最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)（1） 兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商一定是互質(zhì)數(shù)。（2） 兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)，都是這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，（3） 兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a，b）x[a，b]=axb。6是12和18的最大公因數(shù)，記作（12，18）=6。36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12,18]=36。這樣，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再用最大公因數(shù)除兩個(gè)數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)A,B,①如果A是B的倍數(shù)，那么最大公因數(shù)就是B,最小公倍數(shù)是A;②如果AB互質(zhì)，那么最大公因數(shù)就是1,最小公倍數(shù)是A*B;歐幾里得用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。如果（a,b）來表示a和b的最大公因數(shù)。有定理：已知a,b,c為正整數(shù)，若a除以b余5則（a,b）=（b,c）。輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）定義：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法， 直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。步驟：用大數(shù)除以小數(shù)除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3，重復(fù)S1,直到余數(shù)為0時(shí)，較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例1:求15750與27216的最大公因數(shù)。解：?/27216=15750X1+11466/?(15750,27216)=(15750,11466)?/15750=11466X1+4284/?(15750,11466)=(11466,4284)?/11466=4284X2+2898/?(11466,4284)=(4284,2898)?/4284=2898X1+1386 /?(4284,2898)=(2898,1386)?/2898=1386X2+126 /?(2898,1386)=(1386,126)?/1386=126X11???(1386,126)=126所以(15750,27216)=126例2?求(1397,2413)2413=1397*1+1016,1397=1016*1+381,1016=381*2+254,381=254*1+127,254=127*2+0,所以(1397,2413)=127?！毒耪滤阈g(shù)》更相減損術(shù)找最大公因數(shù)《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，其中的 “更相減損術(shù)”可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損， 求其等也。以等數(shù)約之?！狈g成現(xiàn)代語言如下：第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，則用 2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止。則第一步中約掉的若干個(gè)2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公因數(shù)。其中所說的“等數(shù)”，就是最大公因數(shù)。求“等數(shù)”的辦法是“更相減損”法。例1、用更相減損術(shù)求98與63的最大公因數(shù)。解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公因數(shù)等于7。例2、用更相減損術(shù)求260和104的最大公因數(shù)。解：由于260和104均為偶數(shù)，首先用2約簡得到130和52,再用2約簡得到65和26。此時(shí)65是奇數(shù)而26不是奇數(shù)，故把65和26輾轉(zhuǎn)相減：65-26=3939-26=1326-13=13所以，260與104的最大公因數(shù)等于13乘以第一步中約掉的兩個(gè) 2,即13*2*2=52。短除法找最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)短除符號(hào)就是除號(hào)倒過來。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個(gè)數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后落下兩個(gè)數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商， 之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止 （兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1的兩個(gè)數(shù)叫互質(zhì)數(shù)，如8和9）。而在用短除計(jì)算多個(gè)數(shù)時(shí)，對其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒有這個(gè)因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每兩個(gè)都是互質(zhì)關(guān)系。求最大公因數(shù)便乘一邊，求最小公倍數(shù)便乘一圈。