2023年中考數(shù)學(xué)一輪綜合培優(yōu)測(cè)試卷：三角形動(dòng)點(diǎn)問題【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)一輪綜合培優(yōu)測(cè)試卷：三角形動(dòng)點(diǎn)問題一、綜合題1．如圖，已知直線y=?43x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO（1）求△AOB的面積；（2）用含有t的代數(shù)式表示C點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）直接寫出t為何值時(shí)，△ACD面積為845（4）直接寫出△ACD與△AOB相似時(shí)t的值．2．如圖，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（1）用含t的代數(shù)式表示：AP=，AQ=．（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？3．如圖，在△ABC中，O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)O作直線MN//BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F．（1）求證：EO=FO；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．4．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1時(shí)，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）是否存在t，使得△BPQ的面積等于10cm5．如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后，可使△PBQ的面積為8平方厘米？（2）線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=6cm，OB=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向終點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AO邊向終點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng).有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，若P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.（1）用含t的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？7．把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）．（1）當(dāng)DE⊥AC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α＝度，AD與BC的位置關(guān)系是，AE與BC的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)，求∠BEC的度數(shù)；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝時(shí)，△ABD的面積最大．8．如圖所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12cm，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2cm的速度從A向B勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1cm的速度從B向C勻速運(yùn)動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒.（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒時(shí)，PB＝，BQ＝；（2）運(yùn)動(dòng)多少秒后，△PBQ恰好為等邊三角形？（3）運(yùn)動(dòng)多少秒后，△PBQ恰好為直角三角形？9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以acm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．（1）用含t的代數(shù)式表示PC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，當(dāng)△CQP是以∠C為頂角的等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△BPD與△CQP在某一時(shí)刻全等．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.現(xiàn)在有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC—CB向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng).如果點(diǎn)P的速度是1cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s.它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）如圖1，Q在AC上，當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q點(diǎn)的三角形與ΔABC相似？（2）如圖2，Q在CB上，否存著某時(shí)刻，使得以點(diǎn)B、P、Q頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.11．如圖，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一動(dòng)點(diǎn)M自A向B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N自B向C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，若M，N同時(shí)分別從A，B出發(fā)．（1）經(jīng)過多少秒，△BMN為等邊三角形；（2）經(jīng)過多少秒，△BMN為直角三角形．12．如圖所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，問（1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ的面積等于8cm2（2）經(jīng)過幾秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm13．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=10cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，問：（1）經(jīng)過幾秒后，AP=CQ？（2）經(jīng)過幾秒后，△PBQ的面積等于15cm214．如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將△APD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，求x的值；（2）在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C過程中，當(dāng)x為何值時(shí)，△A′BC是以A′B為腰的等腰三角形；（3）如圖（2），另有一動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，將△BQE繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ，連結(jié)A′B′，當(dāng)直線A′B′與△ABC的一邊垂直時(shí)，求線段A′B′的長(zhǎng)．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點(diǎn)D在線段AB上從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示BD的長(zhǎng)；（2）求AB的長(zhǎng)；（3）求AB邊上的高；（4）當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，求t的值16．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在坐標(biāo)軸上，且OA=OB=OC，△ABC的面積為9，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以1個(gè)單位/秒的速度向下運(yùn)動(dòng)，連接PA，PB，D（﹣m，﹣m）為AC上的點(diǎn)（m＞0）（1）試分別求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問：當(dāng)t為何值時(shí)，DP與DB垂直且相等？請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，若PA=AB，在第四象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，連QA，QB，QP，且∠PQA=60°，當(dāng)Q在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠APQ與∠PBQ的度數(shù)和．

