取負號,負號的偶次乘方取正號 零的非零次都0;零的零次方?jīng)]有意義45有理數(shù)的混合運算 先乘方,再乘除,后加減;若有括號,則“先里后外”去括號,逐步計算46近似數(shù)和有效數(shù)字 與實際相符的數(shù),叫做準確數(shù) 與實際接近的數(shù),叫近似數(shù)一般地,一個近似數(shù)四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位這時,從左邊第一個非零數(shù)字起到精確到那一位數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字5有理數(shù)的基本性質(zhì)51有理數(shù)運算的“通性”1加、減、乘(乘方)、除運算的封閉性任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商(0不作除數(shù))都還是有理數(shù)這就是有理數(shù)四則運算的封閉性相比之下,在自然數(shù)范圍內(nèi),除法(除數(shù)不為0)、減法都不封閉;在整數(shù)范圍內(nèi),除法(除數(shù)不為0)也不封閉2加法、乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律(1)加法的交換律、結(jié)合律 對于有理數(shù)a、b、c來說 a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)(2)乘法的交換律、結(jié)合律 對于有理數(shù)a、b、c來說, a·b=b·a;(a·b)·c=a·(b·c)(3)乘法對于加法的分配律 對于有理數(shù)a、b、c來說 a·(b+c)=a·b+a·c3加、減法運算,乘、除運算的統(tǒng)一(1)加、減運算的統(tǒng)一 任意一個有理數(shù)a,總有它唯一的一個相反數(shù)-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理數(shù)減法,就可以轉(zhuǎn)化為加法,即a-b=a+(-b)(2)乘、除運算的統(tǒng)一 任意一非零有理數(shù)b,總有它唯一的一個倒數(shù)1/b,使得b·1/b=1/b·b=1因而,有理數(shù)除法,就可以轉(zhuǎn)化為乘法,即a/b=a·1/b(b!=0)4數(shù)0與1的特性 對于任意有理數(shù)a來說, a+0=0+a=a;a·0=0·a=0;a·1=1·a=a5乘方運算滿足指數(shù)運算律52有理數(shù)的大小順序 負數(shù)<零<正數(shù) a-b>0,a>b; a-b=0,a=b; a-b<0,a<b 負數(shù)小于0,0小于正數(shù),負數(shù)小于正數(shù); 兩個整數(shù)比較時,絕對值大的數(shù)較大; 兩個負數(shù)比較時,絕對值大的數(shù)反而較小 負數(shù)按絕對值由大到小排列,正數(shù)按絕對值由小到大排列 在數(shù)軸上,右邊的點所表示的有理數(shù)總是大于左邊的點所表示的有理數(shù)53等式與不等式的基本性質(zhì)1等式 用等號“=”聯(lián)結(jié)兩個算式的式子,叫做等式 無需任何條件,本來就是真實的等式,叫做恒等式 在某些條件下,才能成為真實的等式,叫做條件等式 根本不能成立的等式,叫矛盾等式 等式有以下基本性質(zhì)： 1)等式的兩邊可以對調(diào) 2)等式的關(guān)系可以傳遞 3)等式的兩邊,可以加上(或減去)同一個數(shù) 4)等式的兩邊,可以乘以(或除以非零的)同一個數(shù)2不等式 用不等號“>”或“<”表示的關(guān)系式,叫做不等式 1)如果A>B,那么B<A 2)如果A>B,B>C,那么A<C 3)如果A>B,那么A(+,-)m>B(+,-)m 4)如果A>B,且m>0,那么Am>Bm 5)如果A>B,且m<0,那么Am<Bm第二章一次方程(組)與一次不等式(組)1算術(shù)解法與代數(shù)解法11兩種解法的分析、對比12未知數(shù)和方程 用字母x、y、…等,表示所要求的數(shù)量,這些字母稱為“未知數(shù)” 用運算符號把數(shù)或表示書的字母聯(lián)結(jié)而成的式子,叫做代數(shù)式 含有未知數(shù)的等式,叫做方程 在一個方程中,所含未知數(shù),又成為元; 被“+”、“-”號隔開的每一部分稱為一項在一項中,數(shù)字或表示已知數(shù)的字母因數(shù)叫做未知數(shù)的系數(shù) 某一項所含有的未知數(shù)的指數(shù)和,成為這一項的次數(shù) 不含未知數(shù)的項,成為常數(shù)項當常數(shù)不為零時,它的次數(shù)是0,因此常數(shù)項也稱為零次項13方程的解與解方程的根據(jù) 未知數(shù)應取的值是指：把所列方程中的未知數(shù)換成這個值以后,就使方程變成一個恒等式 能是方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解,也叫做根 求方程解的過程,叫做解方程 解方程的根據(jù)是“運算通性”及“等式性質(zhì)” 可以“由表及里”地去掉括號,并將“含有相同未知數(shù)且含未知數(shù)的次數(shù)也相同”的各項結(jié)合起來,合并在一起——這叫做合并同類項 把方程一邊的任一項改變符號后,移到方程的另一邊,叫做移項簡單說就是“移項變號” 把方程兩邊各同除以未知數(shù)的系數(shù)(或同乘以系數(shù)的倒數(shù)),就得到未知數(shù)應取的值 綜上所述,得到解方程的方法、步驟：去括號、移項變號、合并同類項,使方程化為最簡形式ax=b(a!