高中數(shù)學(xué)必修3《排列組合問(wèn)題經(jīng)典題型與通用方法》

排組問(wèn)經(jīng)題與用法相鄰題綁:目中定鄰幾元捆成個(gè)，作個(gè)元參與列例1.

A,,,D

五人并排站成一排，如果必須相且B在A的邊，則不同的排法有（）A、60種B、種C、36種、24種相離題空:素相（不鄰問(wèn)，先無(wú)置求幾元全排，把定相的個(gè)元插上幾元的位兩.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800定序題倍:排列題限某個(gè)素須持定順，用小倍的法例五并排站成一果B須站在的右（

,B

可以不相鄰么同的排法（、24種B、60種C、種、種標(biāo)號(hào)位題步:把素到定置，先某元按定排，二再另個(gè)素如繼續(xù)去依即完.例4.將數(shù)字1，，，填標(biāo)為1，，，4四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A6B9、11種D、23種有序配題分:有分問(wèn)指元分若組可逐下量組.例5.（）甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從人選出4人承這項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B2025種C、2520D、5040種（）名同分別到三個(gè)不同路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人則不同的分配方案有）A、

C4

種B、

C4

4

種C、

C4

4

A

種D、

4484A

種全員配題組:例6.（1）名秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少？（）本同的書(shū)，全部分給4個(gè)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、種C、種、96種名額配題板:例7：10個(gè)好學(xué)生名額分到7個(gè)班，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？限制件分問(wèn)分類:例8.某高校從某系的10名秀業(yè)生中選4人別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)建設(shè)中同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？多元題類：素，取的況多，按果求成相的類況分計(jì)再加例9（）數(shù)字0，，，，，組成有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有（）A、210種B、種C、種、600種（）1，，…100這100個(gè)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？（）1，，，，這個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有少種？第頁(yè)共7頁(yè)

n!n!交叉問(wèn)題集合：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式(A))B)A例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人加4100米力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有少種不同的參賽方案？定問(wèn)題先：個(gè)幾元要在定置可排這或個(gè)素再其的素例11.現(xiàn)1名老師和4名獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種多問(wèn)題排:元排幾的題歸為排慮再分處。例12.（1）個(gè)同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、種C、種D1440種（）個(gè)不同的元素排成前后排，每排4個(gè)素，其中某個(gè)素要排在前排，某個(gè)素在后排，有多少種不同排法？“少“多問(wèn)用接除法分法例13.從4臺(tái)型和5臺(tái)乙電視機(jī)中任取臺(tái)其中至少要甲型和乙型視各一臺(tái)，則不同的取法共有（）A、種B80種、70種D、35種選問(wèn)題取排從類素取符題的幾元，安到定位上可先后法.例14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為，，3，四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？（）名乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5，女4，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？部合條問(wèn)排法在取總中只一部合件可從數(shù)減不合件，為.例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）A、70種B、種C、種D52種（）面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A、150種B、種C、144種、種圓排問(wèn)單法:把

n

個(gè)同素在周

n

個(gè)編位上排，序例按時(shí)）同排才算同排，順相（旋一就以合的法為是同，與通列區(qū)在只順序首、位分下個(gè)通列a,a1

,a;a,,,a,;a,,an24nn

在排中算種因旋后以合故為同，n

個(gè)素圓列有種因可某元素定成排其的n

元全列例16.有5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？可重復(fù)排求法允重排問(wèn)的點(diǎn)以素研究象元不位的束可一排素位，般

n

個(gè)同素在

個(gè)同置排數(shù)

種法例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？第頁(yè)共7頁(yè)

復(fù)排列合題造型:例18.馬路上有編號(hào)為1，2，…9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？元個(gè)數(shù)少排組問(wèn)可考枚法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，，，，的五球和編號(hào)為1，34，5的子現(xiàn)將這5個(gè)投5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？復(fù)的排組問(wèn)也用解合法例20.（1）30030能多少個(gè)不同偶數(shù)整除？（）方體8個(gè)頂可連成多少隊(duì)異面直線？利用對(duì)思轉(zhuǎn)法對(duì)思是材滲的種要解題法它以復(fù)的題化簡(jiǎn)問(wèn)處.例21.（1）圓周上有10點(diǎn)，這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？（）城市的街區(qū)有12個(gè)等矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？全位排問(wèn)公法全位列題賀問(wèn)題信問(wèn)）住式可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個(gè)遞推公式：