（公因數(shù)：如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的因數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公因數(shù)” ；公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)。）212 182212 182[1230503 615255\2525，大公約數(shù)2，大公約數(shù)2作6圖1Jj<3k5k2x1*5=300實(shí)際應(yīng)用例：有一個(gè)長方體的木頭，長3.25米，寬1.75米，厚0.75米。如果把這塊木頭截成許多相等的小立方體，并使每個(gè)小立方體盡可能大，小立方體的棱長及個(gè)數(shù)各是多少？解：根據(jù)題意，小立方體一條棱長應(yīng)是長方體長、寬、厚各數(shù)的最大公因數(shù)。即:（325、175、75）=25（厘米）因?yàn)?25-25=13; 175-25=7; 75-25=3所以13X7X3=273（個(gè)）或（325X175X75）-（25X25X25）=273例：有一個(gè)兩位數(shù)，除50余2,除63余3,除73余1。求這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：這個(gè)兩位數(shù)除50余2,則用他除48（52-2）恰好整除。也就是說，這個(gè)兩位數(shù)是48的因數(shù)。同理，這個(gè)兩位數(shù)也是60、72的因數(shù)。所以，這個(gè)兩位數(shù)只可能是48、60、72的公因數(shù)1、2、3、4、6、12,而滿足條件的只有公因數(shù)12,即（48、60、72）=12。練習(xí)新年聯(lián)歡會(huì)上，張老師把42個(gè)打氣球和30個(gè)小氣球平均分給幾個(gè)小組，正好分完。最多可以分給幾個(gè)小組？每個(gè)小組分的大、小氣球各多少個(gè)？雨辰小學(xué)五年二班有54人，五年三班有63人，兩班決定分小組去博物館參觀，兩班每組人數(shù)相等并且沒有剩余每小組最多有多少人？每個(gè)班可以分多少個(gè)小組？同學(xué)們買了24朵百合花的18朵玫瑰花送個(gè)老師，兩種花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵數(shù)相同，最多扎幾束？每束幾朵百合花，幾朵玫瑰花？明明有一張長84厘米，寬60厘米的長方形紙板，剪成邊長相等的小正方形，邊長最長是多少？可以剪幾塊？解答公因數(shù)或公倍數(shù)問題的關(guān)鍵是：從因數(shù)和倍數(shù)的意義入手來分析，把原題歸結(jié)為求幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)或公倍數(shù)問題。例：有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米。現(xiàn)在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？分析：截成的小段一定是18、24、30的最大公因數(shù)。先求這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再求一共可以截成多少段。（18、24、30）=6 （18+24+30-6=12段例：一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？能

截多少個(gè)正方形？分析：要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說，正方形的邊長要盡可能大，截完后又正好沒有剩余，這樣正方形邊長一定是 60和36的最大公因數(shù)。（36（36、60）=12（60-12）X（36-12）=15個(gè)例：用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里至少要有幾朵花？分析：要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多，那么做成花束的個(gè)數(shù)一定是96和72的公因數(shù)，又要求花束的個(gè)數(shù)要最多，所以花束的個(gè)數(shù)應(yīng)是96和72的最大公因數(shù)。最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花?（96、72最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花?（96、72）=2496-24=4(3)每個(gè)花束里有幾朵白玫瑰花?朵72-24=3(4)每個(gè)花束里最少有幾朵花?朵4+3 =7朵練習(xí)1、 有一堆西瓜與一堆木瓜,分別為24個(gè)與36個(gè),將其各分成若干小堆，各小堆的個(gè)數(shù)要相等，則每小堆最多幾個(gè)？這時(shí)候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆？2、 甲、乙兩隊(duì)學(xué)生，甲隊(duì)有121人，乙隊(duì)有143人，各分成若干組，各組人數(shù)要相等,則每組最多有幾人？這時(shí)候甲隊(duì)可分成多少組？ 乙隊(duì)可分成多少組？3、 今有梨320個(gè)，糖果240個(gè)，餅干200個(gè)，將這些東西分成相同的禮品包送給兒童,但包數(shù)要最多，則每包有多少個(gè)梨？有多少個(gè)糖果？有多少個(gè)餅干？4、 有一張長6公分，寬4公分的長方形色紙，將它剪成最大的正方形而不浪費(fèi)紙，此正方形邊長為幾公分？例：公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每隔5分鐘發(fā)車一次，第二路車每隔10分鐘發(fā)車一次，第三路車每隔6分鐘發(fā)車一次。三路汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后，最少過多少分鐘再同時(shí)發(fā)車？分析：這個(gè)時(shí)間一定是5的倍數(shù)、10的倍數(shù)、6的倍數(shù)，也就是說是5、10和6的公倍數(shù)，“最少多少時(shí)間”，那么，一定是5、10、6的最小公倍數(shù)。[5、10、6]=30練習(xí)1、 利用每一小塊長6公分，寬4公分的長方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案問：拼成的正方形的邊長可能是多少？