能量法與超靜定課件

第五講

能量法與超靜定

材料力學(xué)Ⅱ的主要內(nèi)容一、能量法二、超靜定三、動(dòng)載荷考點(diǎn)基本理論與應(yīng)用知識(shí)掌握與能力

1、結(jié)構(gòu)的變形分析2、超靜定結(jié)構(gòu)分析3、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析4、桿件的沖擊分析

五、能量法的應(yīng)用一、基本概念1、能量法利用功和能的原理求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法稱為能量法。2、變形能在線彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)儲(chǔ)蓄的能量，稱為彈性變形能或稱應(yīng)變能。

二、基本理論1、功能原理；

2、克隆原理；3、虛位移原理；4、虛功原理；5、虛力原理；6、互等定理；7、卡氏定理；8、莫爾定理。

重點(diǎn)：功能原理、單位載荷法。難點(diǎn)：虛位移、虛功、虛功原理、虛力原

理、虛位移原理?？键c(diǎn)：變形能的概念，能量法在超靜定、沖擊中的應(yīng)用?！?0-2彈性桿件的變形能一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉(zhuǎn)桿件基本變形的變形能一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉(zhuǎn)三、橫力彎曲桿件組合變形的變形能式中：K—剪切形狀系數(shù)。

矩形K=6/5;圓形K=10/9;圓環(huán)K=2?！?0-3克隆原理

線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。式中：K—剪切形狀系數(shù)。

矩形K=6/5;圓形K=10/9;圓環(huán)K=2。內(nèi)力表示的克隆原理重要基本概念1、廣義位移（用Δ表示）①線位移:水平位移Δix;豎向位移Δiy;②角位移φi;③相對(duì)位移：一對(duì)力引起的位移。ΔAB

2、廣義力（用F表示）①?gòu)V義外力（F、М、R）。②廣義內(nèi)力（N、Q、T、М）。3、實(shí)位移和虛位移①實(shí)位移—位移是由作功的力自身引起的。②虛位移—位移不是由作功的力自身引起的例10-2：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。設(shè)EI為常數(shù)，試求梁的變形能。LFMeAB⑴彎矩方程⑵變形能解：方法一內(nèi)力表達(dá)式LFM0AB⑷當(dāng)F和M0分別作用時(shí)⑶克隆定理（方法二外力表達(dá)式）關(guān)于變形能的討論1、上述各能量式僅適用于線彈性材料桿件在小變形下的變形能的計(jì)算。2、變形能可以通過(guò)外力功計(jì)算，也可以通過(guò)桿件微段上的內(nèi)力功等于微段上的變形能計(jì)算，然后積分求得整個(gè)桿件的變形能。3、變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不作功時(shí)，才可應(yīng)用疊加原理。關(guān)于變形能的討論4、變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立地選擇坐標(biāo)系。5、彈性體所受的外力從零緩慢（逐漸）增加到最終值。6、變形能大小與加載過(guò)程的先后次序無(wú)關(guān)，而只決定于載荷及其相應(yīng)的位移的最終值。關(guān)于變形能的討論7、對(duì)于一般結(jié)構(gòu)剪切變形能比較小通常略去不計(jì)。若剪切變形能比較大，不能略去時(shí)其計(jì)算公式：式中K是與截面形狀系數(shù)。矩形：K=6/5圓形：K=10/9

討論題8、對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)，位移可以疊加，其變形能也可以疊加（）。9、對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)，位移可以疊加，其變形能不可以疊加（）。10、非線彈性結(jié)構(gòu)，位移和變形能都可以疊加（）。11、非線彈性結(jié)構(gòu)，位移和變形能都不可以疊加（）。討論題12、當(dāng)某一種基本變形的變形能由兩個(gè)以上的載荷共同引起時(shí)，該變形能不等于這些載荷單獨(dú)作用時(shí)引起的變形能的疊加（）。13、當(dāng)桿件發(fā)生兩種或兩種以上基本變形時(shí)，桿件的總變形能等于各個(gè)基本變形的變形能的和（）。14、在小變形情況下，每一基本變形下的內(nèi)力分量對(duì)其他基本變形并不做功（）。15、變形能可以通過(guò)外力功計(jì)算，也可以通過(guò)桿件微段上的內(nèi)力功等于微段上的變形能計(jì)算，然后積分求得整個(gè)桿件的變形能（）。討論題16、變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不作功時(shí)，才可應(yīng)用疊加原理（）。17、兩個(gè)以上載荷引起同一種基本變形的變形能，不等于各個(gè)載荷引起的變形能的疊加（）。18、變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立地選擇坐標(biāo)系（）。19、變形能大小與加載過(guò)程的先后次序無(wú)關(guān)，而只決定于載荷及其相應(yīng)的位移的最終值（）。作業(yè)P105

