簡單復合函數(shù)的導數(shù)課件 【備課精講精研 】 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章

一元函數(shù)的導數(shù)及應用5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)一二三學習目標理解復合函數(shù)的概念掌握復合函數(shù)的求導法則能利用復合函數(shù)的求導法則與四則運算法則解決綜合的求導問題復習回顧基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：導數(shù)的四則運算法則復習回顧新知探究一：復合函數(shù)探究1

如何求函數(shù)

y＝ln(2x-1)的導數(shù)？現(xiàn)有方法無法求出它的導數(shù)：（1）用定義不能求出極限；（2）不是基本初等函數(shù)，沒有求導公式；（3）不是基本初等函數(shù)的和、差、積、商，不能用導數(shù)的四則運算法則解決這個問題.追問1：這個函數(shù)用我們學過的方法能不能求出它的導數(shù)?為什么？追問2:函數(shù)y＝ln(2x-1)的結構特點是什么？它與哪些基本初等函數(shù)有關？新知探究一：復合函數(shù)若設u=2x-1,則y=lnu.如果把y與u的關系記作y=f(u)和，u與x的關系記作u=g(x)，那么這個“復合”的過程可表示為

y=f(u)=f(g(x))=

ln(2x-1).從而，y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x-1

經(jīng)過“復合”得到的，即y

可以通過中間變量u表示為自變量x

的函數(shù).概念生成

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù).記作：y=f(g(x)).復合函數(shù)例如，函數(shù)y=sin2x是由y=sinu和u=2x復合而成.以下函數(shù)是由哪些函數(shù)復合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3小試牛刀新知探究二：復合函數(shù)的導數(shù)探究2如何求復合函數(shù)的導數(shù)呢？以函數(shù)

y=sin2x為例，研究其導數(shù).（分兩步進行）(1)猜想y=sin2x

的導數(shù)與函數(shù)y=sinu，u=2x

的導數(shù)有關.

以

y′x

表示

y

對x

的導數(shù),以

y′u

表示

y對u

的導數(shù),以u′x

表示

u

對x

的導數(shù)可以先得到函數(shù)y=sinu，u=2x的導數(shù)y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以換個角度來求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以發(fā)現(xiàn)，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x概念生成復合函數(shù)的導數(shù)法則

一般地，對于由y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導數(shù)間的關系為

結構特點

即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積，簡單的理解就是復合函數(shù)的導數(shù)等于內(nèi)外函數(shù)的導數(shù)之積.典例分析例6

求下列函數(shù)的導數(shù):解：探究3你能總結求復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)的一般步驟嗎？方法歸納(1)觀察函數(shù)結構，識別構成復合函數(shù)的基本初等函數(shù)；(2)引入中間變量，運用基本初等函數(shù)的求導公式與復合函數(shù)的求導法則運算；(3)用中間變量關于自變量的函數(shù)替換掉中間變量，得到關于自變量的導數(shù).分解求導回代鞏固練習1.求下列函數(shù)的導數(shù):課本P81鞏固練習1.求下列函數(shù)的導數(shù):課本P81典例分析例2

某個彈簧震子在震動過程中的位移y(單位:mm),關于時間t(單位:s)的函數(shù)滿足關系式.求函數(shù)y在t=3s時的導數(shù)，并解釋它的實際意義.解：函數(shù)

是y=18sinu與的復合函數(shù)則當t=3時，它表示當t=3時，彈簧震子的瞬時速度為0mm/s.鞏固練習課本P812.求下列函數(shù)在給定點處的導數(shù):解：鞏固練習課本P81解：課堂小結1.復合函數(shù)的概念

一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).2.復合函數(shù)的求導法則

復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)