2、王伯伯有三個(gè)小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，這次10月1日一起回家，則下一次是幾月幾日一起回家？3、 美美客運(yùn)有A,B兩種車,A車每45分發(fā)車一次,B車每1小時(shí)發(fā)車一次,兩車同時(shí)由上午6點(diǎn)發(fā)車，下一次同時(shí)發(fā)車是什麼時(shí)候？例：某廠加工一種零件要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成 3個(gè)；第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成12個(gè)；第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè)。要使流水線能正常生產(chǎn)，各道工序每小時(shí)至少安排幾個(gè)工人最合理？分析：安排每道工序人力時(shí)，應(yīng)使每道工序在相同的時(shí)間內(nèi)完成同樣多的零件個(gè)數(shù)。這個(gè)零件個(gè)數(shù)一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。 至少安排的人數(shù)，一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。在相同的時(shí)間內(nèi)，每道工序完成相等的零件個(gè)數(shù)至少是多少？ [3、12、5]=60第一道工序應(yīng)安排多少人？60-3=20人第二道工序應(yīng)安排多少人？60-12=5人第三道工序應(yīng)安排多少人？60-5=12人例：有一批機(jī)器零件。每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)；每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)；每15個(gè)放一盒，就有7盒各多2個(gè)。這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個(gè)？分析：每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)，就是說，這批零件的個(gè)數(shù)被12除少1個(gè)；每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)，就是說，這批零件的個(gè)數(shù)被18除少1;每15個(gè)放一盒，就有7盒各多2個(gè)，多了2X7=14個(gè)，應(yīng)是少1個(gè)。也就是說，這批零件的個(gè)數(shù)被15除也少1個(gè)。如果這批零件的個(gè)數(shù)增加1,恰好是12、18和15的公倍數(shù)。剛好能12個(gè)、18個(gè)或15個(gè)放一盒的零件最少是多少個(gè)？]12、18、15]=180在300至400之間的180的倍數(shù)是多少？ 180X2=360這批零件共有多少個(gè)？ 360-1 =359個(gè)例：有一批水果，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)。如果每24個(gè)裝一箱，最后一箱差2個(gè)；如果每28個(gè)裝一箱，最后一箱還差2個(gè)；如果每32個(gè)裝一箱，最后一箱只有30個(gè)。這批水果共有多少個(gè)？分析：根據(jù)題意可知，這批水果再增加2個(gè)后，每24個(gè)裝一箱，每28個(gè)裝一箱或每32個(gè)裝一箱都能裝整箱數(shù)，也就是說，只要把這批水果增加2個(gè)，就正好是24、28和32的公倍數(shù)。我們可以先求出24、28和32的最小公倍數(shù)672,再根據(jù)“總數(shù)在1000以內(nèi)”確定水果總數(shù)。[24，28，32]=672672-2=670（個(gè)）即：這批水果共有670個(gè)。練習(xí)一所學(xué)校的同學(xué)排隊(duì)做操，排成14行、16行、18行都正好能成長方形，這所學(xué)校至少有多少人？有一批乒乓球，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)。4個(gè)裝一袋、5個(gè)裝一袋或6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)裝一袋最后都剩下一個(gè)。這批乒乓球到底有多少個(gè)？食堂買回一些油，用甲種桶裝最后一桶少3千克，用乙種桶裝最后一桶只裝了半桶油，用丙種桶裝最后一桶少7千克。如果甲種桶每桶能裝8千克，乙種桶每桶能裝10千克，丙種桶每桶能裝12千克，那么，食堂至少買回多少千克油？例一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150至200顆之間，問共有多少顆?分析：由已知條件可知：這盒棋子只要增加1顆，就正好是4、615的公倍數(shù)。換句話說，這盒棋子比4、6、15的最小公倍數(shù)少1。我們可以先求4、6、15的最小公倍數(shù)，然后再根據(jù)“這盒棋子在150至200顆之間”這一條件找出這盒棋子數(shù)。4、615的最小公倍數(shù)是60。60X3-1=179顆，即這盒棋子共179顆。練習(xí)有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。這批樹苗數(shù)在150至200之間，求共有多少棵樹苗。五（1）班的五十多位同學(xué)去大掃除，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人。請你算一算，五（1）班有多少位同學(xué)？3，有一批水果，每箱放30個(gè)則多20個(gè)，每箱放35個(gè)則少10個(gè)。這批水果至少有多少個(gè)？例：公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動(dòng)？分析：不需要移動(dòng)的電線桿，一定既是45的倍數(shù)又是60的倍數(shù)。要先求45和60的最小公倍數(shù)和這條公路的全長，再求可以有幾根不需要移動(dòng)。從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動(dòng)？ [45、60]=180（米）公路全長多少米？ 45X（25-1）=1080（米）可以有幾根不需要移動(dòng)？ 1080-180+1=7（根）例：從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動(dòng)外，中途還有多少根不必移動(dòng)？分析：從學(xué)校到少年宮的這段路長50X（37-1）=1800米，從路的一端開始，是50和60的公倍數(shù)處的那一根就不必移動(dòng)。因?yàn)?0和60的最小公倍數(shù)是300，所以，從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動(dòng)。1800-300=6，就是6根不必移動(dòng)。去掉最后一根，中途共有5根不必移動(dòng)。插一排紅旗共26面。原來每兩面之間的距離是4米，現(xiàn)在改為5米。如果起點(diǎn)一面不移動(dòng)，還可以有幾面不移動(dòng)？一行小樹苗，從第一棵到最后一棵的距離是90米。原來每隔2米植一棵樹，由于小樹長大了，必須改為每隔5米植一棵。如果兩端不算，中間有幾棵不必移動(dòng)？學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，在400米環(huán)形跑道邊每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后來增加了一些彩旗，就把彩旗間隔縮短了，起點(diǎn)彩旗不動(dòng)，重新插完后發(fā)現(xiàn)一共有5面彩旗沒動(dòng)。問：現(xiàn)在彩旗的間隔是多少米？例：甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲 3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會(huì)，問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)？分析：從第一次三人在圖書館相會(huì)到下一次再次相會(huì)， 相隔的天數(shù)應(yīng)該是3、5的最小公倍數(shù)。因?yàn)?、4、5的最小公倍數(shù)是60,所以至少再過60天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)。練習(xí)1、 1路、2路和5路車都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？2、 甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。問：再過多少時(shí)間三人第二次同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)？3、 五年級(jí)一班的同學(xué)每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學(xué)每6天去看一次，三班的同學(xué)每兩周去看一次。如果“六一”兒童節(jié)三個(gè)班的同學(xué)同一天去看張爺爺，那么，再過多少天他們?nèi)齻€(gè)班的同學(xué)再次同一天去張爺爺家？例：一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？分析：把若干個(gè)長方體疊成正方體，它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的公倍數(shù)。現(xiàn)在要求長方體磚塊最少，它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的最小公倍數(shù)，求出正方體棱長后，再根據(jù)正方體與長方體體積之間的關(guān)系就能求出長方體磚的塊數(shù)。練習(xí)1、 用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個(gè)正方體，至少需要用這樣的長方體多少塊？2、 有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個(gè)盡可能大的正方體，這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？3、一個(gè)長方體長2.7米、寬1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許有剩余，這些小正方體的棱長最多是多少分米？例：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點(diǎn)同時(shí)同方向跑步，經(jīng)過多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？分析：甲跑一圈需要600-3=200秒，乙跑一圈需要600-4=150秒，丙跑一圈需要600-2=300秒。要使三人再次從出發(fā)點(diǎn)一齊出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間一定是200、150和300的最小公倍數(shù)。200、150和300的最小公倍數(shù)是600，所以，經(jīng)過600秒后三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。練習(xí)1、有一條長400米的環(huán)形跑道，甲、乙二人同時(shí)同地出發(fā)，反向而行， 1分鐘后第一次相遇；若二人同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，則 10分鐘后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。2、 一環(huán)形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少經(jīng)過幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)？3、甲、乙、丙三人在一條長240米的跑道上來回跑步，甲每秒跑 4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同時(shí)從一端出發(fā)，再經(jīng)過多少時(shí)間三人又從此處同時(shí)出發(fā)？