習(xí)題：13.1、13.3、13.4。

§10-4變形體的虛功原理一、基本概念1、廣義位移（用Δ表示）①線位移:水平位移ΔiX豎向位移Δiy②角位移φi③相對(duì)位移：一對(duì)力引起的位移。ΔAB

2、廣義力（用F表示）①?gòu)V義外力（F、М、R）。②廣義內(nèi)力（N、Q、T、М）。3、實(shí)位移和虛位移①實(shí)位移—位移是由作功的力自身引起的。②虛位移—位移不是由作功的力自身引起的4、實(shí)功和虛功①實(shí)功—力在實(shí)位移上作的功。②虛功—力在虛位移上作的功。5、虛功中力和位移的性質(zhì)：力和位移彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的兩種狀態(tài)。6、求解靜定結(jié)構(gòu)位移的基本理論變形體的虛功原理：外力的虛功等于內(nèi)力的虛功

W外＝W內(nèi)虛功原理的兩種形式：1）虛位移原理：實(shí)力狀態(tài)，虛位移狀態(tài)。2）虛力原理：實(shí)位移狀態(tài)，虛力狀態(tài)。二、求解靜定結(jié)構(gòu)位移的基本方法單位荷載法：①積分法，②圖乘法三、變形體的虛功原理外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

W外＝W內(nèi)關(guān)于虛功原理的討論1、虛位移是在平衡位置上再增加的位移，桿件原有外力和內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的。2、虛位移應(yīng)滿足邊界條件和連續(xù)條件且符合小變形要求。3、虛功是桿件上的力在虛位移上所作的功。4、虛功是桿件上的虛力在實(shí)位移上所作的功。5、虛位移表示其他因素造成的桿件位移，與桿件的外力和實(shí)際位移無(wú)關(guān)。

§10-5互等定理位移發(fā)生點(diǎn)荷載作用點(diǎn)F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理：位移互等定理：例10-3求圖示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度。F例10.4求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移。F1、在功的互等定理公式的兩邊可以是不同類的力和位移，如一邊是力和線位移的乘積，另一邊是力偶和角位移的乘積。2、位移互等定理公式的兩邊，一邊是線位移，另一邊可以是角位移。

關(guān)于互等定理的討論關(guān)于互等定理的討論3、功的互等定理與位移互等定理的兩邊，也可以是同一點(diǎn)的不同類型的力和位移。4、功的互等定理可以推廣到彈性體的兩種應(yīng)力狀態(tài)，即第一種應(yīng)力狀態(tài)在第二種應(yīng)力狀態(tài)引起位移上做的功等于第二種應(yīng)力狀態(tài)在第一種應(yīng)力狀態(tài)引起位移上做的功。

作業(yè)P106習(xí)題：13.5。

§10-6卡氏定理

卡氏定理是描述變形能與位移之間關(guān)系的一個(gè)重要定理，是由意大利學(xué)者阿?卡斯提里安諾于1879年提出的。主要有卡氏第一定理和卡氏第二定理。

卡氏定理第一定理：彈性桿件的變形能對(duì)于桿件上任一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與該位移相應(yīng)的載荷?！?0-6卡氏定理卡氏第一定理：彈性桿件的變形能對(duì)于桿件上任一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與該位移相應(yīng)的載荷。§10-6卡氏定理卡氏第二定理：

彈性桿件的變形能對(duì)于桿件上任一載荷Fi

的偏導(dǎo)數(shù)，等于載荷Fi作用點(diǎn)沿Fi方向的相應(yīng)位移?！?/p>

10-6卡氏定理若只給以增量，其余不變，在作用下，原各力作用點(diǎn)將產(chǎn)生位移變形能的增加量：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把看作第二組力，根據(jù)互等定理：所以：變形能對(duì)任一載荷Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點(diǎn)沿Fi方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理求位移的應(yīng)用橫力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：組合變形的卡氏第二定理關(guān)于卡氏第二定理的討論1、由于變形能是對(duì)截面X積分，而卡氏第二定理是對(duì)荷載F求偏導(dǎo)數(shù)，因偏導(dǎo)數(shù)與積分號(hào)無(wú)關(guān)，故在計(jì)算中可以先求后積分。2、適用于線彈性結(jié)構(gòu)在小變形情況下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算3、若計(jì)算結(jié)果為正，表示δ與F，的方向相同；若為負(fù)，表示δ與F方向相反。