答案解析部分1．【答案】（1）解：在y=?4當(dāng)x=0時(shí)，y=8，當(dāng)y=0時(shí)，?4解得：x=6，∴A(6，0)，B(0，8)，即OA=6，OB=8，∴S△AOB即△AOB的面積為24；（2）解：如圖：過點(diǎn)C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，∴CN∥x軸，CM∥y軸，在Rt△AOB中，AB=O由題意可得，BC=t，則AC=10?t，∴CNOA=BC解得：CN=3CMOB=AC解得：CM=40?4t∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3（3）t的值為3時(shí)，△ACD的面積為84（4）△ACD與△AOB相似時(shí)t的值為302．【答案】（1）2t厘米；(16-3t)厘米（2）解：∵∠PAQ=∠BAC，∴當(dāng)APAB=AQAC時(shí)，△APQ∽△ABC，即當(dāng)APAC=AQAB時(shí)，△APQ∽△ACB，即∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1673．【答案】（1）證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∵M(jìn)N//BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠ACE=∠OEC，∠OFC=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，∵CE=12，CF=5，∴在Rt△CEF中，EF=C∵OE=OF=OC，∴OC=6.（3）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：∵OE=OF，O是AC的中點(diǎn)，OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴四邊形AECF是矩形．4．【答案】（1）PQ=2（2）解：∵∠B=90°，∴△BPQ是等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ，由題意可知：BP=(11?t)cm，∵Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BQ=(16?2t)cm；當(dāng)8＜t≤11時(shí)，BQ=(2t?16)cm；∵BP=BQ∴11?t=2t，解得：t=1111?t=16?2t，解得：t=5，符合題意；11?t=2t?16，解得：t=9，符合題意；綜上所述：t=5或t=9；（3）解：假設(shè)存在t使得△BPQ的面積等于10cm由（2）可知：BP=(11?t)cm，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BQ=(16?2t)cm；當(dāng)8＜t≤11時(shí)，BQ=(2t?16)cm；∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，12×(11?t)×2t=10；解得：t=1或當(dāng)4＜t≤8時(shí)，12×(11?t)×(16?2t)=10，解得：t=6或當(dāng)8＜t≤11時(shí)，12×(11?t)×(2t?16)=10，因?yàn)榫C上所述，當(dāng)t=1或t=6時(shí)△BPQ的面積等于10cm5．【答案】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依題意有：12（6-x）?2x=8，解得x1=2，x2=4，經(jīng)檢驗(yàn)，x1，x2故經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2（2）解：不能，理由如下：設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有：S△ABC=1212y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，∴線段PQ不能否將△ABC分成面積相等的兩部分6．【答案】（1）解：∵AO=6cm，BO=8cm，∴AB=AO2∵點(diǎn)P的速度是1cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，∴AP=(10?t)cm，∴AP的長(zhǎng)為(10?t)cm.（2）解：∵點(diǎn)P的速度是1cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，∴AQ=t，AP=10?t，①∠APQ是直角時(shí)，△APQ∽△AOB，∴APAO即10?t6解得t=25②∠AQP是直角時(shí)，△AQP∽△AOB，∴AQAO即t6解得t=15綜上所述，t=154秒時(shí)，△APQ與7．【答案】（1）45；垂直；平行（2）解：如圖所示∵∠BAC=90°，∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE∵△ABC與△ADE為等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∠AED=45°在△ABD與△ACE中AB=AC∴△ABD≌△ACE(SAS)∴∠ADB=∠AEC∵∠ADB=180°?∠ADE=180°?45°=135°∴∠AEC=135°∴∠BEC=∠AEC?∠AED=135°?45°=90°（3）90°或270°8．【答案】（1）10cm；1cm（2）解：當(dāng)BP＝BQ時(shí)，∵∠B＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴12﹣2t＝t，解得t＝4s，答：運(yùn)動(dòng)4s時(shí)，△PBQ是等邊三角形.（3）解：①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，∴12﹣2t＝2t，解得t＝3，②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠BQP＝30°，∴BQ＝2PB，∴t＝2(12﹣2t)，解得t＝245綜上所述，當(dāng)t＝3s或2459．【答案】（1）解：∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10?2t；（2）解：△CQP以∠C為頂角的等腰三角形，則PC=CQ，PC=10?2t，CQ=t，即10?2t=t，解得：t=10∴當(dāng)t=103s時(shí)，△CQP（3）解：①當(dāng)BP=CQ時(shí)，BD=CP，此時(shí)△BPD?△CQP，根據(jù)題意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6∴2t=at，6=10?2t，解得：a=2，t=2，②當(dāng)BP≠CQ時(shí)，∵△BPD與△CQP全等，∠B=∠C，∴BP=CP=12BC=5∴t=5∴a=CQ綜上可得：當(dāng)Q的速度為2cm/s或125cm/s時(shí)，10．【答案】（1）解：如圖1，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△AQP∽△ACB，∴AQAC在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC∵BP=t，AQ=t，∴PA=10-t，∴t8∴t=409如圖2，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ACB，∴AQAB∴t10t=509綜上所述，t=409或50（2）解：如圖3，當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，∴BPAB∵BQ=14-t，BP=t，∴t10∴t=354當(dāng)△BQP∽△BAC時(shí)，∴BPBC∴t6∴t=214∵Q在CB上，∴t>8，∴t=214∴t=35411．【答案】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△BMN為等邊三角形，則AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根據(jù)題意得30－x＝2x，解得x＝10，答：經(jīng)過10秒，△BMN為等邊三角形；（2）經(jīng)過x秒，△BMN是直角三角形，①當(dāng)∠BNM＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝12BM，即2x＝1解得x＝6；②當(dāng)∠BMN＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝12BN，即30－x＝1解得x＝15，答：經(jīng)過6秒或15秒，△BMN是直角三角形．12．【答案】（1）解：設(shè)x秒后，ΔPBQ面積為8cm2，則BP=6?x，BQ=2x由12BP?BQ=8可得解得x1=2，答：經(jīng)過2秒或4秒后，ΔPBQ面積為8cm2（2）解：設(shè)t秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm由勾股定理，得BP2+B解得：t1=?1（舍去）答：175秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是5313．【答案】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒后，AP=CQ，則AP=xcm，CQ=(10?2x)cm依題意，得x=(10?2x)，化簡(jiǎn)，得3x=10，解得x=10答：經(jīng)過103秒后，AP=CQ（2）解：設(shè)經(jīng)過y秒后，△PBQ的面積等于15cm2，則依題意，得12化簡(jiǎn)，得y2解得y1答：經(jīng)過3秒或5秒后，△PBQ的面積等于15cm14．【答案】（1）解：如圖（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，由題意得四邊形APA′D為平行四邊形∵△APD∽△ABC，AP=5x，∴A′P=AD=4x，PC=4－5x．∵A′P//AB∴△A′PC∽△ABC．x＝2041．當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，x＝（2）解：當(dāng)A′B＝BC時(shí)，(5?8x)2解得：x=40±12∵x≤45，∴x=當(dāng)A′B＝A′C時(shí)，x=58（3）解：當(dāng)A′B′⊥AB時(shí)，x=514，A′B′=514．當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)x=1546當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)x=2053，A′B′=15．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝30cm，AC＝40cm，根據(jù)勾股定理得，AB＝AC2+B當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，t＝502∵點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，∴BD＝2t（0≤t≤25）（2）解：由（1）知，AB＝50cm（3）解：如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)三角形的面積得，S△ABC＝12