例：有一個(gè)自然數(shù)，被10除余7,被7除余4,被4除余1。這個(gè)自然數(shù)最小是多少？分析：根據(jù)已知條件可知，假如把這個(gè)自然數(shù)增加3,所得的數(shù)就正好能被10、7和4這三個(gè)數(shù)整除，即10、7和4的最小公倍數(shù)，然后再減去3就能得到所求的數(shù)了。所以這個(gè)自然數(shù)最小是137。練習(xí)1、 學(xué)校六年級(jí)有若干個(gè)同學(xué)排隊(duì)做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級(jí)最少多少人？2、 一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，但被11除余1。這個(gè)數(shù)最小是多少？3、 一袋糖，平均分給15個(gè)小朋友或20個(gè)小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖至少有多少塊？例：在一根長木棍上用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記，分別將木棍平均分成了 10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析因?yàn)?0、12和15的最小公倍數(shù)是60,所以，設(shè)這根木棍長60厘米。三種顏色的標(biāo)記分別把木棍分成的小段長是60十10=厘米，60-12=5厘米，60-15=4厘米。因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅黃兩種標(biāo)記重復(fù)的地方有60-30-1=1處，另兩種情況分別有2處和4處。因此，木棍總共被鋸成(10+12+15-2)-1-2-4=28段。練習(xí)用紅筆在一根木棍上做了三次記號(hào)，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些紅記號(hào)把木棍鋸開，一共鋸成多少小段？父子二人在雪地散步，父親在前，每步80厘米，兒子在后，每步60厘米。在120米內(nèi)一共留下多少個(gè)腳?。吭?6米長的距離內(nèi)掛紅、綠、黃三種顏色的氣球，綠氣球每隔 6米掛一個(gè)，黃氣球每隔4米掛一個(gè)，。如果綠氣球和黃氣球重疊的地方就改掛一個(gè)紅氣球，那么，除兩端外，中間掛有多少個(gè)紅氣球？五(1)班學(xué)生參加跳繩比賽，進(jìn)行分組。按每組6人或每組8人，都能恰好分成若干組，參加跳繩比賽的至少有多少人？解答：[6,8]=24 所以參加跳繩比賽的學(xué)生至少有24人。把47根跳繩和36個(gè)毽子分別平均分給一個(gè)組的同學(xué)，結(jié)果跳繩剩2根，毽子剩1個(gè)，你知道這個(gè)組最多有幾名同學(xué)嗎？解答：（45,35）=5 所以這個(gè)組最多有5名同學(xué)。一條72米長的路，原來從一端起，每隔9米有一盞路燈?，F(xiàn)在重新安裝，要從一端起每隔6米裝一盞。為節(jié)省施工成本，有些位置的路燈是不需要重新安裝的。不需要重新安裝的路燈至少有多少盞？解答：[6，9]=18； 0 ，18、36、54、72答：不需要重新安裝的燈至少有5盞。五（1）班學(xué)生數(shù)不超過50人，小組合作學(xué)習(xí)時(shí)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容不同可以分為每組3人，每組4人，每組6人，每組8人，各種分法都剛好分完。這個(gè)班可能有學(xué)生（24）人或（48）人。解答：[3,4,6,8]=24 所以這個(gè)班可能有學(xué)生24或48人。練習(xí)1、 24的因數(shù)共有多少個(gè)？36的因數(shù)共有多少個(gè)？24和36的公因數(shù)是哪幾個(gè)？其中最大的一個(gè)是？答：24的因數(shù)共有8個(gè)，36的因數(shù)共有9個(gè)，24和36的公因數(shù)是1、2、3、4、&12。其中最大的一個(gè)是12。2、 一個(gè)長方形的面積是323平方厘米，這個(gè)長方形的長和寬各是多少厘米？（長和寬都是素?cái)?shù)）答：長方形的長是19厘米，寬是17厘米。3、 兩個(gè)自然數(shù)的乘積是420,它們的最大公因數(shù)是12,求它們的最小公倍數(shù)。答：它們的最小公倍數(shù)是35。4、 兩個(gè)自然數(shù)相乘的積是960,它們的最大公因數(shù)是8,這兩個(gè)數(shù)各是多少？答：這兩個(gè)數(shù)分別是24和40。5、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是126,最大公因數(shù)是6,已知兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是18,求另一個(gè)數(shù)。答：另一個(gè)數(shù)是42o6有一種長51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？答：至少需要221塊水泥板。7、 有三根鐵絲長度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根無剩余，每段最長多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最長30厘米，一共可以截成12段。8、 有兩個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是48，它們的最大公因數(shù)是6,求這兩個(gè)數(shù)。答：這兩個(gè)數(shù)是42和6或18和30o9、 同學(xué)們參加野餐活動(dòng)準(zhǔn)備了若干個(gè)碗，如果每人分得3個(gè)碗或4個(gè)碗或5個(gè)碗，都正好分完，這些碗最少有多少個(gè)？答：這些碗最少有60個(gè)。10、 有aB兩個(gè)兩位數(shù)，它們的最大公因數(shù)是6,最小公倍數(shù)是90，則A、B兩個(gè)自然數(shù)的和是多少？答：A、B兩個(gè)自然數(shù)的和是48o例：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？