概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式(全)188

第1章隨機(jī)事件及其概率m!(mn)!n（1）排P從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。m列組合公式m!Cnn!(mn)!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。m加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+nm種方法完成，第二種方法某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由（2）加可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。法和乘乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n法原理某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由（3）一重復(fù)排列和些常見對(duì)立事件（排列順序問(wèn)題（4）隨如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，m×n種方法來(lái)完成。非重復(fù)排列（有序）至少有一個(gè)）而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止機(jī)試驗(yàn)一個(gè)，但在進(jìn)行一和隨機(jī)驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試事件試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（5）基①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；本事②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。件、樣這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。本空間是就由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大和事件一個(gè)事件寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件BAB發(fā)生）：AB，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為如果同時(shí)有BAAB，或者A+B。A與B的差，記為A-B，AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。也可表示為A-AB或者（6）事A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同件的關(guān)時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳菹蹬c運(yùn)的。算A-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：AAiiABAB，ABABi1i1設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，AA（7）概若滿足下列三個(gè)條件：率的公1°0≤P(A)≤1，理化定2°P(Ω)=1義AA3°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有12PAP(A)iii1i1常稱為可列（完全）可加性。AP(A)為事件的概率。則稱，,n1°121P()。2n2°P()P()n1,組成的，則有（8）古A設(shè)任一事件，它是由12m典概型P(A)=()()()=P()P()P()2m12m1mA所包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)n若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨（9）幾機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，何概型P(A)L(A)L()。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)式（11）P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)減法公式當(dāng)A=Ω時(shí)，P(B)=1-P(B)P(AB)定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件P(A)P(B/A)P(AB)，記為（12）下，事件B發(fā)生的條件概率。P(A)條件概條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。率例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)（13）更一般地，對(duì)事件A，A，…A，若P(AA…A)>0，則有12n12n-1乘法公P(AAA)P(A)P(A|A)P(A|AA)………122n121312式P(A|AAA)。…n1n1①兩個(gè)事件的獨(dú)立性P(AB)P(A)P(B)AB設(shè)事件、滿足AB，則稱事件、是相互獨(dú)立的。P(A)0，則有AB若事件、相互獨(dú)立，且P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(A)ABABABAB若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。（14）必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。獨(dú)立性?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。B,B,,Bn滿足設(shè)事件121°B,B,,BP(B)0(i1,2,,n)，兩兩互不相容，i12n（15）全概公A2°nBi，i1式則有P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)。1122nnB設(shè)事件，，…，n及滿足BBA（16）12P(Bi)>0，i1，2，…，BBB貝葉斯1°，2，…，n兩兩互不相容，1n，公式An2°則Bi，P(A)0，i1P(B)P(A/B)iP(B/A)i，i=1，2，…n。inP(B)P(A/B)jjj1此公式即為貝葉斯公式。P(B)，（i1i1，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。P(B/A)，（，n2iin，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率2規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。n我們作了次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。（17）伯努利概型n這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為1pq，用pAA表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)k(0kn)次的概率，P(k)nAnP(k)Ckpkqnk，k0,1,2,,n。nn第二章隨機(jī)變量及其分布X設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為X(k=1,2,…)且取各個(gè)值（1）離散型隨機(jī)變量的分布律kP(X=x)=p，k=1,2,…，kkX則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也XP(Xx)p,p,,p,x,x,,x,|12k。k12k顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：，（2）。p1k1,2,p0k（1），kk1F(x)f(x)X設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度F(x)f(x)dxx，f(x)XX則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°f(x)0。f(x)dx12°。P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系理論中所起的作用與P(Xx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量（4）分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x)P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b]分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0F(x)1,x；2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即xx時(shí)，有F(x)1213°F()limF(x)0，F(xiàn)()limF(x)1xx4°F(x0)F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。