用A…表示寫(xiě)著n位人名字的信封……表示n相應(yīng)的寫(xiě)好的信紙把錯(cuò)裝的總數(shù)為作f(n)假設(shè)把a(bǔ)裝進(jìn)B里了包著這個(gè)錯(cuò)誤的一切錯(cuò)裝法分兩類：（）b裝A里這時(shí)每種錯(cuò)裝的其余分都與A、B、、b無(wú)，應(yīng)有f(n-2)種錯(cuò)裝法。（）b裝入、B外的一個(gè)信封，這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把（除之的）份紙b、c……裝入（除B以外的）－1個(gè)封A、C…，顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)?？傊赼裝的誤之下，共有錯(cuò)裝法種。a裝入C，入D……n－2種誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯(cuò)裝法，因此:得到一個(gè)遞推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}，別帶入n=2、3、等推得結(jié)。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：

f()

12!n!排組問(wèn)經(jīng)題與用法解版第頁(yè)共7頁(yè)

相鄰題綁:目中定鄰幾元捆成個(gè)，作個(gè)元參與列例1.

A,CD

五人并排站成一排，如果B必相鄰且BA的右邊，則不同的排法有（）A60種B48種C、種D、種解析：把A,B答案：D.

視為一人，且

B

固定在

A

的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全列，

4

種，相離題空:素相（不鄰問(wèn)，先無(wú)置求幾元全排，把定相的個(gè)元插上幾元的位兩.例2.人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A1440種B、3600種C、4820種D、種解析甲乙外余5個(gè)列為選.

A

種用乙去插6個(gè)位有

A

種同的排法種數(shù)是

256

種，定序題倍:排列題限某個(gè)素須持定順，用小倍的法例3.

AB,DE

五人并排站成一排果必站在的右

,B

可以不相鄰么同的排法）A24種

B60種

C、90種

D、種解析：在A的邊與B在的左邊排法數(shù)相同所以題設(shè)的排法只是5個(gè)素全排列數(shù)的一半B種，選.

12

5

標(biāo)號(hào)位題步:把素到定置，先某元按定排，二再另個(gè)素如繼續(xù)去依即完.例4.數(shù)字，23，填標(biāo)號(hào)為12，3，的個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、種B、9種C、11種D23種解析：先把1填入方格中，符合件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有××1=9種法，選B.有序配題分:有分問(wèn)指元分若組可逐下量組.例5.1有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A1260種、種C、2520種D5040解析：先從10人中選出2人承甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另的人中1人擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有C種選（）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人則不同的分配方案有（）A

C4

4

種

B

3C4

4

種C、

C44A3

種

D、

C4C4C4A

種答案：.全員配題組:例6.1）4名秀學(xué)生全部保送到3所校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有

種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有

A3

種，故共有

C233

種方法說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分.（）5本同的書(shū)，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一，不同的分法種數(shù)為（）A480種B240種答案：.名額配題板:

C、種

D、96種例7：10個(gè)好學(xué)生名額分到個(gè)級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？第頁(yè)共7頁(yè)

解析：10個(gè)額分到7個(gè)級(jí)就是把10個(gè)名看成10個(gè)相的球分成7堆，每堆至少一個(gè)可以在10個(gè)小球的9個(gè)位插入6塊木，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C6

種限制件分問(wèn)分類:例8.高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人別到西部四市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)建設(shè)中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況：①若甲乙都不參加有遣方案A4種若甲參加而乙不參加排甲有3方法后排其余學(xué)生有

A方法，所以共有

3A3

；③若乙參加而甲不參加同理也有

33

種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有

A2

種，共有

7A2

方法所以共有不同的派遣方法總為AA4088種多元題類：素，取的況多，按果求成相的類況分計(jì)，后計(jì).例（）數(shù)字0，23，4，組沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A210種B300種C、種D、種解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是，，2，3，4共情況，分別有A個(gè)，AA合并總計(jì)300個(gè)選