分析：根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積”可先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再把這個(gè)積分解成兩個(gè)數(shù)， 且這兩個(gè)數(shù)一定是最大公因數(shù)的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)除以最大公因數(shù)得到的商互素 。根據(jù)題*意:當(dāng)a1b1分別是1和6時(shí)，a、b分別為15X仁15,15X6=90;當(dāng)a1b1分別是2和3時(shí)，a、b分別為15X2=30,15X3=45。所以，這兩個(gè)數(shù)是15和90或者30和45o練習(xí)1、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？12,最小公倍數(shù)是60,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？2、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是一個(gè)數(shù)是多少？60,最小公倍數(shù)是720,其中一個(gè)數(shù)是180,另例：兩個(gè)自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個(gè)數(shù)各是多少？分析：我們把這兩個(gè)自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因?yàn)榧住⒁覂蓴?shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是360*120=3。又因?yàn)椋?3=a,乙*3=b）中，3Xaxb=120,a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。當(dāng)a和b是1和40時(shí)，所求的數(shù)是3X仁3和3X40=120;當(dāng)a和b是5和8時(shí)，所求的數(shù)是3X5=15和3X8=24。練習(xí)1、 求36和24的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。2、 已知兩個(gè)數(shù)的積是3072,最大公因數(shù)是16,求這兩個(gè)數(shù)。3、已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是13,最小公倍數(shù)是78，求這兩個(gè)數(shù)的差。例：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是252,其中一個(gè)數(shù)是28，另一個(gè)數(shù)是多少？分析：根據(jù)“兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積?！毕惹蟪?與252的乘積，再用積去除以28即可。4X252*28=1008-28=36某農(nóng)場周圍360公尺，原本每隔10公尺立一根木樁，后來改為12公尺立一根木樁，則不必移動(dòng)的木樁有幾根？三項(xiàng)國小有男生540人，女生612人，校方規(guī)定每輛游覽車所坐的人要一樣多，且車輛盡量減少，則共需要多少輛游覽車？一籃芒果，6顆一數(shù)剩下4顆，10顆一數(shù)剩下8顆，15顆一數(shù)剩下13顆，這籃芒果最少有多少顆？一長方形池塘長95公尺，寬85公尺，甲乙丙三人同時(shí)同地同方向沿著池塘邊競走，每分鐘甲走45公尺、乙走60公尺、丙走40公尺，經(jīng)過幾分鐘后三人又在起點(diǎn)相遇？大明和珍珍在7月15日兩人同一天放假，已知大明每工作5天放假1天，珍珍每工作7天放假1天，下次兩人同一天放假是幾月幾日？（提示：每工作7天放假一天表示每6天放假一天）在下列兩行數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)的第15個(gè)數(shù)是多少？第一列:1、7、13、19、…、997一隊(duì)童子軍人數(shù)在400~500人之間，每16人、20人或30人一組，都多出15人，問這隊(duì)童子軍有幾人？清靜農(nóng)場里有4百多只羊，14只一數(shù)或20只一數(shù)都剛好剩5只，清靜農(nóng)場里有幾只羊？一盒巧克力約有700~800粒，每18粒、24?；?0粒裝1袋都不足7粒，求這盒巧克力有幾粒？10.90除以某數(shù)余2,50除以某數(shù)也是余2,請問某數(shù)最大是多少？11.10~20中與30互質(zhì)的數(shù)，總和是多少？答案[10，12]最小公倍數(shù)二60360-60=6不必移動(dòng)的木樁有6根(540，612)最大公因數(shù)二36540-36=15; 612-36=17每輛游覽車坐36人，男生的專車有15輛，女生的專車有17輛6顆一數(shù)剩下4顆，用6除剩下4顆，即用6除不足2顆10顆一數(shù)剩下8顆，用10除剩下8顆，即用10除不足2顆15顆一數(shù)剩下13顆，用15除剩下13顆，即用15除不足2顆[6，10，15]最大公倍數(shù)=30一籃芒果的數(shù)量是30的倍數(shù)減2,所以最小有30X1—2=28顆長方形池塘長95公尺，寬85公尺，周長=2X(95+85)=360公尺甲走一圈要360-45=8分鐘乙走一圈要360*60=6分鐘丙走一圈要360*40=9分鐘[8，6,9]=72要72分鐘后三人再起點(diǎn)相遇[5，7]的最小公倍數(shù)=357月15日+35日=8月19日6.第一列：1、7、13、19、…、997,后數(shù)和前數(shù)差6第二列：1、10、19、28、…、1000,后數(shù)和前數(shù)差9[6,9]的最小公倍數(shù)=18同時(shí)出現(xiàn)的第1個(gè)數(shù)是1,第二個(gè)數(shù)是19,第三個(gè)數(shù)是37,……第15個(gè)數(shù)是1+18X14=253每16人、20人或30人一組，[16,20,30]的最小公倍數(shù)=240童子軍人數(shù)二240的倍數(shù)再加15500-240=2.08240X2+15=495童子軍有495人[14,20]最小公倍數(shù)=140羊的數(shù)量=140的倍數(shù)再加5400-140=2.86； 140X3+5=425清靜農(nóng)場里有425只羊[18,24,30]最小公倍數(shù)=360巧克力的數(shù)量=360的倍數(shù)再減7800-360=2.22； 360X2-7=713巧克力有713粒90—2=88;50—2=48[88,48]=最小公倍數(shù)8某數(shù)是810~20中與30互質(zhì)的數(shù)有11、13、17、1911+13+17+19=60練習(xí)有餅干30塊，橙36個(gè)，分會(huì)合若干個(gè)兒童，每人所得的相等，最多可分會(huì)合兄童多少人？