F(x)p；對(duì)于離散型隨機(jī)變量，kxxkxF(x)f(x)dx。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，（5）八大分布0-1P(X=1)=p,P(X=0)=q分布二項(xiàng)概率為在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的p。事件AP(Xk)P(k)Ckpkq，其中q1p,0pnknn分則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記為X~布當(dāng)n1時(shí)，P(Xk)pkq1k，k0.1，這就是（0-1泊設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為k松分k0,1,2P(Xk)e，0，k!，X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~(則稱隨機(jī)變量布泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。k0,1,2,llmin(M,n)超幾何P(Xk)CkC?nkMNM,CnN隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,分布P(Xk)qp,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。幾何k1隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。分布f(x)設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[均X勻1分f(x)布,a≤x≤bba其他，0,X則稱隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，分布函數(shù)為0，x<a，xaba,a≤x≤bF(x)f(x)dxx1，x>b。X落在區(qū)間（x,x當(dāng)a≤x<x≤b時(shí)，2）內(nèi)的概率為211xxbaP(xXx)21。12指e,x0,x數(shù)f(x)分0,x0,參數(shù)為的0布其中，則稱隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為1e,x0,xF(x)0,x<0。記住積分公式：xnexdxn!0X正設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為x1()2x，22，f(x)e其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為態(tài)分20Xf(x)具有如下性質(zhì)：1°f(x)的圖形是關(guān)于x布對(duì)稱的；2°當(dāng)x為最大值；21時(shí)，f()X~N(,Fx)tX2()，則的分布函數(shù)為edt2212若()x2。。(x)01參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為1x2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為e22，x，分布函數(shù)為1xt22dt。e(x)(x)2是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。X2如果X~N(,2)，則~N(0,1)。x2x1P(xXx)。12P(X)＝；（6）分位數(shù)下分位表：P(X)＝。上分位表：X已知的分布（7）函數(shù)分布離散型列為x,x,,x,X12n，P(Xx)p,p,,p,Yg(X)的分布列（yg(x)互不相等）如下：in12g(x),g(xi2),,ig(x),Y1n，P(Yy)p,p,,p,若有某些應(yīng)將對(duì)應(yīng)的ig(x)相等，則g(x)的概p相加作為12niii連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)(x)寫出Y的分布函數(shù)F(y)＝P(g(XXY第三章二維隨機(jī)變量及其分布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可（1）聯(lián)離散型合分布=（X，Y）的所有可能取值為(x,y)(i,j1,2,設(shè)ijP{(X,Y)(x,y)}p(i,j1,2,)ijij為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合YXy1y2…yj…xpp……p1j……11112x2p21p22p2jxipi1……pij這里p具有下面兩個(gè)性質(zhì)：ij（1）p≥0（i,j=1,2,…）；ij（2）p1.ijij(,)存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量XY，如果即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy,D則稱為=（X，Y）的分連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）f(x,y)≥0;f(x,y)dxdy1.（2）Xx,Yy)(（2）二(XxYy)維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)合分布函數(shù)(,){FxyPX稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。{(,)|X()x,Y(2分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件121（1）0F(x,y)1;（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x>x時(shí)，有F（x,y）≥F(x,y);當(dāng)y>y時(shí)，有F(x,y)≥F(x,y);12121221（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)F(x0,y),F（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.xx，yy，（5）對(duì)于1212F(x，y)F(x，y)F(x，y)F(x，y)0.22211211PXxYyP(xXxdx，yYydyf(x，y)dxdy))（4）離(，散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊離散型緣分布X的邊緣分布為PP(Xx)p(i,j1,2,)；i?iijjY的邊緣分布為PP(Yy)p(i,j1,2,)。?jjiji連續(xù)型X的邊緣分布密度為f(x)f(x,y)dy；XY的邊緣分布密度為f(y)f(x,y)dx.Y（6）條離散型件分布在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為iP(Yy|Xx)ppij；jii?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為jP(Xx|Yy)p,ijpij?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)f(x,y)f(y)；Y在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)f(x,y)f(x)X（7）獨(dú)一般型立性離散型F(X,Y)=F(x)F(y)YXpppi??jij有零不獨(dú)立f(x,y)=f(x)f(y)連續(xù)型XY直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布x22(x)(y1)y12)1122f(x,y)e2(1112221212＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X,X,…X,X,…X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：12mm+1nh（X，X,…X）和g（X,…X）相互獨(dú)立。m+112mn特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為1維均勻分布Sf(x,y)D0,其中S為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。D例如圖、圖和圖。