=0)、除以未知數(shù)的系數(shù),得出x=b/a(a!=0)2一元一次方程 只含有一個未知數(shù)并且次數(shù)是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a!=0,a、b是常數(shù))22一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步驟是： 1去分母(或化為整系數(shù)); 2去括號; 3移項變號; 4合并同類項,化為ax=-b(a!=0)的形式; 5方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù),得出方程的解x=-b/a3一次方程組31二元一次方程 含有兩個未知數(shù)的一次方程叫做二元一次方程 能夠使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)x、y的一組值,叫做這個二元一次方程的一個解 任何一個二元一次方程都有無限多個解,正因為如此,二元一次方程也被稱為不定方程32方程組與方程組的解 把幾個方程聯(lián)合在一起,組成一個整體,叫做聯(lián)立方程,也叫方程組 由幾個一次方程組并含有兩個未知數(shù)的方程組,成為二元一次方程組 能夠同時滿足方程組中每一個方程的未知數(shù)的數(shù)組組,叫做方程組的解33二元一次方程組的解法 求方程組的解的過程,叫做解方程組 設(shè)把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程求解,稱為消元法 叫做加減消元法,簡稱加減法 原方程組是矛盾方程組,無解34三元一次方程組及其解法 含有三個未知數(shù)的三元一次方程組4解應用問題5一元一次不等式(組)51一元一次方程式 在含有未知數(shù)的不等式中,如果只含有一個未知數(shù)、分母不含未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是一次,那么這樣的不等式,叫做一元一次不等式 能夠使不等式成立的未知數(shù)的值,稱為這個不等式的解,所有這樣的解的集合,簡稱為這個不等式的解集 求不等式的解集的過程,叫做解不等式52一元一次不等式的解法53一元一次不等式組 由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式不等式組中每個不等式的解的公共部分,叫做這個不等式組的解集54一元一次不等式組的解法 解一元一次不等式組的一般步驟是： 1先求出不等式組里各個不等式的解集; 2在求出這些不等式的解集的公共部分,就得到這個不等式組的解集第三章一元二次方程1平方與平方根11面積與平方 (1)任意兩個正數(shù)的和的平方,等于這兩個數(shù)的平方和 (2)任意兩個正數(shù)的差的平方,等于這兩個數(shù)的平方和,再減去這兩個數(shù)乘積的2倍 任意兩個有理數(shù)的和(或差)的平方,等于這兩個數(shù)的平方和,再加上(或減去)這兩個數(shù)乘積的2倍12平方根 1正數(shù)有兩個平方根,這兩個平方根互為相反數(shù); 2零只有一個平方根,它就是零本身; 3負數(shù)沒有平方根14實數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)2平方根的運算21算術(shù)平方根的性質(zhì) 性質(zhì)1一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個數(shù)本身 性質(zhì)2一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值22算術(shù)平方根的乘、除運算1算術(shù)平方根的乘法 sqrt(a)·sqrt(b)=sqrt(ab)(a>=0,b>=0)2算術(shù)平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)(a>=0,b>0) 通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去火把根號中的分母化去,叫做分母有理化 (1)被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)都小于2;(2)被開方數(shù)不含有字母我們把符合這兩個條件的平方根叫做最簡平方根23算術(shù)平方根的加、減運算 