A6B5C8D180上米50公斤，中米60公斤，下米90公斤，分別裝成重量相等的若干袋，各豐重米恰好裝完，每袋的重量最多是多少公斤？A20B10C30D180用某數(shù)去除218,170,290都余2,冏某敷最大是多少？A26B28C24D22一侗畏方形飆片畏18厘米，陶24厘米，要剪成舄面稹相等的小正方形，每侗正方形的面稹是多少平方厘米？A6B36C144D432客廳長600厘米，寬690厘米，如果金甫上正方形瓷磚，每塊瓷磚的遑長最大是多少厘米？A100B120C60D30把一侗畏24厘米，|^36厘米，高16厘米的畏方醴，分割成大小相同的小正方醴，冏共可分割成多少彳固？A216B108C432D864最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用題1、 有一些糖果，分給8個(gè)人或分給10個(gè)人，正好分完，這些糖果最少有多少粒？解：【8，10]=402、 有一包糖，不論分給8個(gè)人，還是分給10個(gè)人，都能正好分完。這包糖至少有多少塊？解：【8，10]=40（人）3、一個(gè)數(shù)被2除余1,被3除余2,被4除余4,被6除余5,此數(shù)最小是幾？解：【2,3,4,6]=1212-仁114、 五年級(jí)學(xué)生參加植樹活動(dòng)，人數(shù)在30~50之間。如果分成3人一組，4人一組，6人一組或者8人一組，都恰好分完。五年級(jí)參加植樹活動(dòng)的學(xué)生有多少人？解：【3,4,6,8]=24（人）24X2=48（人）5、 利用每一小塊長6公分，寬4公分的長方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案。問：拼成的正方形的面積最小是多少？解：【6,4】=12（公分）12X12=144（CM）&有一堆蘋果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都會(huì)多出3千克，這堆蘋果至少有多少千克？解：【8，9，10】=360360+3=363kg7、 學(xué)校合唱隊(duì)排練時(shí)，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱隊(duì)至少有多少人？解：【7,8】=56（人）56-2=54 （人）8、 把37支鋼筆和38本書，平均獎(jiǎng)給幾個(gè)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，結(jié)果鋼筆多出一支，書還缺2本，最多有幾個(gè)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的同學(xué)？解：37-仁36（本）38+2=40 （本）（36，40）=4（人）9、 有24個(gè)蘋果，32個(gè)梨，要分裝在盤子里，每盤的蘋果和梨的個(gè)數(shù)相同，最多可以裝多少盤？每個(gè)盤子里蘋果和梨各多少？解：（24,32）=8（盤）24-8=3（個(gè)）32-8=4（個(gè)）10、 阜沙市場是20路和21路汽車的起點(diǎn)站。20路汽車每3分鐘發(fā)車一次，21路汽車每5分鐘發(fā)車一次。這兩路汽車同時(shí)發(fā)車以后，至少再過多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？解：【3,5】=15（分鐘）11、 中心小學(xué)五年級(jí)學(xué)生，分為6人一組，8人一組或9人一組排隊(duì)做早操，都剛好分完。這個(gè)年級(jí)至少有學(xué)生多少人？解：【6，8，9】=72（人）12、 有一盤水果，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，4個(gè)4個(gè)數(shù)余3,5個(gè)5個(gè)數(shù)余4個(gè)，問個(gè)盤子里最少有多少個(gè)水果？解：【3，4，5】=6060-仁5913、 有一個(gè)電子表，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴，中午12點(diǎn)整，電子表既響鈴又亮燈，請問下一次既響鈴又亮燈的是幾點(diǎn)鐘？解：【9,60】=180（分鐘）80-60=3（小時(shí)）二下午3點(diǎn)14、 數(shù)學(xué)興趣小組有24個(gè)男同學(xué)，20個(gè)女同學(xué)，現(xiàn)要分成小組，每個(gè)小組男、女同學(xué)人數(shù)分別相同，最多可以分成多少個(gè)小組？每組至少有多少個(gè)男同學(xué)？多少個(gè)女同學(xué)？解：（24,20）=4（組）24 -4=8（個(gè)）20 -4=5（個(gè)）15、 有38支鉛筆和41本練習(xí)本平均獎(jiǎng)給若干個(gè)好少年，結(jié)果鉛筆多出3支，練習(xí)本還缺1本。得獎(jiǎng)的好少年有多少人？解：38-3=35（本） 41+1=42 （本）(35,42)=7(人)16、 兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)為140,最大公因數(shù)為4,且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)解：140-4=3535=5X74X5=204X7=3517、 已知A與B的最大公因數(shù)為6,最小公倍數(shù)為84,且A=42，求B?解：AB=6X84=504B=ABAA=504-42=1218、 兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)為12,最小公倍數(shù)為180,且這兩個(gè)數(shù)不是倍數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)？