y1D1O1x圖y1D2O2x圖ydD3cOa圖bx（9）二設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為維正態(tài)x22(x)(y21)y111222分布f(x,y)e2(12),11221212,其中0,0,||1是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，12,12,記為（X，Y）～N（,,).212212,由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，2,,),Y~N(2).2即X～N（2112,,),Y~N(2)，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。2但是若X～N（211))（10）Z=X+Y函數(shù)分布F(z)P(ZzP(XYzZ根據(jù)定義計(jì)算：f(z)＝f(x,zx)dxZ對(duì)于連續(xù)型，,兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（2112n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。CC2，22iiiiiiZ=max,min(X,X,…X)nX,XXF(x)，F(xiàn)相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為x1若1212nx?F(x)F(x)F(x)F(x)maxx1xxn2F(x)1[1F(x)]?[1F(x)][1F(x)]minxxxn122,,,設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量XXX相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布12n的分布密度為f(我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的2分布，記為W～所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變2分布滿足可加性：設(shè)則Zt分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為f(t)n我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(nt(n)t(n)1F分布X~2(n),Y~2(n)，且設(shè)X與Y獨(dú)立，可以證明F12nn12nn12n111y21nn1f(y)yn,y122n22nnn122220,y0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n，第二個(gè)自由度為11F(n,n)F(n,n)11221第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）離散型連續(xù)型一維期望隨機(jī)期望就是平均值變量設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其布律為P(Xx)＝p，kE(X)xf(x)dxkk=1,2,…,n，（要求絕對(duì)收斂）的數(shù)E(X)nxpk字特kk1征（要求絕對(duì)收斂）Y=g(X)函數(shù)的期望Y=g(X)E(Y)ng(x)pkE(Y)g(x)f(x)dxkk1方差D(X)[xE(X)]fD(X)[xE(X)]p22kkD(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差k(X)D(X)，矩①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變?chǔ)?E(Xk)=xkf(x)dx,的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的kk階原點(diǎn)矩，記為v,即k=1,2,….kν=E(Xk)=xkp,k②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變iiik=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量XE(XE(X))kk.(xE(X))kf(x)dxk次冪的數(shù)學(xué)期=與E（X）差的望為X的k階中心矩，記為，k=1,2,….k即E(XE(X))kk.(xE(X))kp=，iiik=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，2P(X)2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性質(zhì)n)n（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，ECX(CE(X)iiiii1i1（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）（1）D(C)=0；E(C)=C方差（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)的性（3）D(aX+b)=aD(X)；E(aX+b)=aE(X)+b2質(zhì)（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。（4）期望p常見0-1分布B(1,p)二項(xiàng)分布B(n,p)分布np的期望和泊松分布P()1方差幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U(a,b)pnMNab21指數(shù)分布e()正態(tài)分布N(,2)2分布n0t分布（5）期望二維E(X)nxpiE(X)xf(x)dxXi?i1隨機(jī)E(Y)nE(Y)yf(y)dyYypj?jj1變量函數(shù)的期望的數(shù)E[G(X,Y)]＝E[G(X,Y)]＝G(x,y)pijijG(x,y)f(x,y)dxdyij字特－－征方差D(X)[xE(X)]fD(X)[xE(X)]ip22i?iD(Y)[xE(Y)]p2?jD(Y)[yE(Y)]fj2jY協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與11E[(XE(X))(YE(Y))].XY11與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別XY相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。XY||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(Xa完全相而當(dāng)0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①0；XY②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYYYX混合矩E(XYl)存在，則稱之為X與對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有kukl（6）(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y);1122性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).0X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。XY（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i）若隨機(jī)變量），,,,,（ii）若（X，Y）～N（212212則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切設(shè)隨機(jī)變量X，X，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被21X比同一常數(shù)C所界：D（）<C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正Xi雪數(shù)ε，有夫大數(shù)limP11nnE(X)1.Xnniini1i1特殊情形：若X，X，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（X）I12=μ，則上式成為定1律limPnn1.Xnii1伯設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件努A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有1.