如果幾個平方根化成最簡平方根以后,被開方數(shù)相同,那么這幾個平方根就叫做同類平方根3一元二次方程及其解法31一元二次方程 只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程,叫做一元二次方程32特殊的一元二次方程的解法33一般的一元二次方程的解法——配方法 用配方法解一元二次方程的一般步驟是： 1化二次項系數(shù)為1用二次項系數(shù)去除方程兩邊,將方程化為x^2+px+q=0的形式 2移項把常數(shù)項移至方程右邊,將方程化為x^2+px=-q的形式 3配方方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)一半的平方”,是方程左邊成為含有未知數(shù)的完全平方形式,右邊是一個常數(shù) 4有平方根的定義,可知 (1)當p^2/4-q>0時,原方程有兩個實數(shù)根; (2)當p^2/4-q=0,原方程有兩個相等的實數(shù)根(二重根); (3)當p^2/4-q<0,原方程無實根34一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax^2+bx+c=0(a!=0)的求根公式: 當b^2-4ac>=0時,x1,2=(-b(+,-)sqrt(b^2-4ac))/2a35一元二次方程根的判別式 方程ax^2+bx+c=0(a!=0) 當delta=b^2-4ac>0時,有兩個不相等的實數(shù)根; 當delta=b^2-4ac=0時,有兩個相等的實數(shù)根; 當delta=b^2-4ac<0時,沒有實數(shù)根36一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 以兩個數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x^2-(x1+x2)x+x1·x2=04解應用問題第四章多項式的四則運算1單項式與多項式 僅含有一些數(shù)和字母的乘法(包括乘方)運算的式子叫做單項式單獨的一個數(shù)或字母也是單項式 單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式(或字母因數(shù))的數(shù)字系數(shù),簡稱系數(shù) 當一個單項式的系數(shù)是1或-1時,“1”通常省略不寫 一個單項式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù) 如果在幾個單項式中,不管它們的系數(shù)是不是相同,只要他們所含的字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同,那么,這幾個單項式就叫做同類單項式,簡稱同類項所有的常數(shù)都是同類項12多項式 有有限個單項式的代數(shù)和組成的式子,叫做多項式 多項式里每個單項式叫做多項式的項,不含字母的項,叫做常數(shù)項 單項式可以看作是多項式的特例 把同類單項式的系數(shù)相加或相減,而單項式中的字母的乘方指數(shù)不變 在多項式中,所含的不同未知數(shù)的個數(shù),稱做這個多項式的元數(shù)經(jīng)過合并同類項后,多項式所含單項式的個數(shù),稱為這個多項式的項數(shù)所含個單項式中最高次項的次數(shù),就稱為這個多項式的次數(shù)13多項式的值 任何一個多項式,就是一個用加、減、乘、乘方運算把已知數(shù)和未知數(shù)連接起來的式子14多項式的恒等 對于兩個一元多項式f(x)、g(x)來說,當未知數(shù)x同取任一個數(shù)值a時,如果它們所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,這兩個多項式就稱為是恒等的記為f(x)==g(x),或簡記為f(x)=g(x) 性質(zhì)1如果f(x)==g(x),那么,對于任一個數(shù)值a,都有f(a)=g(a) 性質(zhì)2如果f(x)==g(x),那么,這兩個多項式的個同類項系數(shù)就一定對應相等15一元多項式的根 一般地,能夠使多項式f(x)的值等于0的未知數(shù)x的值,叫做多項式f(x)的根2多項式的加、減法,乘法21多項式的加、減法22多項式的乘法 單項式相乘,用它們系數(shù)作為積的系數(shù),對于相同的字母因式,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式3多項式的乘法 多項式與多項式相乘,先用一個多項式等每一項乘以另一個多項式的各項,再把所得的積相加23常用乘法公式 公式I平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差 公式II完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 