4、式中δ為相應(yīng)于廣義力F的廣義位移，若欲求位移處沒(méi)有相應(yīng)的載荷，則可以在結(jié)構(gòu)上施加于欲求位移相應(yīng)的載荷，求得偏導(dǎo)后，再令所加載荷為零（通常稱為零載荷法）。5、若結(jié)構(gòu)上作用于不同點(diǎn)的若干個(gè)力符號(hào)相同（如兩個(gè)力均為F），求偏導(dǎo)時(shí)應(yīng)將各載荷加以標(biāo)記，以示區(qū)分。例10-5利用卡氏定理，試求圖示懸臂梁自由端B的撓度。F解：(1)(2)解得：ｆB=FL3/3EI

例10-6教材P95例13.12利用卡氏定理，試求剛架自由端A的鉛垂位移和截面B的轉(zhuǎn)角θB。作業(yè)P87例題13.7；

P107習(xí)題13.9。

§10-7單位載荷法莫爾積分單位荷載法的證明有三個(gè)方法。1、虛功原理；2、能量法；3、卡氏定理。莫爾定理

（莫爾積分）例10-7試用單位荷載法計(jì)算圖(a)所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。

例10-8教材P95例13.12利用單位載荷法，試求剛架自由端A的鉛垂位移和截面B的轉(zhuǎn)角θB。作業(yè)

P107習(xí)題13.9。

§10-8計(jì)算莫爾積分的圖乘法在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：對(duì)于等直桿的EI，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分直桿的M0(x)圖必定是直線或折線?！?0-8計(jì)算莫爾積分的圖乘法

式中A是М(x）圖形的面積；yc

是圖形中與圖形的形心C對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)。應(yīng)用圖乘法的條件：用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，梁和剛架的桿件必須滿足以下條件：（1）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)。（2）桿段的軸線為直線。（3）各桿段的М(x）圖和圖中至少有一個(gè)為直線圖形。應(yīng)用圖乘法時(shí)應(yīng)注意：(1)在圖乘前要先對(duì)圖形進(jìn)行分段處理，保證兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)是直線圖形。(2)A與yC是分別取自兩個(gè)彎矩圖，豎標(biāo)yC必須取自直線圖形。(3)

當(dāng)A與yC在桿的同側(cè)時(shí)，乘積AyC取正號(hào)；A與yC在桿的異側(cè)時(shí)，乘積AyC取負(fù)號(hào)。下面給出了圖乘運(yùn)算中幾種常見(jiàn)圖形的面積及其形心位置。在應(yīng)用圖示拋物線圖形的公式時(shí)，必須注意曲線在頂點(diǎn)處的切線應(yīng)與基線平行，即在頂點(diǎn)處剪力為零。圖乘法的技巧：

在圖乘運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)遇到一些不規(guī)則的復(fù)雜圖形，這些圖形的面積和形心位置不易確定，在這種情況下，可采用圖形分塊或分段的方法，將復(fù)雜圖形分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，以方便計(jì)算。

討論題

例10-9試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2)求自由端的轉(zhuǎn)角例10-10試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。qM解（1）簡(jiǎn)支梁的最大撓度（2）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個(gè)支座處例10-11試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。CL12TU34解：例10-12試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU35解：例10-13試用圖乘法求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移。CL12TU36解：例10-14圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X作用。用圖乘法求：

(1)集中力作用端撓度為零時(shí)的X值；

(2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的X值。CL12TU37F解：(1)F(2)例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點(diǎn)的鉛垂位移。CL12TU38解：例10-15圖示開口剛架，EI=const。求A、B兩截面的相對(duì)角位移θAB

和沿P力作用線方向的相對(duì)線位移ΔAB

。CL12TU39解：例10-16用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)角及E截面的撓度。CL12TU40解：例10-17圖示剛架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH

和轉(zhuǎn)角θA

。CL12TU41解：例

計(jì)算剛架B截面的水平位移，已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠菶I=常數(shù)。作業(yè)

P107習(xí)題13.9。

第十一章

超靜定結(jié)構(gòu)第十一章超靜定結(jié)構(gòu)11-1概述11-2變形比較法11-3

力法求解超靜定結(jié)構(gòu)11-4對(duì)稱及反對(duì)稱性質(zhì)的利用目錄11-1概述目錄一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念