利大數(shù)plimPnn伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即定律p0.limPnn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛設(shè)X，X，…，2X，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，n1欽且E（X）=μ，則對(duì)于任意的正數(shù)ε有n大1n1.limPXni1in數(shù)定律（2）中心極限定列設(shè)隨機(jī)變量X，X，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且12維具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：理E(X),D(X)20(k1,2,)，則隨機(jī)變量－2XN(,)kkn林nXn德kYk1nn伯的分布函數(shù)F(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有n格nXn定limF(x)limP1xe2dt.2tkxk1n2理nnn此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣設(shè)隨機(jī)變量X為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則n莫對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有弗Xnp122xet2dt.limPxnnp(1p)－n拉普拉斯定理MN若當(dāng)N時(shí),p(n,k不變)，則（3）二項(xiàng)定理CkCnkNMCnN(1p)nk(N).MkCpkn超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。若當(dāng)n時(shí),np，則0（4）泊松定理kCkpk(1p)nken(n).k!其中k=0，1，2，…，n，…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）總體數(shù)理統(tǒng)計(jì)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。的基個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。xx1,,,x本概樣本念我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣2n本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，x,x,,x表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；12n一次抽取之后，x,x,,x表示n個(gè)具體的數(shù)值在具體的12n（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)設(shè)x,x,,x為總體的一個(gè)樣本，稱12n和統(tǒng)計(jì)量（x,x,,x）12n為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（,,,）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。xx1x2n常見統(tǒng)計(jì)x1nnx.i樣本均值量及其性i1樣本方差質(zhì)1n1S2n(xx)2.ii11n1Sn(xx)2.樣本標(biāo)準(zhǔn)差ii1樣本k階原點(diǎn)矩M1xk,k1,2,.nnkii1樣本k階中心矩M1(xx)k,k2,3,.nnkii12E(X)，D(X)，n)n12nE(S2)2，E(S*2,1其中n(XX)2，為二階中心矩。iS*2ni1,,,設(shè)xxx為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)（2）正態(tài)分布正態(tài)的一個(gè)樣本，則樣12n本函數(shù)總體udefx~N(0,1)./n下的,,,x為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)四大t分布分布設(shè)xx1的一個(gè)樣本，則樣2n本函數(shù)tdefx~t(n1),s/n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。x,x,,x(,2)的一個(gè)樣本，則樣為來(lái)自正態(tài)總體N2分布設(shè)12n本函數(shù)(n1)S22~2(n1),wdef其中表示自由度為n-1的(n1)22分布。F分布,,,設(shè)xx(,2)的一個(gè)樣本，而1x為來(lái)自正態(tài)總體nN12y,y,,y為來(lái)自正態(tài)總體(,2)的一個(gè)樣本，則樣N12n2本函數(shù)其中S2/21Fdef~F(n1,n1),1S2/212221n11n1nnS21(xxi),S22(yy)2;i122i1i112F(n1,n1)表示n1，第二自由度為第一自由度為112n1的F分布。2（3）X與S2獨(dú)立。正態(tài)總體下分布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(jì)（1）矩估,,,，則其分布函數(shù)可12設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)m點(diǎn)估計(jì)m以表成F(x;,,,).它的k階原點(diǎn)矩12計(jì)vE(Xk)(k1,2,,m)中也包含了未知參數(shù),,,，k12mx,x,,x為總體即vv(,,,)。又設(shè)X的n個(gè)樣kk12m12n本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為1xk(k1,2,,m).nnii1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有v(,,,)1x,in112mni1v(,,,)1x2,in212mni1v(,,,)1xm.inm12mni1(,,,)即為m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)12由上面的m,,,參數(shù)（）的矩估計(jì)量。12m若為的矩估計(jì)，?g()為g()的矩估g(x)為連續(xù)函數(shù)，則計(jì)。極大當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為12似然f(x;,,,)，其中,,,為未知參數(shù)。又設(shè)1mm2估計(jì)x,x,,x為總體的一個(gè)樣本，稱1n2L(,,,)mnf(x;,,,)1mi122i1為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng).n當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為P{Xx}p(x;,,,)，則稱1m2L(x,x,,x;,,,)p(x;,,,)n1n1mi1m222i1為樣本的似然函數(shù)。,,,L(x,x,,x;,,,)在12m若似然函數(shù)1n1m22,,,,,,2處取到最大值，則稱分別為的最大似12m1m然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。lnL0,i1,2,,mniii?g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g()為g()的的極大似然估計(jì)，若為極大似然估計(jì)。（2）無(wú)偏(x,x,,x)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E（）=，設(shè)12n估計(jì)性量的評(píng)選則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效(x,x,,,x)和(x,x,,,x)是未知參設(shè)標(biāo)準(zhǔn)性112212n12n數(shù)D()D()，則稱比2有效。的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若121一致設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有n性limP(||)0,nn則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。n?D()0(n),則為的一致估無(wú)偏估計(jì)，且若為的計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）置信設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本,,,,x出發(fā)，xx找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量xx(,,,,x)與1112n區(qū)間區(qū)間估計(jì)和置信度12n(x,x,,,x)()，使得區(qū)間[,]以12212n2121(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P{}1,121為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或[,]那么稱區(qū)間12置信水平）。單正,,,,x為總體XN~(,2)的一設(shè)xx個(gè)樣本，在置信度為12n態(tài)總1和2下，我們來(lái)確定的置信區(qū)間[,]。具體步驟如12體的下：期望（i）選擇樣本函數(shù)；和方（ii）由置信度1，查表找分位數(shù)；差的（iii