AA

,

,A

個(gè)，.（）從，2，…100這100個(gè)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被整，這兩個(gè)數(shù)取法（不計(jì)順序）共有多少種？解析被的兩個(gè)數(shù)中至少有一能被整除時(shí)他的乘積就能被7整將100個(gè)數(shù)組成集合視為全集I,能7整的數(shù)的集合記做A14個(gè)元素,不被7整的數(shù)組成的集合記做A

86個(gè)素此可知A中任取2個(gè)元素的取法有C從中任取一個(gè)從14

A中任取一個(gè)共有

，兩種情形共符合要求的取法有

214

14

C186

種（）1，23，，這100數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種解析：將I,100不相交的子集，能被4整的數(shù)集100余的數(shù)集

，能被4除余2的集

,98

4除余3的數(shù)集

D見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元；從

A

中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從

C

中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有

225

125

125

225

種交叉問(wèn)題集合：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式(A))B)A例從名運(yùn)動(dòng)員中選出4參加4×100米力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不的參賽方案？解析：設(shè)全=｛人中取4人賽的排列｛跑第一棒的排列｛跑第四棒的排列據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)))4

3

種定問(wèn)題先：個(gè)幾元要在定置可排這或個(gè)素再其的素例現(xiàn)名師和4名獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析師中間三個(gè)位置上選一個(gè)有1種名學(xué)其余個(gè)位上有A種法以有1

A

種多問(wèn)題排:元排幾的題歸為排慮再分處。例12.（）6個(gè)同的元素排成前后兩排，每排3元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A36種B120C、720D1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成不同的元素排成一排，共

66

720

種，選

C

.（）8個(gè)同的元素排成前后兩排，每排個(gè)素，其中某2個(gè)素要排在前排，某1個(gè)素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個(gè)素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)有A種某1元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有

1

種，其余5個(gè)素任排5個(gè)位上有

A5

種，故共有

1A255760445

種排法第頁(yè)共7頁(yè)

“少“多問(wèn)用接除法分法例從臺(tái)甲型和5臺(tái)型視機(jī)中任取3臺(tái)其中至少要甲型和乙型視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（）A140種B80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有333709

種選

解析2：至少要甲型和乙型電機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙1；故不同的取法有

CC1704

臺(tái)選

.選問(wèn)題取排從類素取符題的幾元，安到定位上可先后法.例14.（）個(gè)同球放入編號(hào)為1234的個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法C2種再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)3種故共4有

234

種（）9名乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有少種不同的分組方法？解析先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名

2254

種四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)

A

中排法共有

2C2A1204

種部合條問(wèn)排法在取總中只一部合件可從數(shù)減不合件，為.例15.（）正體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）A70種

B64種

C、種

D、種解析：正方體8個(gè)點(diǎn)從中每次四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成四面體，但6個(gè)面和個(gè)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有

48

58

個(gè)（）面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A150種

B147種

C、144

D、種解析10個(gè)中任取4個(gè)共有4種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面10的情況為C4，個(gè)面共4C4個(gè)②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè)所四點(diǎn)不共面情況的種數(shù)是

C

C

種圓排問(wèn)單法:把

n

個(gè)同素在周

n

個(gè)編位上排，序例按時(shí)）同排才算同排，順相（旋一就以合的法為是同，與通列區(qū)在只順序首、位分下

n

個(gè)通列a,aa;a,,,a,;a,,a在圓列中算種因旋后以合故為同，n1n23n1n!素圓列有種因可某元素定成排其的元全列n例有對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？

個(gè)解析：首先可讓5位姐站成一圈，屬圓排列有4種然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式

5

種不同站法說(shuō)明：從

n

個(gè)不同元素中取出

個(gè)元素作圓形排列共有

1m

An

種不同排法可重復(fù)排求法允重排問(wèn)的點(diǎn)以素研究象元不位的束可一排素位，般個(gè)不同素在m個(gè)不位置排數(shù)n種方.例把名實(shí)習(xí)生分配到7車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有種同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有

種不同方案復(fù)排列合題造型:第頁(yè)共7頁(yè)

A例18.馬路上有編號(hào)為1，2，…，九路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？A解析把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模6盞亮的個(gè)隙中插入3盞亮的燈C3種法所滿足條件的關(guān)燈方案有10種說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒?？墒箚?wèn)題容易解決元個(gè)數(shù)少排組問(wèn)可考枚法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，34，5的個(gè)球和編號(hào)為