結(jié)構(gòu)的約束反力或內(nèi)力僅用獨(dú)立的平衡方程不能全部求解，該結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。二、超靜定結(jié)構(gòu)的類型

外力超靜定，內(nèi)力超靜定，混合超靜定。____________

三、超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)

1、外力超靜定：位置約束反力個(gè)數(shù)—獨(dú)立靜力平衡方程數(shù)=超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)。2、內(nèi)力超靜定：一個(gè)平面封閉框架為三次內(nèi)力超靜定；

平面桁架的內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)等于桿數(shù)加三減兩倍節(jié)點(diǎn)數(shù)。三、超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)3、混合超靜定：需綜合考慮。

4、結(jié)構(gòu)有中間鉸的超靜定次數(shù)的判定：結(jié)構(gòu)中加一個(gè)中間鉸，結(jié)構(gòu)減少一次超靜定次數(shù)。四、求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法

1、變形比較法；2、力法；3、位移法。11-2變形比較法求解超靜定結(jié)構(gòu)典型題1如圖所示桿件，兩端固定，在橫截面C處受軸向載荷F作用。試求桿兩端的支座反力。

解：(一)靜力平衡方程(a)兩個(gè)未知力，一個(gè)平衡方程，故為一次超靜定。(二)變形協(xié)調(diào)方程

(b)

(三)物理方程

(c)

(d)(四)補(bǔ)充方程

(五)求解支座反力將式(c)和式(d)代入式(b)，即得補(bǔ)充方程為

(e)聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(e)，于是得典型題2圖4-17a所示等截面圓軸AB，兩端固定，在截面C處承受扭力矩M作用。試求軸兩端的支反力偶矩。

解：(一)靜力平衡方程

(a)(二)變形協(xié)調(diào)方程

(b)(三)物理方程(四)補(bǔ)充方程

將上述物理關(guān)系代入式(b)，得變形補(bǔ)充方程為

(c)(五)求解支座反力

聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(c)，于是得

典型題3如圖所示梁AB，在橫截面B處承受軸向載荷F作用。試求梁的支座反力。

解：(一)靜力平衡方程∑Fy=0，-FBy+FAy=0∑MA=0,MA+F×L/2-FBy×L=0(a)(二)變形協(xié)調(diào)方程

=0

(b)(三)物理方程(四)補(bǔ)充方程

將上述物理關(guān)系代入式(b)，得變形補(bǔ)充方程為

(c)

=0(五)求解支座反力

聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(c)，于是得FAY=FBY=§11-3力法求解超靜定結(jié)構(gòu)在求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，目錄

以“未知力”為未知量的求解超靜定的方法稱為“力法”。一般先解除多余約束，以多余約束力代之，得到基本靜定系統(tǒng)再根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得到關(guān)于多余約束力的補(bǔ)充方程。該體系中多出一個(gè)外部約束，為一次超靜定梁解除多余支座B，并以多余約束X1代替若以表示B端沿豎直方向的位移，則：是在F單獨(dú)作用下引起的位移是在X1單獨(dú)作用下引起的位移目錄力法正則方程

目錄對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，位移與力成正比，X1是單位力“1”的X1倍，故也是的X1倍，即有若：于是可求得所以（*）式可變?yōu)椋?/p>

例11.1：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿EI=常數(shù)。目錄解：

例11.2：兩端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，設(shè)梁的抗彎剛度為EI，不計(jì)軸力影響，求梁中點(diǎn)的撓度。目錄

解：例11.3：求圖示剛架的支反力。目錄解：目錄上面我們講的是只有一個(gè)多余約束的情況！

那么當(dāng)多余約束不止一個(gè)時(shí)，力法方程是什么樣的呢？目錄由疊加原理：同理

變形協(xié)調(diào)條件：

表示作用點(diǎn)沿著方向的位移

目錄力法正則方程：矩陣形式：表示沿著方向單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的位移

表示沿著方向單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的位移

表示沿著方向載荷F單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的位移

目錄則：引起的彎矩為

引起的彎矩為

載荷F引起的彎矩為

設(shè)：力法的計(jì)算步驟：

（1）選取基本結(jié)構(gòu)、確定超靜定次數(shù)。(基本靜定結(jié)構(gòu)—不是唯一的)去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用。

（2）建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置的位移相同的條件，建立力法方程。（3）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。利用靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式，或分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位多余力Xi和荷載作用下的彎矩圖，然后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程，解出多余未知力Xi。

【例】試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架。

【解】1)建立相當(dāng)系統(tǒng)。該剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉B支座處的