解：180-12=1515=3X512X3=3612X5=6019、 有一個(gè)數(shù)是4、5、6的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是多少？解：【4,5,6】=6020、 甲、乙、丙三人早晨在體育場跑步，甲跑完一圈要3分鐘，乙跑完一圈要7分鐘，丙跑完一圈要6分鐘，三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間三人再次在起點(diǎn)處相遇？解：【3,6,7】=42（分鐘）21、美美客運(yùn)有aB兩種車，A車每45分發(fā)車一次，B車每1小時(shí)發(fā)車一次，兩車同時(shí)由上午6點(diǎn)發(fā)車，下一次同時(shí)發(fā)車是什么時(shí)候？解：【45,60】=180（分鐘）=2小時(shí)=30分鐘6點(diǎn)+2小時(shí)30分鐘=8點(diǎn)3022、上一次9月18號(hào)五年級(jí)一班去劃船，他們算一下，如果增加一條船，正好每船坐6個(gè)，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個(gè)班有多少人？解：【6,9】=18（人）18X2=36（人）23、有一塊長方形紙板，長24厘米，寬15厘米，將這塊紙板裁成同樣大小的正方形，不能有剩余，每塊小正方形的邊長是最長是多少？可以裁成多少塊？解：⑴（24，15）=3cm（2） 24-3=8cm15-3=58X5=40（塊）24、 一張長方形紙，長96厘米，寬60厘米，如果把它裁成同樣大小且邊長為整厘米的最大正方形，且保持紙張沒有剩余，每個(gè)正方形的邊長是幾厘米？每個(gè)正方形的面積是多少？可以裁多少個(gè)這樣的正方形？解：（1） （96，60）=12cm（2）12X2=144cm2（3） 96寧12=8cm60寧12=5cm 8X5=40cm25、 甲乙兩數(shù)公因數(shù)為15,720為公倍數(shù)為，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，它們的差最小。解：720-15=4848=2X2X3X415X2X3=9015X2X5=15026、 已知A和B的最大公因數(shù)是31,且AXB=5766，求A和B。解：最小公倍數(shù)：5766-31=186186-31=6（兩種答案）27、 五（1）班和五（2）班兩個(gè)班的同學(xué)去野炊，吃飯時(shí)，他們3人一個(gè)菜碗，4人一個(gè)湯碗，他們共用了28個(gè)碗，這兩個(gè)班參加野炊的同學(xué)共有多少人？解：【3，4】=1212-3=412-4=34+3=728-7=412X4=4828、一盒鉛筆，可以平均分給4,5,6個(gè)小朋友，都沒有剩余，這盒鉛筆最少有多少只？解：【4,5,6】=6029、 王伯伯有三個(gè)小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，這次10月1日一起回家，則上一次是幾月幾日一起回家？解：【3,4，6】=12 30-12=1830、 有一包奶糖，無論分給6個(gè)小朋友，8個(gè)小朋友，還是10個(gè)小朋友，都正好分完，這包糖至少有多少塊？解：【6，8,10】=120（塊）31、某公共汽車站有三條不同線路，1路車每隔6分鐘發(fā)一輛，2路車每隔10分鐘發(fā)一輛，3路車每隔12分鐘發(fā)一輛，三路車在早上8點(diǎn)同時(shí)發(fā)車后，至少再到什么時(shí)候又可以同時(shí)發(fā)車？解：【6，10，12]=60（分鐘）8點(diǎn)+1小時(shí)=9點(diǎn)32、 王師傅找到一塊長72厘米，寬60厘米，高48厘米的長方體木料，王師傅把它鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積最大，不能有剩余，算一算，可以鋸成多少塊？解：（72，60，48）=12cm72寧12=6cm60寧12=5cm48寧12=4cm6X5X4=120（塊）33、 、一個(gè)班90-100人，上體育課站隊(duì)時(shí)，無論每行站16人，還是每行站24人，都正好是整行，這個(gè)班有多少人？解：【16,24]=48（人）48X2=96（人）34、 用一個(gè)數(shù)去除52,余4,再用這個(gè)數(shù)去除40,也余4,這個(gè)數(shù)最大是多少？解：52-4=4840-4=3635、把19支鋼筆和23個(gè)軟面抄平均獎(jiǎng)給幾個(gè)三好學(xué)生，結(jié)果鋼筆多出了 3支，軟面抄也多出了3個(gè)，得獎(jiǎng)的學(xué)生最多有幾人？解：19-3=1623-3=20（16,20）=4（人）36、 、一次聚餐提供三種飲料，餐后統(tǒng)計(jì)三種飲料共用65瓶，平均每2個(gè)人飲用一瓶A飲料，每3人用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料，請問參加聚餐的有多少人？解：【2，3，4】=12（人）12-2=6（瓶）12-3=4（瓶）12-4=3（瓶）6+4+3=13（瓶）65-13=5 12x5=60（人）37、 張林、李強(qiáng)都愛在圖書館看書，張林每4天去一次，李強(qiáng)每6天去一次，有一次他們兩人在圖書館相遇，至少再過多少天他們又可以在圖書館相遇？解：【4,6】=12（天）38、 一個(gè)自然數(shù)，去除22少2,去除34也少2,這個(gè)自然數(shù)最大是幾？解：22+2=2434+2=36（24,36）=1239、 一個(gè)數(shù)除73余1,除98余2,除147余3,這個(gè)數(shù)最大應(yīng)是多少？解：73-仁7298-2=96147-3=144（72,96,144）=2440、 有一批作業(yè)本，無論是平均分給10個(gè)人，還是12個(gè)人，都剩余4本，這批作業(yè)本至少有多少本？解：【10,12】=6060+4=64 （個(gè)）41、有一箱卡通書，把它平均分給6個(gè)小朋友，多出1本；平均分給8個(gè)小朋友，也多出1本；平均分給9個(gè)小朋友，還是多1本，這箱卡通書最少有多少本？解:【6,8，9】=7272+仁73（本）42、 五年級(jí)同學(xué)參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，人數(shù)在40和50之間，如果分成3人一組，4人一組或6人一組都正好缺一人，五年級(jí)參加活動(dòng)的一共有多少人？解：【3，4，6】=24（人）24X2-1