兩數(shù)(或兩式)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們積的2倍3單項式的除法兩個單項式相除,就是它們的系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除,而對于那些只在被除式里出現(xiàn)的字母,連同它們的指數(shù)一起作為商的因式,對于只在除式里出現(xiàn)的字母,連同它們的指數(shù)的相反數(shù)一起作為商的因式一個多項式處以一個單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加第五章因式分解1因式分解11因式 如果一個次數(shù)不低于一次的多項式因式,除這個多項式本身和非零常數(shù)外,再也沒有其他的因式,那么這個因式(即該多項式)就叫做質(zhì)因式12因式分解 把一個多項式寫成幾個質(zhì)因式乘積形式的變形過程叫做多項式的因式分解提取公因式法運用公式法分組分解法十字相乘法配方法求根公式法13用待定系數(shù)法分解因式2余式定理及其應用21余式定理 f(x)除以(x-a)的余式是常數(shù)f(a) 如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反過來,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0這個結(jié)論叫做因式定理22余式定理的應用23因式分解法解一元方程24根與系數(shù)的關(guān)系 如果x1,x2時二次三項式ax2+bx+c(a不等于)0的兩個根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a第六章分式與二次根式1分式與分式方程11指數(shù)的擴充12分式和分式的基本性質(zhì) 設(shè)f,g是一元或多元多項式,g的次數(shù)高于零次,則稱f,g之比f/g為分式 分式的基本性質(zhì)分數(shù)的分子與分母都乘以或除以同一個不等于0的數(shù),分數(shù)的值不變13分式的約分和通分分式的約分是將分子與分母的公因式約去,使分式化簡如果一個分式的分子與分母沒有一次或一次以上的公因式,且各系數(shù)沒有大于1的公約數(shù),則此分式成為既約分式既約分式也就是最簡分式對于分母不相同的幾個分式,將每個分式的分子與分母乘以適當?shù)姆橇愣囗検?使各分式的分母相同,而各分式的值保持不變,這種運算叫做通分14分式的運算15分式方程方程的兩遍都是有理式,這樣的方程成為有理方程如果有理方程中含有分式,則稱為分式方程2二次根式21根式在實數(shù)范圍內(nèi),如果n個x相乘等于a,n是大于1的整數(shù),則稱x為a的n次方根含有數(shù)字與變元的加,減,乘,除,乘方,開方運算,并一定含有變元開方運算的算式成為無理式22最簡二次根式與同類根式 具備下列條件的二次根式稱為最簡二次根式:(1)被開方式的每一個因式的指數(shù)都小于開方次數(shù)(2)根號內(nèi)不含有分母如果幾個二次根式化成最簡根式以后,被開方式相同,那么這幾個二次根式叫做同類根式23二次根式的運算24無理方程 根號里含有未知數(shù)的方程叫做無理方程第七章二元二次方程組1二元二次方程與二元二次方程組11二元二次方程含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程,稱為二元二次方程關(guān)于x,y的二元二次方程的一般形式是ax2+bxy+cy2+dy+ey+f=0其中ax2,bxy,cy2叫做方程的二次項,d,e叫做一次項,f叫做常數(shù)項12二元二次方程組2二元二次方程組的解法21第一種類型的二元二次方程組的解法當二元二次方程組的二元二次方程可分解成兩個一次方程的時候,我們就可以把分解得到的各方程與原方程組的另一個方程組組成兩個新的方程組來解這種解方程組的方法,稱為分解降次法22第二種類型的二元二次方程組的解法第八章函數(shù)與圖像1數(shù)軸11有向直線在科學技術(shù)和日常生活中,為了區(qū)別一條直線的兩個不同方向,可以規(guī)定其中一方向為正向,另一方向為負相規(guī)定了正方向的直線,叫做有向直線,讀作有向直線l12數(shù)軸我們把數(shù)軸上任意一點所對應的實數(shù)稱為點的坐標對于每一個坐標(實數(shù)),在數(shù)周上可以找到唯一的點與之對應這就是直線的坐標化數(shù)軸上任意一條有向線段的數(shù)量等于它的終點坐標與起點坐標的差任意一條有向線段的長度等于它兩個斷電坐標差的絕對值2平面直角坐標系21平面的直角坐標化在平面內(nèi)任取一點o為作為原點(基準點),過o引兩條互相垂直的,以o為公共原點的數(shù)軸,一般地,兩個數(shù)軸選取相同的單位長度這樣就構(gòu)成了一個平面直角坐標系x軸叫橫軸,y軸叫縱軸,它們都叫直角坐標系的坐標軸;公共原點o稱為直角坐標系的原點;我們把建立了直角坐標系的平面叫直角坐標平面簡稱坐標平面兩坐標軸把坐標平面分成四個部分,它們叫做四個象限22兩點間的距離23中點公式3函數(shù)31常量,變量和函數(shù)在某一過程中可以去不同數(shù)值的量,叫做變量在整個過程中保持統(tǒng)一數(shù)值的量或數(shù),叫做常量或常數(shù)一般地,設(shè)在變活過程中有兩個互相關(guān)聯(lián)的變量x,y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與之對應,那么就稱y是x的函數(shù),x叫做自變量函數(shù)的定義域?qū)▌t解析法就是用等式來表示一個變量是另一個變量的函數(shù),這個等式叫做函數(shù)的解析表達式(函數(shù)關(guān)系式)列表法圖像法3函數(shù)的值域一般的,當函數(shù)f(x)的自變量x去定義域D中的一個確定的值a,函數(shù)有唯一確定的對應值這個對應值,稱為x=a時的函數(shù)值,簡稱函數(shù)值,記作:f(a)32函數(shù)的圖像若把自變量x的一個值和函數(shù)y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標,可以在直角坐標平面上描出一個點(x,f(x))的集合構(gòu)成一個圖形F,而集F成為函數(shù)y=f(x)的圖像 知道函數(shù)的解析式,要畫函數(shù)的圖像,一般分為列表,描點,連線三個步驟4正比例函數(shù)41正比例函數(shù)一般地,函數(shù)y=kx(k是不等于零的常數(shù))叫做正比例函數(shù),其中常數(shù)k叫做變量y與x之間的比例函數(shù)確定了比例函數(shù)k,就可以確定一個正比例函數(shù)正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì):當k>0時,它的圖像經(jīng)過第一,三象限,y隨著x的值增大而增大;當k<0時,他的圖像經(jīng)過第二,四象限,y隨著x的增大而減小(2)隨著比例函數(shù)的絕對值的增加,函數(shù)圖像漸漸離開x軸而接近于y軸,因此,比例系數(shù)k和直線y=kx與x軸正方向所成的角有關(guān)據(jù)此,k叫做直線y=kx的斜率42反比例函數(shù) 一般地,函數(shù)y=k/x(k是不等于0的常數(shù))叫做反比例函數(shù) 反比例函數(shù)y=k/x有下列性質(zhì):當k>0時,他的圖像的兩個分支分別位于第一,三象限內(nèi),在每一個象限內(nèi),y隨x的值增大而減小;當k<0時,它的圖像的兩個分支分別位于第二、四象限內(nèi),在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大它的圖像的兩個分支都無限接近但永遠不能達到x軸和y軸5一次函數(shù)及其圖像51一次函數(shù)及其圖像如果k=0時,函數(shù)變形為y=b,無論x在其定義域內(nèi)取何值,y都有唯一確定的值b與之對應,這樣的函數(shù)我們稱它為常函數(shù) 直線y=kx+b與y軸交與點(0,b),b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距,簡稱縱截距52一次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=f(小),在a〈x〈b上,如果函數(shù)值隨著自變量x的值增加而增加,那么我們說函數(shù)f(x)在a〈x<b上市遞增函數(shù);如果函數(shù)值隨著自變量x的值增大而減小,那么我們說函數(shù)y=發(fā)(x)在a〈x〈b上是遞減函數(shù)如果分別畫出兩個二元一次方程所對應的一次函數(shù)圖像,交點的坐標就是這個方程組的解,這種求二元一次方程組的解法叫圖像法3一次函數(shù)的應用第九章二次函數(shù)1二次函數(shù)及其圖像11二次函數(shù)我們把函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a不等于0)叫做二次函數(shù)12函數(shù)y=ax2(a不等于0)的圖像和性質(zhì)用表里各組對應值作為點的坐標,進行描點,然后用光滑的曲線把它們順次聯(lián)結(jié)起來,就得到函數(shù)y=x2的圖象這個圖象叫做拋物線函數(shù)y=x2的圖像,以后簡稱為拋物線y=x2這條拋物線是關(guān)于y軸成對稱的我們把y軸叫做拋物線y=x2的對稱軸對稱軸和拋物線的焦點,叫做拋物線的頂點13函數(shù)y=ax2+bx+c(a不等于0)的圖像和性質(zhì)拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標是(-b/2a,4ac-b2/4a),對稱軸方程是x=-b/2a,當a〉0時,拋物線的開口向上,并且向上無限延伸;當a〈0時,拋物線的開口向下,并且向下無限延伸當a〉0時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x〈-b/2a時是遞減的,在x〉-b/2a時是遞增的;在x=-b/2a處取得y最小=4ac-b2/4a當a〈0時,二次函數(shù)y=ax